射洪市2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学试题 原卷版
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知集合0，1，，，则
A. B. C. 0， D. 1，
2. （ ）
A. 0 B. C. D. 1
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 42
6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即）约为33.65°，夏至正午太阳高度角（即）约为.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知，）
A 4.36米 B. 4.83米 C. 5.27米 D. 5.41米
8. 在中，已知，且，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
9. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. 20 B. 15 C. 8 D.
10. 已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ）
A B.
C. D.
11. 在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. △ABC满足，∠BAC＝60°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）＝（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若，则的最小值为（ ）
A. 24 B. 9 C. 16 D.
二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 数列前项和为，其中是首项为5，公比为5的等比数列，则___________.
14. 已知向量与夹角为，，，则___________.
15. 设α锐角，若，则________．
16. 将函数图象与直线的所有交点从左到右依次记为，，…，若P点坐标为（0，1），则________．
三 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知．
（1）当不等式的解集为时，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
18. 已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设长方体底面长为，由于地形限制，，水池总造价为元.
（1）求的解析式；
（2）求的最小值.
20. 如图，是四棱柱的三视图.
（1）判定四棱柱是何种几何体，并画出其的直观图；
（2）求四棱柱的外接球面的面积
（3）求四面体的体积；
21. 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域；
（3）在锐角△中，角A、B、C的对边分别为，若，，求△面积的最大值.
22. 已知数列的前项和，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，
（i）证明：数列等差数列；
（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.射洪市2022-2023学年高二上学期9月入学考试
数学试题 解析版
一 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1. 已知集合0，1，，，则
A. B. C. 0， D. 1，
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合N，再求即可．
【详解】集合0，1，，
，
．
故选B．
【点睛】本题考查了集合的化简与简单运算问题，是基础题目．
2. （ ）
A. 0 B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】利用诱导公式及两角和的余弦公式计算可得.
【详解】解：
.
故选：A
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示即可解出．
【详解】由，得，则.
故选：D．
4. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用两角差的正切公式计算可得结果.
【详解】.
故选：D
5. 已知等比数列满足，，则（ ）
A. 18 B. 24 C. 30 D. 42
【答案】C
【解析】
【分析】由等比数列的通项公式求得公比，然后再由通项公式计算．
【详解】设的公比为，则，解得（负值舍去），
所以．
故选：C．
6. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由指数函数单调性可判断B正确，D错误；由分式性质可知A错误；由对数函数性质可知C错误.
详解】由得：，
有，A错误；
因，所以有，B正确；
，但不一定大于1，所以不一定大于0，C错误；
，D错误.
故选：B
7. 圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）.当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至.如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬至正午太阳高度角（即）约为33.65°，夏至正午太阳高度角（即）约为.圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即的长）为7米，则表高（即的长）约为（ ）（已知，）
A. 4.36米 B. 4.83米 C. 5.27米 D. 5.41米
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可求出，，再由的长为米，求出，即可得出答案.
【详解】由图可知，，
所以，，
得，解得，
故选：C.
8. 在中，已知，且，则的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形
C. 直角三角形 D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正弦的边角互化可得，即从而可得，再由正弦定理的边角互化可得，即求.
【详解】，
则，
.
,
为等腰直角三角形.
故选：B
9. 等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A. 20 B. 15 C. 8 D.
【答案】B
【解析】
【分析】由等比数列的性质计算．
【详解】是等比数列，则，，，
，
故选：B．
10. 已知△ABC的三边分别是a，b，c，设向量＝(sinB－sinA，a＋c)，＝(sinC，a＋b)，且∥，则B的大小是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正弦定理，把已知条件转化为a2＋c2－b2＝－ac，利用余弦定理及可求出B.
【详解】因为∥，
所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c).
由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得cosB＝＝＝－.
又0故选：B
11. 在锐角三角形中，a，b，c分别是内角A，B，C的对应边，设A＝2C，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦定理把边化角，再用三角恒等变换化简，转化为三角函数的值域问题，即可求解
【详解】由正弦定理可得
又因为三角形是锐角三角形，
所以，即，也即,
所以，
所以，，，
，
所以取值范围是，
故选：A
12. △ABC满足，∠BAC＝60°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），定义f（M）＝（x，y，z），其中x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，若，则的最小值为（ ）
A. 24 B. 9 C. 16 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的数量积以及三角形的面积公式可得，再由，利用基本不等式即可求解.
【详解】由已知可得，
，
,
又，
即，解得，
所以，
当且仅当，时，取等号.
故选：D.
二 填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
13. 数列前项和为，其中是首项为5，公比为5的等比数列，则___________.
【答案】．
【解析】
【分析】由等比数列通项公式求得，再由及求解．
【详解】由题意，
时，，
又，
所以，
故答案为：．
14. 已知向量与的夹角为，，，则___________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据数量积的定义求出，再根据及数量积的运算律计算可得.
【详解】解：因为向量与的夹角为，，，
所以，
所以
故答案为：
15. 设α为锐角，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】先由，求出，则可求得，而，利用两角差的正切公式化简计算即可
【详解】因为α为锐角，若，
所以，
所以，
所以
，
故答案为：
16. 将函数图象与直线的所有交点从左到右依次记为，，…，若P点坐标为（0，1），则________．
【答案】
【解析】
【分析】先作图分析直线和余弦函数的交点个数，再根据直线和余弦函数的对称性，分析这些交点之间的联系，最后求解.
【详解】
在同一坐标系中画出，的图象，可分析出它们只有5个交点，如上图所示，注意到都关于对称，那么、也关于对称，根据向量的加法法则，
于是.
故答案为：
三 解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17. 已知．
（1）当不等式的解集为时，求实数的值；
（2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）．
【解析】
【分析】（1）由题意知，和是方程的两个根，即可得到方程，解得即可．
（2）若恒成立，可根据二次不等式恒成立的条件，构造关于的不等式，解不等式可求出实数的取值范围；
【详解】解：（1）由，得．
又的解集为，
所以和是方程的两个根
或
（2）由，得
即
又对任意实数，恒成立，
即，对任意实数恒成立，
，解得，
∴实数取值范围为．
【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题．
18. 已知各项都不相等的等差数列，，又，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由等差数列的通项公式列方程组求得，然后可得通项公式；
（2）对分组求和，其中一部分用等比数列的前项和公式计算，另一部分配对后计算．
【小问1详解】
∵为各项都不相等的等差数列，设的公差为，
，且，，成等比数列.所以，
解得，∴数列的通项公式.
【小问2详解】
由（1）知，，记数列的前项和为，
则.
记，，
则，.
故数列的前项和.
19. 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为3，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，设长方体底面长为，由于地形限制，，水池总造价为元.
（1）求的解析式；
（2）求的最小值.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意列出底面积与侧面积，再根据每平米造价即可表示出总造价.
（2）对的范围分类讨论，根据基本不等式以及函数单调性即可求函数最小值.
【小问1详解】
设底面宽为，则由，得，
∴
【小问2详解】
令，由，当且仅当时取“=”，
当时，在时；
当时，设任意，，且，
∴
由，得，，，
∴，即，
∴在单调递减.
∴在时，.
20. 如图，是四棱柱的三视图.
（1）判定四棱柱是何种几何体，并画出其的直观图；
（2）求四棱柱的外接球面的面积
（3）求四面体的体积；
【答案】（1）四棱柱是长方体，直观图答案见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据三视图画出直观图即可；
（2）长方体的对角线长即为外接球面直径，求出外接球的半径，再根据球的表面积公式求解即可；
（3）根据结合锥体和柱体得体积公式计算即可.
【小问1详解】
解：四棱柱是长方体，且其长 宽 高分别为5 4 3，其直观图如下图：
【小问2详解】
解：长方体的对角线长即为外接球面直径，设为，
则，
则外接球面的面积为；
【小问3详解】
解：
.
21 已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数在区间上的值域；
（3）在锐角△中，角A、B、C的对边分别为，若，，求△面积的最大值.
【答案】（1）；单调递增区间为；（2）；（3）.
【解析】
【分析】（1）应用二倍角余弦公式、辅助角公式可得，根据正弦函数的性质即可求最小正周期、递增区间；
（2）由给定区间可知，根据正弦函数性质求区间值域即可.
（3）由题设可得，应用余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求△面积的最大值.
【详解】（1），
∴的最小正周期.
由得：，
∴的单调递增区间为
（2），
，则，即，
∴函数在区间上的值域为
（3）由，由为锐角，得.
由余弦定理，得
∴，当且仅当时等号成立.
∴.
∴△面积的最大值为.
22. 已知数列的前项和，其中.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，
（i）证明：数列为等差数列；
（ii）设数列的前项和为，求成立的的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据即可求解；
（2），两边除以即可证明等差数列；利用错位相减法求，解不等式即可求得的最小值.
【小问1详解】
，
.
时，，也适合上式，
所以.
【小问2详解】
（i）证明：当时，，
将其变形为，即，
数列是首项为，公差为2的等差数列.
（ii）解：由（i）得，，所以.
因为，
所以，
两式相减得，
整理得.
∴，即.∴，
故.
