文科数学答案
1~12.BCABDCCAAAAD
13．3x y 5 0 14．30
1
15． 2 2 16． 1 a 1e
2 2 2
17 (1) 2 2
1 a c b 1
． 由 a b bc accosB，可得 a2 b2 ac bc ，
2 2ac 2
2
2 2 2 b c
2 a2 1
得b c a bc，则 cos A ，2bc 2
由于0 A π π，所以 A 3．--------------------------------------------------------(6 分)
(2)由bsinA 3sinB，可得 asin B 3sin B，又 sin B 0，则 a 3，
则 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 bc 2bc bc，（当且仅当b c时等号成立）
则bc 3，（当且仅当b c 3时等号成立）
S 1 1 3 3 3△ABC bc sin A 3 ，即 ABC
3 3
面积的最大值为 ．----------------------(12 分)
2 2 2 4 4
3
18．（1）因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为 ，所以喜欢游泳的学
5
生人数为100
3
60 .其中女生有 20 人，男生有 40 人，列联表补充如下：
5
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 100
--------------------------------------------------------(6分)
n(ad bc)2K 2 100 (40 30 20 10)
2
(2)因为 16.667 10.828，所以有
(a b)(c d )(a c)(b d ) 60 40 50 50
99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关--------------------------------------------------------(12 分)
19．证明：因为 ABC为等腰三角形，F为 BC的中点，所以 AF⊥BC，
又平面 ABC⊥平面 BCD，平面 ABC 平面 BCD BC， AF 平面 ABC.
所以 AF⊥平面 BCD，取 CD的中点 G，连接 EG，因为△CDE是等边三角形，所以 EG⊥CD，
因为平面 CDE⊥平面 BCD，交线为 CD，且 EG 平面 CDE，所以 EG⊥平面 BCD，所以
AF∥EG，又 AF 平面 ECD， EG 平面 ECD，所以 AF∥平面 ECD.--------------------(6 分)
(2)设多面体 ABCDE的体积为 V，则V VE BCD VE ABC ，连接 DF，
因为△BCD与△CDE均为边长为 2 的等边三角形，
ABC为腰长为 13的等腰三角形，所以 EG DF 3， AF 2 3，
1 1 3
所以VE BCD S3 △BCD
EG 4 3 1，
3 4
因为 AF∥EG，又 EG 平面 ABC， AF 平面 ABC，所以 EG∥平面 ABC，
V V 1 V 1 V 1 1 1 3所以 E ABC G ABC D ABC A BCD S△ BCD AF 4 2 3 12 2 2 3 6 4
故V VE BCD VE ABC 2 .--------------------------------------------------------(12 分)
x2 220．(1)由 P y为椭圆 2 2 1（ a b 0）上一点， F1， F2分别是椭圆的左、右焦点，a b
PF1 PF2 4 2，可得， 2a 4 2 ，
所以 a 2 2，
e c 2 2又 ，则 c a 2，
a 2 2
x 2 y 2
所以，b2 a 2 c2 4，故椭圆的标准方程为 1；---------------------------------(4 分)
8 4
(2)由题意可知过 F1的直线 l斜率存在且 k 0，可设其方程为 y k x 2 k 0 ， A x1, y1 ，
y k x 2
B x , y ，则C x , y ，由 x2 2 2 2 22 2 2 2 y2 得： 1 2k x 8k x 8k 8 0，则
1 8 4
2
x
8k
1
x2 1 2k 2 1
，所以 S AFC S ABC S BFC 2y x x
1
2 1 2 2y2 2 x2 1 1
2 2
2
x1x
8k 8
2 1 2k 2
y2 x1 x2 2 x2 y2 x1 2
8k 2 8 8k 2
k x2 2 x1 2 k x1x2 2 x1 x2 4 k 2 2 4
1 2k 1 2k
2
4k 4 4 4
2 k 22 1 1 ，当且仅当 时，等号成立.1 2k 2k 2k 2 2 2
k k
所以，△AF1C面积的最大值为 2 .--------------------------------------------------------(12 分)
21．(1)解： f (x)
1
a， x 0，
x
当 a 0时， f (x) 0恒成立，所以 f (x)在 (0, )上单调递增．
f e a 1 ae a 1又 a 1 1 a e a 1 1 0， f (1) a 1 0，
所以此时 f (x)在 (0, )上仅有一个零点，符合题意；
当 a 0时，令 f (x) 0，解得0 x
1
；令 f (x) 0
1
，解得 x ，
a a
1
f (x) 0, 1所以 在 上单调递增，所以 f (x)
在
a
, 上单调递减．
a
1
要使 f (x)在 (0, )上仅有一个零点，则必有 f 0，解得a 1．
a
综上，当 a 0或 a 1时， f (x)在 (0, )上仅有一个零点．---------------------------------(5 分)
(2)因为 f (x) ax ln x 1，所以对任意的 x 0， f (x) xe2x恒成立，
2x ln x 1
等价于 a e 在 (0, )上恒成立．
x
m(x) e2x ln x 1令 (x 0)，则只需 a m(x)min 即可，x
2 2x
则m (x) 2x e ln x ，
x2
再令 g(x) 2x2e2x
1
ln x(x 0)，则 g (x) 4 x2 x e2x 0，x
g(x)在 (0, )上单调递增．
g 1 e
1
因为 2ln 2 0， g(1) 2e
2 0，所以 g(x)有唯一的零点 x0，且 x0 1，
4 8 4
所以当0 x x 时，m 0 (x) 0，当 x x 0时，m (x) 0，
所以m(x)在 0, x0 上单调递减，在 x0 , 上单调递增．
2 2x
因为 2x0e 0 ln x0 0，所以 2x0 ln 2x0 ln ln x0 ln x0 ，
设 S (x) x ln x(x 0)，则 S (x)
1
1 0，
x
所以函数 S(x)在 (0, )上单调递增．因为 S
1
2x S ln x 2x ln x e2x00 0 ，所以 0 0，即 x ．0
ln x 1 1 ln x 1所以m(x) m x0 e2x0 0 0 2x x x x ，0 0 0 0
则有 a 2．所以实数 a 的取值范围为 ( , 2]．------------------------------------------(12 分)
x 1 2 t ,
22 2．(1)由 （t 为参数），
y
2
t
2
2 x22 2 2 y
2 ,
可得 l 的普通方程为 x y 1 0；由曲线 C 的极坐标方程 3 sin 4及
sin y,
2
可得 x2 y2 3y2 4 x，整理得 y2 1，
4
x2
所以曲线 C 的直角坐标方程为 y2 1．--------------------------------------------------------(5 分)
4
(2)易知点 M 在直线 l 上，
2 2
2 2
将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，得 1 t 4 t2 2
4，
即5t 2 2 2t 6 0 ，
2 2 6
设 P，Q 对应的参数分别为 t1, t2 ，则 t1 t2 , t1t2 ，5 5
因为 t1t2 0，
2
所以 MP MQ t 2 2 6 8 2 1 t 2 t1 t 2
2 4t1t 2 4
．----------------(10 分)
5 5 5
23．(1)由题得 g x x 1 x 1 ，
当 x 1时， g x 1 x x 1 2x 4，解得 x≤ 2，
当 1 x 1时， g x 1 x x 1 2 4，无解，
当 x 1时， g x x 1 x 1 2 x 4，可得 x 2，
综上， g x 4的解集为 , 2] [2, ．--------------------------------------------------(5 分)
(2)∵ g x x 1 x 1 t t ，即 g x tmin ，
又存在实数 x，使得 g x 4成立，∴ t 4，解得 4 t 4，
故实数 t 的取值范围为 4,4 ．--------------------------------------------------------(10 分)桂林市联盟校2022-2023学年高三上学期9月入学统一检测数学(文科)
注意事项: .
1.考试时长120分钟,满分150分。
2. 请在答题卷上答题(在本试卷上答题无效)。
一、单选题(共60分)
1.设集合A=,B=,则AB=
A. {2} B. {2,3} C. {3,4} D. {2,3,4}
2.已知复数,若,则
A. B.2 C. D. 3
3.已知向量、,则“存在实数λ ,使得”"是、共线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.在2022北京冬奥会开幕式上,二十四节气倒计时惊艳亮相，与节气相配的14句古诗词，将中国人独有的浪漫传达给了全世界.我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中记载:一年有二十四个节气,每个节气的晷长损益相同,即太阳照射物体影子的长度增长或减少的量相同,周而复始(晷是按照日影测定时刻的仪器,晷长即为所测量影子的长度),二十四节气及晷长变化如图所示,已知雨水的晷长为9.5尺,立冬的晷长为10.5尺,则大雪所对的晷长为
A. 11.5尺 B. 12.5尺 C.13.5尺 . D. 14.5尺
5.函数的大致图象是
6.从4名男生和2名女生中任选2人参加志愿者活动, 则选中的2人都是男生的概率为
A. 0.8 B. 0.6 C.0.4 D. 0.2
7.在 ABC中,若b=3,c=2,B=45°,则此三角形解的情况为( )
A.无解 B.两解 C.一解 D.解的个数不能确定
8. 7.我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目: “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁 ”如图所示的程序框图反映了对此题的一.个求解算法,则输出的n=
A. 25 B.45 C.55 D.75
9.如图所示是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为
A. B. C. D.
10.已知，满足, ,, 则
A. B. C. D.
11.已知,点P是抛物线C:y2=4x.上的动点,过点P向y轴作垂线,垂足记为点N,点M(3,4),则
的最小值是
A. B. C. D.
12.已知实数a，b,满足,则
A. a>b> 2 B. b>a>2 C. a
二、填空题(共20分)
13.曲线在点(-2,-1 )处的切线方程为_______________。
14.已知一个圆锥的底面半径为6，其侧面积，则该圆锥的体积为___________。
15.已知F是椭圆C1: 的右焦点,A为椭圆C1的下顶点，双曲线C2:
,与椭圆C1共焦点,若直线AF与双曲线C2的一条渐近线平行,C1、C2的离心率分别为e1、e2,则的最小值为_________________。
16.已知函数有3个不同的零点,则实数a的取值范围是_____________________。
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22,23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.在 ABC中,角A 、B、C的对边分别为a、b、c,
(1)求角A;
(2)若 ,求 ABC面积的最大值.
18.2021年4月22日,一则“清华大学要求从2019级学生开始,游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响.游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱.其实,已有不少高校将游泳列为必修内容.某中学为了解2020届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关,对100名高三学生进行了问卷调查,得到如下列联表:
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为
(1)请将上述列联表补充完整;
(2)判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关.
19. (12分)
多面体ABCDE中, BCD与△CDE均为边长为2的等边三角形, ABC为腰长为的等腰三角形,平面CDE⊥平面BCD,平面ABC⊥平面BCD,F为BC的中点.
(1 )求证:AF//平面ECD;
(2 )求多面体ABCDE的体积.
20.已知P为椭圆 (a>b>0)上一点,F1，F2分别是椭圆的左、右焦点, ,且椭圆离心率为
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过F1的直线l交椭圆于A、B两点，点C与点B关于x轴对称,求 AF1C面积的最大值
21.已知函数
(1)若在(0,+∞)上仅有一个零点,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的恒成立,求实数a的取值范围.
（二）选考题(请考生在22~-23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)
22.已知直线l的参数方程为 (t为参数),以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.
(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)已知直线1与曲线C相交于P、Q两点,点M的直角坐标为(-1,0),求.
23.已知函数.
(1)当t=2时,求的解集;
(2)若存在实数x,使得成立,求实数t的取值范围.