数学人教A版高中数学必修第一册 1.4 充分条件与必要条件（共30张ppt）

(共30张PPT)
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我是安徽人
我是中国人
充分说明了
激
趣
引
课
(2) 实数的平方是正数；
(1) 3≥3；
(3) 明天会下雨.
看上面三个实例，回答以下问题：
它们是不是命题？是的话，是真命题还是假命题？
你能把第(2) 个语句改写成“若p，则q”的形式吗？
一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题．
中学数学中的许多命题可以写成 “若p，则q”“如果p，那么q”等形式．其中p称为命题的条件，q称为命题的结论．
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1.4：充分条件与必要条件
1.4.1：充分条件与必要条件
思考：
下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若
（4）若平面内两条直线 均垂直于直线l,则a//b。
真
假
假
真
(1) 、(4)是真命题
(2) 、(3)是假命题
条件p通过推理可以得出结论q
条件p通过推理不能得出结论q
定义：
1、充分条件与必要条件：一般地“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q．这时，我们就说，由p可以推出q，记作 ，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件．
则称：
是 的充分条件， 是 的必要条件。
P足以导致q,也就是说条件p充分了；
q是p成立所必须具备的前提
思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q 什么条件？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2-4x+3=0,则x=1;
（4）若平面内两条直线a和b均垂直于直线l,则a//b。
（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；
（2）、（3）中，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件
解：（1）这是一条平行四边形的判定定理，
（2）这是一条相似三角形的判定定理，
（3）这是一条菱形的性质定理，
所以p是q的充分条件。
所以p是q的充分条件。
所以p是q的充分条件。
解：（4）由于
（5）由等式的性质知，
（6）
所以p不是q的充分条件。
所以p是q的充分条件。
所以p不是q的充分条件。
为无理数，
但
为有理数，
思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这
样的充分条件唯一吗？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？
四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，
四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。
思考：你能说出几个两条直线平行的充分条件？
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个
充分条件。
解：（1）这是一条平行四边形的性质定理，
（2）这是一条相似三角形的性质定理，
（3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， ，
所以q是p的必要条件。
所以q是p的必要条件。
所以q不是p的必要条件。
解：（4）显然
（5）由于
（6）
所以q是p的必要条件。
，所以q不是p的必要条件。
为无理数，
但
不全是无理数，
所以q不是p的必要条件。
思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必
要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的
必要条件吗？
四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等，
四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个
必要条件。
综合应用：
例：如图,直线a与b被直线l所截,分别得到了∠1,∠2,∠3和∠4．请根据这些信息，写出几个“a∥b”的充分条件和必要条件．
a
b
l
1
2
3
4
解：
(1)“a∥b”的充分条件可以是：
∠1=∠2；∠1=∠4；∠1+∠3=180°.
(2)“a∥b”的必要条件可以是：
∠1=∠2；∠1=∠4；∠1+∠3=180°.
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1.4：充分条件与必要条件
1.4.2：充要条件
思考：
下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形
全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则
（4）若 是空集，则A与B均是空集。
命题(1)、（4）和它们的逆命题都是真命题。
命题(2)是真命题，但它的逆命题是假命题。
命题(3)是假命题，但它的逆命题是真命题。
2、充要条件：定义：如果“若p，则q”和它的逆命题
“若q，则p”均是真命题
即既有p q ，又有q p 就记作
p q.
此时,,p既是q的充分条件，也是q的必要条件,我们说
p是q的充分必要条件，简称充要条件.
显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件.(p等价于q)
即：如果p q,那么p 与 q互为充要条件.
上思考中，命题（1）、（4）中，p 与 q互为充要条件.
一般地，
(1)若p q ,但 q p，则称p是q的
(2)若p q，但q p，则称p是q的；
(3)若p q，且q p，则称p是q的
充分不必要条件；
必要不充分条件
既不充分也不必要条件．
例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;
(4) p:x=1是一元二次方程
解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以 ，
所以p不是q的充要条件。
（2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形
的判定定理，所以它们均是真命题，即 ，所以P是q的充要条件。
例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？
（1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分；
（2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例；
（3）p:xy>0,q:x>0,y>0;
(4) p:x=1是一元二次方程
解：（3）因为xy>0时，x>0,y>0不一定成立，所以 ，
所以p不是q的充要条件。
（4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即
所以P是q的充要条件。
探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组
对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行
都是它的充要条件。
例4：已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．求证：d＝r是直线l与⊙O相切的充要条件．
分析：设p: d=r, q: l与⊙O相切.
证明：设p: d=r, q: l与⊙O相切.
（1）充分性（p q）：如图所示.
作OP⊥l于点P,则OP=d，若d=r，则点P在⊙O 上，在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ. 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r. 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O 的外部，即直线l与⊙O仅有一个公共点P.所以直线l与⊙O 相切.
P
Q
l
O
（2） 必要性（ ）：若直线l与 相切，不妨设切点为P，
则 ，因此，d=OP=r.
由（1）（2）可得，d=r是直线l与 相切的充要条件。
证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
证明：
（1）必要性： 如图所示.
在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB
在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=BD.
（2）充分性：p q 如图所示.
过D作DE∥AC，交BC的延长线于E.
∵AD∥BE，DE∥AC，∴四边形ACED为平行四边形. ∴DE=AC.
∵AC=BD，∴BD=DE；∴∠1=∠E.
又∵AC∥DE，∴∠2=∠E；∴∠1=∠2.
在△ABC与△DCB中，∴△ABC≌△DCB(SAS). ∴∠ABC=∠DCB.
∴梯形ABCD为等腰梯形.
由（1）（2）可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD.
【点评】平移对角线是证明梯形为等腰梯形的常见方法.
1.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空：
（1）x＝y是x2＝y2的_____________ 条件
（2）ab = 0是a = 0 的________________条件
（3）x2>1是x<1的__________________条件
（4）x＝1或x＝2是x2－3x＋2＝0的_____条件
充分不必要
必要不充分
既不充分又不必要
充要
达标检测
2.求证：
关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。
证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0”．
∵x=1是方程的根，将x=1代入方程，得a×12+b×1+c=0，即a+b+c=0．
（2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根”．
把x=1代入方程的左边，得a×12+b×1+c=a+b+c．
∵a+b+c=0，
∴x=1是方程的根．
综合（1）（2）知命题成立
课堂小结
（3）判别技巧：
① 可先简化命题；
② 否定一个命题只要举出一个反例即可。
（1）充分条件、必要条件、充要条件的概念.
（2）判断充分、必要条件的基本步骤：
① 认清条件和结论；
② 考察 p q 和 p q 是否能成立。
作业
课本23页习题1.4
因为涉及到的知识点比较多，且知识点较繁琐，且新概念比较抽象，因此本节学习过程中，一定让学生多多参加，并且在解题技巧方面先让学生自己总结，教师再补充说明。
让梦想一起飞
再见