数学人教A版（2019）必修第一册4.5.1函数的零点与方程的根（共22张ppt）

(共22张PPT)
4.5.1
函数的零点
与方程的解
中外历史上的方程求解
在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月.
约公元50~100年编成的《九章算术》给出了一次方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法.
情境引入
中外历史上的方程求解
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法。
11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法.
情境引入
中外历史上的方程求解
国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。
由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数y=f(x)的零点。
情境引入
画出下列函数的图象
(1) f(x)=x-1 f(x)=x2-2x+1
(2) f(x)= f(x)=
(3) f(x)=2x -1 f(x)=log2x
思考：当函数和x轴有交点时，其交点横坐标与方程 f(x)=0的解有什么关系？
体验探究
再任意画几个函数的图象,观察其图象，看看其交点横坐标与 f(x)=0的解有什么关系？
对于函数 y=f(x),我们把使 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的零点。
方程f(x)= 0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
一.函数零点的定义：
等价关系
★温馨提示：零点是一个实数，不是坐标。
[引例]:解方程

!
思考
（1）函数都有零点吗？
（2）什么条件下的函数必有零点？
探究3 现在有两组镜头（如图），哪
一组能说明她的行程一定曾渡河
第1组
第2组
思考: 现在有两组镜头（如图），哪
一组能说明她的行程一定曾渡河
将河流抽象成x轴，将两个位置视为A、B两点。设A、B两点的横坐标分别为a、b，过A、B两点画一条连续不断的函数曲线表示她的行走路径，试连线看看？哪种情形在(a，b)内与x轴在一定会有交点？
a
b x
a
b x
a
b x
a
b x
a
b x
a
b x
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象（课本P143探究）:
由f(-2)>0,f(1)<0,f(2)·f(1)<0
则(－2,1)为函数f(x)=x2－2x－3
的零点所在区间.
你能找出另外一个零点所在的区间吗？
.
.
.
.
.
x
y
0
-1
3
2
1
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
4
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a).f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
x
y
0
a
b
.
.
二、零点存在性定理
若在给定区间[a,b]上连续,则
f(a).f(b)<0
f(x)在区间(a,b)内有零点
判断正误,若不正确,请使用函数图象举出反例
①已知函数 y=f(x) 在区间[a,b]满足f(a) ·f(b) <0,则 f(x) 在区间(a,b)内存在零点. ( )
②已知函数y=f(x) 在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) ≥0,则f(x)在区间(a,b)内没有零点. ( )
③已知函数 y=f(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) ·f(b) <0,则
f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. ( )
三、零点存在性定理的拓宽
给定理增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)·f(b)<0,且是单调函数,那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。
1.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ）
A.(-2，-1); B.(0，1); C.(1，2); D.(2，3)
2.若函数y=5x2-7x-1在(a,b)内有零点，则f(a)·f(b)的值是( )
（A）0 （B）正数 （C）负数 （D）无法判断
B
D
练一练:
由表和图可知f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
∴ f(x)在(2,3)内有零点。
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数,所以它仅有一个零点.
[解]用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
[例1] 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
f（x）
.
.
.
.
.
.
.
.
.
x
0
－2
－4
－6
10
5
y
2
4
10
8
6
12
14
8
7
6
4
3
2
1
9
[另解] 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点的个数.
作出函数y=lnx和y=6-2x的图象
[课本例1变式] 若函数f(x)为定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=lnx+2x-6.
(1)判断函数y=f(x)的零点的个数;
(2)求函数y=f(x)所有零点之和；
(3)如果R上的奇函数有零点，试问零点个数有什么特点？所有零点之和你能得出什么结论吗？偶函数呢？
6.
作业:
2.关于x的方程mx2 +2(m+3)x+2m+14=0有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m的取值范围.
1.方程log3x+x3 =0在区间 内有无实根 为什么