湖北省武汉市第四十三高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学检测数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 湖北省武汉市第四十三高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学检测数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-11 13:57:54 | ||
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文档简介
武汉市第四十三高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学检测
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则（ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，向量,且 ，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
6．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
B． C． D．
8．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个
①；②直线与平面所成角不变；
③点到直线的距离不变；④点到四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数 B．
C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．某学校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中数据的中位数小于41
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．全校学生支出的众数约为45元
D．若该校有2000名学生，则约有600人的支出在[50，60]内
11．已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称
C．函数在上的单调递减区间为
D．为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位
12．已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）
A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为
C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________.
14．已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为________．
15．如图，四边形为正方形，平面，，若，，，则______．
16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）平面内给定三个向量，，.
(1)求满足的实数，；
(2)若，求实数的值.
18．（本小题满分12分）
已知分别为的内角所对的边，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
20．（本小题满分12分）某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A A B A C C
9 10 11 12
ABD BCD BC ABD
13 14 15 16
1．D
【详解】解：因为，所以，所以的虚部为.故选：D
2．B
【详解】因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，
所以，抽取样本量为的样本中，O型血的人数为， AB型血的人数为，所以，，解得 故选：B
3．A
【详解】由可得，则，
因为，
等式两边平方可得，即，
，解得.故选：A.
4．A
【详解】由题意向量,且，
故得：，解得 ，故，故选：A
5．B
【详解】对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘
对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理，故B正确；
对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误；
对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误，故选:B
6．A
【详解】向量，共线，，
由正弦定理：，，
则，
，，，即．同理可得．形状为等边三角形．故选：A．
7．C
【详解】解：由题意，，，，
将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．故选：C
8．C
【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确，
此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确，
如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角，
当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值，
故②错误.
故选：C.
9．ABD
【详解】
对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.故选：ABD.
10．BCD
【详解】在A中，设样本数据的中位数为，则，解得x≈44.44>41，故A错误；
在B中，样本中支出在内的频率为，样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；
在C中，由频率分布直方图得样本中学生支出的众数约为（元），所以全校学生支出的众数约为45元，故C正确；
在D中，若该校有2000名学生，则约有2000×0.3=600人的支出在内，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【详解】解：因为相邻两条对称轴的距离为，故周期为，则，
图象关于点对称，则，因为，所以，A错；
，将函数的图象向右平移个单位长度后得，该函数是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，C正确；
为了得到的图象，应该将函数的图象向右平移个单位，D错．故选：BC.
12．ABD
【详解】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
设外接球的半径为，内切球的半径为，则，所以，
四面体的高为，则等体积法可得，所以，
由题意得，所以，解得所以A正确，
所以，所以外接球的体积为，所以C错误，
因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确，
线段的最大值为，所以D正确，故选：ABD
13．
【详解】平均数为，即①，
方差为，即②，
由①②解得，或，，
所以当，时，；当，， 故答案为：．
14．
【详解】由题知，在上的投影为，又 ， ，
所以 ， ；
所以 ，即在上的投影为 ；
又的单位向量为 ，所以在上的投影向量为 故答案为： .
15．
【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，.
.
所以.故答案为：
16．
【详解】因为，所以，
又因为：，所以，
由正弦定理有：,
而,
又因为为钝角三角形，不妨设,则，则,
所以,所以外接圆的半径.故答案为：.
17．(1)解：因为，，，且，
，，解得，
(2)解：，.
因为，，解得.
18．（1）在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；
（2）方法一：由（1）知，，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.
19．(1)证明：∵为直三棱柱，∴
又平面，平面，∴平面
(2)解：在中，，，
则，的面积为
∵为直三棱柱，∴平面，
∴，从而
取的中点，连接，则，
∴的面积为，
设点到平面的距离为，
由于∴，解得
故点到平面的距离为.
20． (1)解：由，得.
数学成绩在：频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．
(2)解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.
(3)解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，
分数段的人数为 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点
而的对立事件包含个样本点
所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．
（1）解：∵平面，平面，∴，又四边形是矩形，
∴，∵，∴平面，∵平面，∴，
又是的中点，，∴，∵，所以平面.
解：∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角为直线与直线所成的角，
由（1）得平面，∴⊥平面，
∵平面，∴，∴为直角三角形，
又是的中点，，∴，∴在中，为异面直线与所成角，
故，∴异面直线与所成角的正切值为.
解：取中点为，连接，，在中，分别为线段的中点，
故，∵平面，∴平面，
∴，由（1）得平面，∵平面，∴，
∵，∴
又，∴,∴，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．【详解】（1）令，解得，
故的单调递增区间为
（2）等价于，
解得或，
因为，所以，，如图，绘出函数的图像，方程有三个不同的实数根
等价于有一个实数解且有两个不同的实数解
或有两个不同的实数解且有一个实数解，
①当或时，无解，不符合题意；
②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；
③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；
④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意.
综上，m的取值范围为．答案第1页，共2页
数学
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则（ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，向量,且 ，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
6．在中，角的对边分别为，已知三个向量，共线，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是的直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
B． C． D．
8．在正方体中，为棱上的动点，为线段的中点.给出下列四个
①；②直线与平面所成角不变；
③点到直线的距离不变；④点到四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知复数，以下结论正确的是（ ）
A．是纯虚数 B．
C． D．在复平面内，复数对应的点位于第三象限
10．某学校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校学生中随机抽取n名学生进行调查，得到频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中数据的中位数小于41
B．样本中支出不少于40元的人数为132
C．全校学生支出的众数约为45元
D．若该校有2000名学生，则约有600人的支出在[50，60]内
11．已知的图象关于点对称，相邻两条对称轴的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A．，
B．将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称
C．函数在上的单调递减区间为
D．为了得到的图象，可以将函数的图象向右平移个单位
12．已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点、，若线段的最小值为，则（ ）
A．正四面体的棱长为6 B．正四面体的内切球的表面积为
C．正四面体的外接球的体积为 D．线段的最大值为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
13．某同学次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，.已知这组数据的平均数为，标准差为，则的值为____________.
14．已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为________．
15．如图，四边形为正方形，平面，，若，，，则______．
16．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，若为钝角三角形，，则外接圆的半径R的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）平面内给定三个向量，，.
(1)求满足的实数，；
(2)若，求实数的值.
18．（本小题满分12分）
已知分别为的内角所对的边，且满足
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱中，，，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
20．（本小题满分12分）某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率．
21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求异面直线与所成角的正切值；
(3)求直线与平面所成角的正弦值.
22．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A A B A C C
9 10 11 12
ABD BCD BC ABD
13 14 15 16
1．D
【详解】解：因为，所以，所以的虚部为.故选：D
2．B
【详解】因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，
所以，抽取样本量为的样本中，O型血的人数为， AB型血的人数为，所以，，解得 故选：B
3．A
【详解】由可得，则，
因为，
等式两边平方可得，即，
，解得.故选：A.
4．A
【详解】由题意向量,且，
故得：，解得 ，故，故选：A
5．B
【详解】对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘
对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理，故B正确；
对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误；
对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误，故选:B
6．A
【详解】向量，共线，，
由正弦定理：，，
则，
，，，即．同理可得．形状为等边三角形．故选：A．
7．C
【详解】解：由题意，，，，
将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为，2，，
设长方体的长、宽、高分别为，
则，，，解得，，．
所以三棱锥外接球的半径．
三棱锥外接球的体积．故选：C
8．C
【详解】如下图，当在棱上运动时，始终在平面中，由，可得，所以，故①正确，
此时点的轨迹为线段，如下图可知，，过正方形中心且，故③④正确，
如下图，延长与的延长线交于，连接，则即为直线与平面所成角，
当点在上运动时，不变而在变，所以不是定值，
故②错误.
故选：C.
9．ABD
【详解】
对于A，，为纯虚数，A正确；
对于B，，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，对应的点为，位于第三象限，D正确.故选：ABD.
10．BCD
【详解】在A中，设样本数据的中位数为，则，解得x≈44.44>41，故A错误；
在B中，样本中支出在内的频率为，样本中支出不少于40元的人数为，故B正确；
在C中，由频率分布直方图得样本中学生支出的众数约为（元），所以全校学生支出的众数约为45元，故C正确；
在D中，若该校有2000名学生，则约有2000×0.3=600人的支出在内，故D正确.
故选：BCD.
11．BC
【详解】解：因为相邻两条对称轴的距离为，故周期为，则，
图象关于点对称，则，因为，所以，A错；
，将函数的图象向右平移个单位长度后得，该函数是偶函数，图象关于y轴对称，B正确；
令，得，
所以函数在上的单调递减区间为，C正确；
为了得到的图象，应该将函数的图象向右平移个单位，D错．故选：BC.
12．ABD
【详解】设这个四面体的棱长为，则此四面体可看作棱长为的正方体截得的，所以四面体的外接球即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
设外接球的半径为，内切球的半径为，则，所以，
四面体的高为，则等体积法可得，所以，
由题意得，所以，解得所以A正确，
所以，所以外接球的体积为，所以C错误，
因为内切球半径为，所以内切球的表面积为，所以B正确，
线段的最大值为，所以D正确，故选：ABD
13．
【详解】平均数为，即①，
方差为，即②，
由①②解得，或，，
所以当，时，；当，， 故答案为：．
14．
【详解】由题知，在上的投影为，又 ， ，
所以 ， ；
所以 ，即在上的投影为 ；
又的单位向量为 ，所以在上的投影向量为 故答案为： .
15．
【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，.
.
所以.故答案为：
16．
【详解】因为，所以，
又因为：，所以，
由正弦定理有：,
而,
又因为为钝角三角形，不妨设,则，则,
所以,所以外接圆的半径.故答案为：.
17．(1)解：因为，，，且，
，，解得，
(2)解：，.
因为，，解得.
18．（1）在中，由题意及正弦定理得，整理得，由余弦定理得，因为，所以；
（2）方法一：由（1）知，，又，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以；方法二：由（1）知，，又，所以由正弦定理，知，所以，所以，又因为，所以，因为，所以，所以当，即时，的面积取得最大值，最大值为.
19．(1)证明：∵为直三棱柱，∴
又平面，平面，∴平面
(2)解：在中，，，
则，的面积为
∵为直三棱柱，∴平面，
∴，从而
取的中点，连接，则，
∴的面积为，
设点到平面的距离为，
由于∴，解得
故点到平面的距离为.
20． (1)解：由，得.
数学成绩在：频率，频率，
频率，频率，
频率，频率，
样本平均值为：，
可以估计样本数据中数学成绩均值为分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．
(2)解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为，
在分以下所占比例为
因此，第百分位数一定位于内，由，
可以估计样本数据的第百分位数约为分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.
(3)解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，
分数段的人数为 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，，需在分数段内抽人，分别记为，，，
设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，
则样本空间共包含个样本点
而的对立事件包含个样本点
所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为．
（1）解：∵平面，平面，∴，又四边形是矩形，
∴，∵，∴平面，∵平面，∴，
又是的中点，，∴，∵，所以平面.
解：∵底面是矩形，∴，∴异面直线与所成角为直线与直线所成的角，
由（1）得平面，∴⊥平面，
∵平面，∴，∴为直角三角形，
又是的中点，，∴，∴在中，为异面直线与所成角，
故，∴异面直线与所成角的正切值为.
解：取中点为，连接，，在中，分别为线段的中点，
故，∵平面，∴平面，
∴，由（1）得平面，∵平面，∴，
∵，∴
又，∴,∴，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得：，故，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22．【详解】（1）令，解得，
故的单调递增区间为
（2）等价于，
解得或，
因为，所以，，如图，绘出函数的图像，方程有三个不同的实数根
等价于有一个实数解且有两个不同的实数解
或有两个不同的实数解且有一个实数解，
①当或时，无解，不符合题意；
②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；
③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；
④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意.
综上，m的取值范围为．答案第1页，共2页
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