浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学 原卷版
考生须知：
1． 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2． 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3． 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4． 考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
2
A. B. C. D.
3. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. 8 D.
4. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若且，则 B. 若且，则
C. 若且，则 D. 若且，则
5. 函数的部分大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，各棱长均相等的正三棱柱中，点为棱的中点，点为棱的三等分点（靠近），点为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 三棱锥体积为定值
C. 当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
D. 当时，三棱柱被截面分成上下两部分体积相等
8. 已知函数在区间上是减函数，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，角以正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点，则符合条件的角可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知时，，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 方程的解只有一个 B. 方程的解有五个
C. 方程的解有五个 D. 方程的解有五个
12. 如图三棱锥的所有棱长均相等，、为棱、上（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成的角分别为、，则下列判断正确的是（ ）
A. 正负与点、点位置都有关
B. 正负由点确定，与点位置无关
C. 最大为
D. 最小为
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13. 已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．
14. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．
15. 已知，，则_________．
16. 如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
18. 已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得是必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上存在最小值，求实数的取值范围．
20. 已知梯形木板，，米，米，现要把木板沿线段锯成面积相等两部分，其中点在线段上，在另外的三条边上．
（1）当在线段上，设米，米，求的值；
（2）求锯痕的最小值．
21. 用文具盒中的两块直角三角板（直角三角形和直角三角形）绕着公共斜边翻折成的二面角，如图和，，，，，将翻折到，使二面角成，为边上的点，且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22. 已知函数．
（1）时，①求不等式的解集；②若对任意的，，求实数取值范围；
（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．浙江省名校协作体2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学 解析版
考生须知：
1． 本卷满分150分，考试时间120分钟；
2． 答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；
3． 所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；
4． 考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，即可解得的值.
【详解】由已知可得，解得.
故选：B.
2.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果.
详解：选D.
点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.
3. 一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（ ）
A. B. C. 8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．
【详解】还原直观图为原图形如图所示，
因为，所以，还原回原图形后，
，；
所以原图形的面积为．
故选：D
4. 设，为不重合的两条直线，，为不重合的两个平面，下列命题错误的是（ ）
A. 若且，则 B. 若且，则
C. 若且，则 D. 若且，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.
【详解】对于A，当且时，，所以A正确，
对于B，当且时，过作平面，交于直线，则∥，因为，所以，因为，所以，所以B正确，
对于C，当且时，，可能平行，可能异面，可能相交，故C错误，
对于D，当且时，则，所以D正确，
故选：C
5. 函数的部分大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.
【详解】函数定义域为，
则，
即为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A；
又，故排除C；，故排除B;
故选：D
6. 在中，角，，所对的边分别为，，，，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据数量积可知三角形中，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.
【详解】由得，，令
则上式等价于，取AD中点E，连接BE，如图，
而，故只需求∠CBE的最大值，设，则
固定CE , 由平面几何知识，
故选：A
7. 如图，各棱长均相等的正三棱柱中，点为棱的中点，点为棱的三等分点（靠近），点为棱上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥体积为定值
B. 三棱锥体积为定值
C. 当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
D. 当时，三棱柱被截面分成的上下两部分体积相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.
【详解】A项，到平面距离为定值， 但不为定值，故,不为定值， 故错误；
B项， 到平面距离为定值， 但 不为定值，故不为定值，故错误；
C、D项：由于，由对称性知当时，三棱柱被截面MNP分成的上下两部分体积相等，故C错误，D正确.
故选：D
8. 已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.
【详解】由题意，在上恒成立，
即在上恒成立，
因为在上单调递增，所以，
所以在时，，
所以.
故选：B
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分．
9. 在平面直角坐标系中，角以正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点，则符合条件的角可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据题意知角的余弦为，据此求解即可.
【详解】对A，当时，，故错误；
对B，当时，，故正确；
对C，当时，，故正确；
对D，当时，，故错误.
故选：BC
10. 已知非零实数，，满足，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据题意知故可判断A，取特殊值判断BC，由不等式的性质判断D.
【详解】A选项，由于，故，所以，正确；
B选项，取 知不成立，错误；
C选项，取知不成立，错误;
D选项，由于得， 而， 故，正确.
故选：AD
11. 已知时，，则关于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 方程的解只有一个 B. 方程的解有五个
C. 方程解有五个 D. 方程的解有五个
【答案】ACD
【解析】
【分析】作出函数的图象，换元后从外到内研究，先求与图象交点的个数，转化为内层函数或的取值范围，据此再结合的图象即可判断的根的个数.
【详解】作出图象，如图，
A项，因为，显然与有唯一交点，故正确；
B项，令，则或或或或个解，故错误；
C项，令，则
有3个解，
有2个解，共有5个解，故正确；
D项，令，则
有3个解，有2个解，共有5个解，故正确.
故选择：ACD
【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析，根据方程的根的个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.
12. 如图三棱锥的所有棱长均相等，、为棱、上（包括端点）的动点，直线与平面、平面所成的角分别为、，则下列判断正确的是（ ）
A. 正负与点、点位置都有关
B. 正负由点确定，与点位置无关
C. 最大为
D. 最小为
【答案】BCD
【解析】
【分析】取中点，连接、，过点在平面内分别作、，垂足分别为点、，利用线面角的定义可判断AB选项；求出的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD选项.
【详解】解：取中点，连接、，
过点在平面内分别作、，垂足分别为点、，
如下图所示：
在三棱锥中，、均为等边三角形，
因为为的中点，则，，
，、平面，平面，
平面，，
，，、平面，平面，
所以，直线与平面所成角为，即，同理，
所以，，，所以，，
所以，的正负只与点的位置有关，A错B对；
设，则，且，
在中，，
所以，，
则，所以，，
将正四面体补成正方体，如下图所示：
连接，在线段上取点，使得，
因为且，故四边形为平行四边形，
平面，平面，，
所以，四边形为矩形，且，
因为且，故四边形为矩形，则且，
平面，则，故，
设，因为四边形为正方形，则，
所以，，且、，故，
故，
则，，CD都对.
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为.
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13. 已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据圆锥的高为1，圆锥的轴截面为等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求得答案.
【详解】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形.
则圆锥的底面直径为2，母线长为 ，
故该圆锥侧面积为 ，
故答案：
14. 函数的图象恒过定点，若点在直线上，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由指数函数的性质，可得，再根据基本不等式“”的用法，即可求出结果.
【详解】∵函数的图象恒过定点，则，
∴，
当且仅当，即，时取等号
故答案为：.
15. 已知，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据对数性质判断，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案.
【详解】由题意可知，
由，可得，
则，则，
故,
故答案为:
16. 如图，正的外接圆半径为，点是劣弧上的一动点，则的最小值为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】由圆的性质可知是的角平分线，故可知与同向共线，再由平方可得的模为1，原式可化为换求的最小值.
【详解】由圆的性质可知，，
，是与同向的单位向量，
设，原式可化为,
由外接圆半径可知，，
,
当时，有最小值，
即的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 设是实数，复数，（是虚数单位）．
（1）在复平面内对应的点在第一象限，求的取值范围；
（2）求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）化简复数，由已知列不等式组，解出的取值范围；
（2）求出，利用二次函数的性质可得最小值．
【小问1详解】
，则，解得；
【小问2详解】
，则，，，当时，的最小值为．
18. 已知集合，集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得是的必要不充分条件？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）或；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）化简集合N，求出其补集，由列出不等式组求解即可；
（2）根据必要不充分条件转化为，列出不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题意，，所以或，
因为，所以或，
解得或，
所以实数m的取值范围是或.
【小问2详解】
假设存在实数m，使得是的必要不充分条件，
则，即，
则，解得，
故存在实数使得是的必要不充分条件.
19. 已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）若在上存在最小值，求实数的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得，由计算得解.
（2）由题知，在上存在最小值，只需，继而得解.
【小问1详解】
，
由，得，
所以的单调递增区间为：.
【小问2详解】
当时，，
因为在上存在最小值，所以，
所以.
20. 已知梯形木板，，米，米，现要把木板沿线段锯成面积相等的两部分，其中点在线段上，在另外的三条边上．
（1）当在线段上，设米，米，求的值；
（2）求锯痕的最小值．
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】（1）过点、分别作、，垂足分别为点、，计算出的长，可求得梯形的面积，再利用三角形的面积公式可求得的值；
（2）对点所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得在不同情况下的最小值，综合可得结果.
【小问1详解】
解：过点、分别作、，垂足分别为点、，
因为，，，故四边形为等腰梯形，
所以，，又因为，则，
，
因为、，则，且，
所以，四边形为平行四边形，则，，
所以，，则，故，，
故，
，即，故.
【小问2详解】
解：当点在上时，，，
当且仅当时，等号成立，即；
当点在上（不包括端点）时，四边形为梯形，
因为，当且仅当、分别为、的中点时，
则，当且仅当、分别为、的中点时取最小值；
当点在上时，由题意可知，由对称性可知，.
综上所述，长度的最小值为米.
21. 用文具盒中的两块直角三角板（直角三角形和直角三角形）绕着公共斜边翻折成的二面角，如图和，，，，，将翻折到，使二面角成，为边上的点，且．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取BC中点F，连接，可证明平面，再由线面垂直的性质即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可.
【小问1详解】
取BC中点F，连接，如图，
由已知知；又，则，
，
，，即，
又，平面，
平面，.
【小问2详解】
以F为坐标原点建系如图，
则，
故，，，
设平面的法向量，则
令，则，即，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
22. 已知函数．
（1）时，①求不等式的解集；②若对任意的，，求实数取值范围；
（2）若存在实数，对任意的都有恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）①，②，
（2）
【解析】
【分析】（1）①分和两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分，和三种情况求解，
（2）当时，恒成立，所以当时，恒成立，则，得，由，得，然后分和求出和，使可求得结果.
【小问1详解】
当时，，
①由，得，
当时，，解得，
当时，恒成立，得，
综上，
所以不等式的解集为，
②因为，
所以在上为增函数，
当时，不恒成立，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，此时不存在，
当时，由，得，
所以，所以恒成立，
所以，得，
综上，，即实数取值范围，
【小问2详解】
由，得，
当时，恒成立，
当时，恒成立，所以，
所以，得，
由，得，得，
当时，，，
所以，
所以存在满足以上不等式，则，得，此时，
当时，，，
所以有解，
所以，解得，
综上可得，即实数的取值范围为
【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当时，恒成立，则，然后转化为求，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
