临沂市重点中学2022-2023学年高一上学期9月入学考试
数学 解析版
（时间：90分钟；满分：120分）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. －5的相反数是（ ）
A. B. C. －5 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据相反数的概念直接判断即可.
【详解】由相反数的概念可知，-5的相反数是5.
故选：D
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形直接判断即可.
【详解】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，错误；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，错误；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，错误．
故选：A．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则即可逐一判断.
【详解】A．，故A不符合题意；
B．，故B不符合题意；
C．与不能合并，故C不符合题意；
D．，故D符合题意．
故选:D．
4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求得不等式的解，即可判断出答案.
【详解】不等式的解为 ，
故选：B
5. 下列物体中，三视图都是圆的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见的空间几何体的三视图，即可作出判断.
【详解】A．圆柱的主视图是矩形，左视图是矩形，俯视图是圆，不符合题意；
B．圆锥的主视图是三角形，左视图是三角形，俯视图是圆，不符合题意；
C．正方体的三视图都是正方形，不符合题意；
D．球的三视图都是圆，符合题意．
故选:D．
6. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是（ ）
A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
【答案】C
【解析】
【分析】由题意设这个外角是x，则内角是3x，再由其和为可求出外角，然后由除以这个角可得结果.
【详解】∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，
∴设这个外角是x，则内角是3x，根据题意得：，
解得x＝45°，．
故选：C．
7. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据进而得，即可求解.
【详解】∵，∴，∴，∴．
故选：B．
8. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
【答案】A
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式，可得答案.
【详解】∵，∴方程无实数根．
故选：A．
9. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】列举出所有可能的结果，利用古典概型计算概率即可.
【详解】根据题意，闭合两个开关所有的可能为，
其中能形成闭合电路的为，
所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．
故选：B．
10. 如图，在△ABC中，，∠ADE＝∠EFC，，CF＝6，则DE的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】先证四边形BDEF为平行四边形，然后由直线平行得相似三角形，从而得比例线段后可求得结论．
【详解】∵，∴∠ADE＝∠B．∵∠ADE＝∠EFC，∴∠B＝∠EFC，
∴，∴四边形BDEF为平行四边形，∴DE＝BF．
∵，∴△ADE∽△ABC，
∴，∴，∴，∴DE＝10．
故选：C．
11. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设这辆汽车原计划的速度是，再表示出实际速度，利用时间列方程．
【详解】设这辆汽车原计划的速度是，则实际速度为，根据题意所列方程是．
故选：A．
12. 如图为二次函数的图象．
在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象特征即可结合选项逐一判断.
【详解】①利用图象中抛物线开口向上可知，与y轴负半轴相交可知，所以．
②图象中抛物线与x轴交点的横坐标为－1，3，可知方程的根是，．
③从图中可知抛物线上横坐标为1的点在第四象限内，所以．
④从与x轴两交点的横坐标为－1，3可知抛物线的对称轴为x＝1且开口向上，所以当时，y随x的增大而增大．所以正确的说法是：①②④．
故选:C．
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. ______．（填“>”“<”或“＝”）
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，然后利用不等式的性质可得结论.
【详解】∵，∴，
∴，
∴．
故答案为：．
14. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式，结合平方差公式即可求解.
【详解】．
故答案为：
15. 如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】结合点的平移求解即可.
【详解】解：∵四边形为平行四边形，∴，即将点平移到的过程与将点平移到的过程保持一致．
∵将点平移到的过程是：（向左平移4个单位长度）；（上下无平移）．
∴将点平移到的过程按照上述一致过程进行得到，即．
故答案为：
16. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为______．
【答案】24
【解析】
【分析】根据三角形全等可得点,进而代入反比例函数中即可求解.
详解】如图所示，过点C作轴．
∵点，，∴OB＝4，OA＝2．
∵四边形ABCD为正方形，∴∠CBA＝90°，AB＝BC，∴∠CBE＋∠ABO＝90°．
∵∠BAO＋∠ABO＝90°，∴∠CBE＝∠BAO．
∵∠CEB＝∠BOA＝90°，BC＝AB，∴△BCE≌△ABO，
∴BE＝OA＝2，CE＝OB＝4，∴OE＝OB＋BE＝6，∴．
将点C代入反比例函数解析式可得：k＝24．
故答案为：24
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）化简：；
（2）解不等式：．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用分式的运算法则求解，
（2）利用不等式的性质求解.
【详解】（1）原式
（2），
，
，
，
．
18. 某班的班主任为了了解该班学生消防安全知识水平，组织了一次消防安全知识测试，然后从该班60名学生中，随机抽取了男生、女生各15人的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】15名男生测试成绩如下：（满分100分）
66，74，89，85，79，85，74，89，80，85，76，85，69，83，81
15名女生测试成绩如下：（满分100分）
83，90，83，76，69，76，67，83，79，83，80，89，83，76，83
【整理数据】按如下分数段整理这两组样本数据
组别 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5
男生（人数） 2 2 3 6 2
女生（人数） 2 0 5 6 2
【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级 平均数 众数 中位数 方差
男生 80 85 81 45.2
女生 80 83 83 38.3
（1）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全班学生中消防安全知识测试合格的学生有______人；
（2）由统计可知，样本中男生、女生各有两人的得分超过85分，该班班主任想从这四名同学中随机抽取两名同学作为代表到消防中队参加消防安全知识培训，请用画树状图或列表的方法求被抽取的同学为一男一女的概率；
（3）分析相关数据，从两个方面说明该班对消防安全知识掌握较好的是男生还是女生．
【答案】（1）32 （2）
（3）该班对消防安全知识掌握较好的是女生，理由见解析
【解析】
【分析】（1）直接由80分以上频率估算全班学生中消防安全知识测试合格的学生即可；
（2）画出树状图，再由古典概型求解即可；
（3）从中位数和方差两个方面说明即可.
【小问1详解】
全班学生中消防安全知识测试合格的学生有；
【小问2详解】
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被抽取的同学为一男一女的结果有8种，所以被抽取的同学为一男一女的概率为；
【小问3详解】
该班对消防安全知识掌握较好的是女生，理由如下：①女生测试成绩的中位数男生测试成绩的中位数；
②男生测试成绩的方差>女生测试成绩的方差，所以该班对消防安全知识掌握较好的是女生．
19. 2022年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为270m，雪道长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
【答案】（1）235m
（2）甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
【解析】
【分析】（1）过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，进而根据几何关系求得，即可得答案；
（2）设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，进而结合题意列方程求解即可.
小问1详解】
解：过作，过作，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：
根据题知 ，∴．
∵BC的坡度，∴．
设，则，∵，∴，
解得（负值已舍去），∴，
所以，该滑雪场的高度h为235m．
【小问2详解】
解：设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，解得，
经检验，是原分式方程的解，也符合题意，∴．
所以，甲种设备每小时的造雪量是，乙种设备每小时的造雪量是．
20. 如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象在第二象限交于点，过点A作轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点满足CE＝CA，求a的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点A在反比例函数图象上可得m，然后结合图形求点C坐标，再由点A、C坐标代入一次函数可解；
（2）由勾股定理求AC，然后讨论点E位置可得.
【小问1详解】
∵点在反比例函数的图象上，
∴，∴．
∵轴，∴AD＝2，OD＝1，∴CD＝AD＝2，
∴OC＝CD－OD＝1，∴．
把点，代入中，得，解得，
∴一次函数的表达式为．
【小问2详解】
在Rt△ADC中，，∴，
当点E在点C的左侧时，，当点E在点C的右侧时，，
∴a的值为．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接OD，CD，则由已知可得△ADC是等边三角形，再由∠C＝90°，OD＝OC，可得∠ODC＝∠DCO＝30°，则可得∠ADO＝90°，从而可证得结论，
（2）由已知条件结合勾股定理可得OD＝1，从而可求得.
小问1详解】
证明：连接OD，CD．
∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴，∠A＝90°－∠B＝60°．
∵D为AB的中点，∴，
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形，
∴∠ADC＝∠ACD＝60°．
∵∠ACB＝90°，∴∠DCO＝90°－60°＝30°．
∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠DCO＝30°，
∴∠ADO＝∠ADC＋∠ODC＝60°＋30°＝90°，即．
∵OD为半径，
∴直线AB是⊙O的切线．
【小问2详解】
由（1）可知：，
又∵，∴．
∵∠B＝30°，∠BDO＝∠ADO＝90°，
∴∠BOD＝60°，BO＝2DO，
由勾股定理得：，即，
解得OD＝1（负值已舍去），
所以阴影部分的面积．
22. 如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据菱形的边长，根据锐角三角函数可求对角线的长度，进而可求面积，
（2）根据图形中的角度关系，利用三角形的内角和，以及外角和，垂直平分线等几何性质，通过证明角相等，进而得线段相等.
【小问1详解】
∵四边形ABCD是菱形，∴且AO＝CO，BO＝DO．
∵∠ABC＝60°，∴．
∵AB＝10，，∴，，
∴AC＝2AO＝10，，
∴菱形ABCD的面积．
【小问2详解】
证明：如图，连接EC，
设∠BAE的度数为x．
∵四边形ABCD为菱形，∴BD是AC垂直平分线，
∴，，．
∵，∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，∴．
∵，∴．
23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），
（3）存在，，
【解析】
【分析】（1）根据抛物线经过三点，设抛物线的两根式，代入点坐标即可求解，
（2）根据两个三角形的面积，得到四边形的面积表达式，结合二次函数的性质即可求解最大面积,
（3）根据两点间距离公式以及中点坐标公式即可求解.
【小问1详解】
当时，，∴．
当y＝0时，，∴，∴．
∵对称轴直线，∴，
∴设抛物线的表达式为，∴，∴，
∴抛物线的表达式为．
【小问2详解】
如图，过点D作于点F，交AC于点E，
∴，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴当时，，
当时，，∴．
【小问3详解】
设，∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，
即，∴，∴，∴．
∵，，
∴，，∴．临沂市重点中学2022-2023学年高一上学期9月入学考试
数学 原卷版
（时间：90分钟；满分：120分）
第Ⅰ卷（选择题 共36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. －5相反数是（ ）
A. B. C. －5 D. 5
2. 下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列计算正确的是（ ）
A B.
C. D.
4. 不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列物体中，三视图都是圆的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为，则这个正多边形是（ ）
A. 正方形 B. 正六边形 C. 正八边形 D. 正十边形
7. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根 B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 不能判定
9. 如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
10. 如图，在△ABC中，，∠ADE＝∠EFC，，CF＝6，则DE的长为（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
11. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是，根据题意所列方程是（ ）
A. B.
C. D.
12. 如图为二次函数的图象．
在下列说法中：①；②方程的根是，；③；④当时，y随x的增大而增大．正确的说法有（ ）
A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第Ⅱ卷（非选择题 共84分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13. ______．（填“>”“<”或“＝”）
14. 因式分解：______．
15. 如图，四边形为平行四边形，则点的坐标为______．
16. 正方形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，点A的坐标为，点B的坐标为．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17. （1）化简：；
（2）解不等式：．
18. 某班的班主任为了了解该班学生消防安全知识水平，组织了一次消防安全知识测试，然后从该班60名学生中，随机抽取了男生、女生各15人的成绩进行调查统计，过程如下：
【收集数据】15名男生测试成绩如下：（满分100分）
66，74，89，85，79，85，74，89，80，85，76，85，69，83，81
15名女生测试成绩如下：（满分100分）
83，90，83，76，69，76，67，83，79，83，80，89，83，76，83
【整理数据】按如下分数段整理这两组样本数据
组别 65.5～70.5 70.5～75.5 75.5～80.5 80.5～85.5 85.5～90.5
男生（人数） 2 2 3 6 2
女生（人数） 2 0 5 6 2
【分析数据】两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
班级 平均数 众数 中位数 方差
男生 80 85 81 45.2
女生 80 83 83 38.3
（1）若规定得分在80分以上（不含80分）为合格，请估计全班学生中消防安全知识测试合格的学生有______人；
（2）由统计可知，样本中男生、女生各有两人的得分超过85分，该班班主任想从这四名同学中随机抽取两名同学作为代表到消防中队参加消防安全知识培训，请用画树状图或列表的方法求被抽取的同学为一男一女的概率；
（3）分析相关数据，从两个方面说明该班对消防安全知识掌握较好的是男生还是女生．
19. 2022年北京冬奥会成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为两部分，小明同学在点测得雪道的坡度，在点测得点的俯角．若雪道长为270m，雪道长为260m．
（1）求该滑雪场的高度h；
（2）据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．
20. 如图，一次函数的图象与x轴正半轴交于点C，与反比例函数的图象在第二象限交于点，过点A作轴，垂足为D，AD＝CD．
（1）求一次函数的表达式；
（2）已知点满足CE＝CA，求a的值．
21. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D为边AB的中点，点O在边BC上，以点O为圆心的圆过顶点C，与边AB交于点D．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
22. 如图，菱形ABCD边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证：AE＝EF．
23. 如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝－1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
