第二章 直角三角形的边角关系单元检测题（含答案）
文档属性
| 名称 | 第二章 直角三角形的边角关系单元检测题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 688.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-11 16:36:00 | ||
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文档简介
直角三角形的边角关系章末检测
一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列三角函数的值是的是（ ）
A. cos30° B. tan30° C. cos45° D. sin30°
2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，∠ABC=∠BDA=90°，下列线段比值等于cosA的是（ ）
A. B. C. D.
第3题图 第5题图 第6题图
4. 已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（ ）
A. 38° B. 62° C. 52° D. 72°
5. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC=m，钢管与地面所成角∠ABC=α，那么钢管AB的长为（ ）
A. B. m·sinα C. m·cosα D.
6. 如图，在3×4的正方形网格图中．小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，下列关于△ABC的说法中，不正确的是（ ）
A. 是直角三角形 B. tanB=1 C. 面积为5 D. BC边上的高为
7. 角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（ ）
A. 0＜sinα＜ B. 0＜tanβ＜1 C. cosβ＜sinα D. sinβ＜cosα
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，点D在BC边上，CD=AC，AB=26，则BD的长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
第8题图 第11题图 第12题图
9. 点P的坐标为（6，2），A是x轴正半轴上一点，O为原点，则cos∠AOP的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
10. 田远同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具，再从商场向正南方向走200 m到学校，田远同学的家离学校（ ）
A. 50 m B. 100 m C. 150 m D. 100 m
11. 如图为2021年北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道. 若点D与点A的水平距离DE=a米，水平赛道BC=b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点A的高AE为（ ）
A. （a﹣b）tanθ米 B. 米
C. （a﹣b）sinθ米 D. （a-b）cosθ米
12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=，AD=2，BD=4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
13. 在△ABC中，∠A，∠B为锐角，且|tanA-1|+=0，则∠C= °.
14. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC∶AB=3∶4，那么cosA的值为 .
15. 如图，在△ABC中，AB=，tan∠ABC=，AC=2，则BC= .
第15题图 第16题图
16. 如图是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面AB构成.若OA=OB=OC=
OD= cm，∠COD=60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是________cm.
第17题图 第18题图
17. 如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= .
18. 因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝.现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，如图，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600 m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400 m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向，则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 m. （结果精确到到1 m；参考数据：≈1.414，≈2.449）
三、解答题（共66分）
19.（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. 若c=，b=，求∠B.
20.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5. 求∠A的三个三角函数值.
第20题图
21.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=，sinB=.
（1）求边BC的长度；
（2）求cosA的值.
第21题图
22.（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图①，在△ABC中，AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB==. 容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°= ，若canB=1，则∠B= °.
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，canB=，S△ABC=48，求△ABC的周长.
① ②
第22题图
23.（10分）如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度. 她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处观察，当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°.若斜坡DE的坡度i=，求风叶AB的长度. （精确到1米；参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）
第23题图
24.（11分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠DCB=90°，AB=6，CD=2，△ABP与△PCD全等.
（1）求AD的长；
（2）求tan∠DAC的值.
第24题图
25.（14分）如图①所示一种手机（平板）支架由托板、支撑板和底座构成.，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板AB长为120 mm，支撑板CD长为40 mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB=40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE=60°.
（1）当∠DCB=75°时，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，如图③，把（1）中∠DCB=75°调整为90°，然后将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度.
① ② ③
第25题图
参考答案：
直角三角形的边角关系章末检测
一、1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. C 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A
12. B 提示：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT=90°，DT=1，连接CT，则AT=，tan∠DAT==.因为tan∠BAC==，所以∠DAT=∠BAC.所以∠DAB=∠TAC，cos∠DAT=cos∠BAC，即=.所以△DAB∽△TAC.所以==.所以CT=.因为CD≤DT+CT，所以CD的最大值为.
二、13. 75 14. 15. 16. 60 17.
18. 152 提示：作P1M⊥AC于点M.设P1M=x m，则AM=P1M=x m，MC=P1M·tan60°=x m.因为AC=AM+CM=AB+BC，所以x+x=1000，解得x=.所以AM=P1M= m.所以P1A=AM=
m.作BN⊥AP2于点N.因为∠P2AB=45°，∠P2BA=75°，所以
∠P2=60°，BN= AN=AB·sin45°= m.所以P2N==×=
m.所以P1P2=P2N-P1N= P2N-（P1A- AN）=≈152 m.
三、19. 解：（1）因为sinB===，所以∠B=45°.
20. sinA=，cosA=，tanA=.
21. 解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，AD=AB sinB=×=1.
所以BD===.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BC=2BD=2.
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E.
因为△ABC的面积为AB CE=BC AD，所以CE=2×1，解得CE=.
所以AE===.
在Rt△AEC中，cos∠CAE==.
22. 解：（1） 60
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.
因为canB==，所以设BC=8x，AB=AC=5x.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=BC=4x.
所以AD==3x.
因为S△ABC=48，所以BC AD=48，即×8x×3x=48，解得x=±2（负值舍去）.
所以x=2.所以AB=AC=10，BC=16.
所以△ABC的周长为AB+AC+BC=36.
23. 解：如图，过点E作EF⊥CD于点F，作EG⊥AC于点G，A′H⊥EG于点H，则四边形A′BGH，CGEF是矩形.
因为斜坡DE的坡度i==，可设EF=4k，DF=3k，所以DE==5k=35，解得k=7.所以EF=28，DF=21.
所以A′H=BG=BG-CG= BG-EF=70.
因为∠A′EH=45°，所以EH==70.
设AB=A′B=x米，则EG=（70﹣x）米，AG=（70+x）米.
在Rt△AEG中，tan∠AEG==tan68°，即≈2.48，解得x≈30.
所以风叶AB的长度约为30米.
24. 解：（1）因为△ABP≌△PCD，所以AB=PC=6，BP=CD=2，AP=PD，∠APB=∠PDC.
因为∠PCD=90°，所以∠CPD+∠PDC=90°.
所以∠CPD+∠APB=90°.所以∠APD=90°.
所以PD==2.
所以AD===4.
（2）过点D作DH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=BP+PC=8，所以AC==10．
因为AB∥CD，所以∠CAB=∠DCH.
因为∠B=∠CHD=90°，所以△ABC∽△CHD.
所以==，即==，解得CH=，DH=.
所以AH=AC-CH=.
所以tan∠DAC==．
25. 解：（1）如图，过点C作CN⊥DE于点N，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM于点F，则四边形CFMN是矩形.所以FM=CN，∠FCN=90°.
在Rt△CDN中，所以CN=CD sin∠CDN=40×=60，所以FM=60.
因为∠CND=90°，所以∠DCN=90°-∠CDN=30°.
因为∠DCB=75°，所以∠BCN=∠DCB-∠DCN=45°.
所以∠ACF=180°-∠FCN-∠BCN=45°.
在Rt△AFC中，AF=AC sin45°=80×=40.
所以AM=AF+FM=40+60.
所以点A到直线DE的距离为（40+60）mm.
① ②
第25题图
（2）为了观看舒适，将CD绕点D顺时针旋转后如图②所示.
在Rt△DCB中，tan∠CDB==.
所以∠CDB=30°.
所以CD旋转的角度为60°-30°=30°.
第12题图
第18题图
第23题图
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一、选择题（每小题3分，共36分）
1. 下列三角函数的值是的是（ ）
A. cos30° B. tan30° C. cos45° D. sin30°
2. 若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 如图，∠ABC=∠BDA=90°，下列线段比值等于cosA的是（ ）
A. B. C. D.
第3题图 第5题图 第6题图
4. 已知锐角α，且sinα=cos38°，则α=（ ）
A. 38° B. 62° C. 52° D. 72°
5. 在台风来临之前，有关部门用钢管加固树木（如图），固定点A离地面的高度AC=m，钢管与地面所成角∠ABC=α，那么钢管AB的长为（ ）
A. B. m·sinα C. m·cosα D.
6. 如图，在3×4的正方形网格图中．小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，下列关于△ABC的说法中，不正确的是（ ）
A. 是直角三角形 B. tanB=1 C. 面积为5 D. BC边上的高为
7. 角α，β满足0°＜α＜β＜45°，下列是关于角α，β的命题，其中错误的是（ ）
A. 0＜sinα＜ B. 0＜tanβ＜1 C. cosβ＜sinα D. sinβ＜cosα
8. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=，点D在BC边上，CD=AC，AB=26，则BD的长为（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
第8题图 第11题图 第12题图
9. 点P的坐标为（6，2），A是x轴正半轴上一点，O为原点，则cos∠AOP的值为（ ）
A. 3 B. C. D.
10. 田远同学从家里沿北偏西60°方向走100 m到商场购买文具，再从商场向正南方向走200 m到学校，田远同学的家离学校（ ）
A. 50 m B. 100 m C. 150 m D. 100 m
11. 如图为2021年北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道. 若点D与点A的水平距离DE=a米，水平赛道BC=b米，赛道AB，CD的坡角均为θ，则点A的高AE为（ ）
A. （a﹣b）tanθ米 B. 米
C. （a﹣b）sinθ米 D. （a-b）cosθ米
12. 如图，在△ABC中，∠ABC=90°，tan∠BAC=，AD=2，BD=4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，共18分）
13. 在△ABC中，∠A，∠B为锐角，且|tanA-1|+=0，则∠C= °.
14. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC∶AB=3∶4，那么cosA的值为 .
15. 如图，在△ABC中，AB=，tan∠ABC=，AC=2，则BC= .
第15题图 第16题图
16. 如图是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD，BC与桌面AB构成.若OA=OB=OC=
OD= cm，∠COD=60°，则点A到地面（CD所在的平面）的距离是________cm.
第17题图 第18题图
17. 如图，已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则sin α= .
18. 因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人络绎不绝.现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，如图，当船在A处时，船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600 m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；当游船继续向正东方向行驶400 m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向，则临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为 m. （结果精确到到1 m；参考数据：≈1.414，≈2.449）
三、解答题（共66分）
19.（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边. 若c=，b=，求∠B.
20.（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5. 求∠A的三个三角函数值.
第20题图
21.（8分）如图，在△ABC中，AB=AC=，sinB=.
（1）求边BC的长度；
（2）求cosA的值.
第21题图
22.（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图①，在△ABC中，AB=AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB==. 容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：
（1）can30°= ，若canB=1，则∠B= °.
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，canB=，S△ABC=48，求△ABC的周长.
① ②
第22题图
23.（10分）如图，小敏在参观大风车时，想测一下风叶AB的长度. 她首先通过C处的铭牌简介得知每个风车杆子BC的高度为98米，然后沿水平方向走到D处，再沿着斜坡DE走了35米到达E处观察，当风叶AB转到铅垂方向时测得点A的仰角为68°；当风叶AB转到水平方向A′B时测得点A′的仰角为45°.若斜坡DE的坡度i=，求风叶AB的长度. （精确到1米；参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，tan68°≈2.48）
第23题图
24.（11分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠DCB=90°，AB=6，CD=2，△ABP与△PCD全等.
（1）求AD的长；
（2）求tan∠DAC的值.
第24题图
25.（14分）如图①所示一种手机（平板）支架由托板、支撑板和底座构成.，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板AB长为120 mm，支撑板CD长为40 mm，托板AB固定在支撑板顶点C处，且CB=40 mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，∠CDE=60°.
（1）当∠DCB=75°时，求点A到直线DE的距离；
（2）为了观看舒适，如图③，把（1）中∠DCB=75°调整为90°，然后将CD绕点D顺时针旋转，使点B落在直线DE上即可，求CD旋转的角度.
① ② ③
第25题图
参考答案：
直角三角形的边角关系章末检测
一、1. B 2. C 3. C 4. C 5. D 6. C 7. C 8. C 9. B 10. B 11. A
12. B 提示：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT=90°，DT=1，连接CT，则AT=，tan∠DAT==.因为tan∠BAC==，所以∠DAT=∠BAC.所以∠DAB=∠TAC，cos∠DAT=cos∠BAC，即=.所以△DAB∽△TAC.所以==.所以CT=.因为CD≤DT+CT，所以CD的最大值为.
二、13. 75 14. 15. 16. 60 17.
18. 152 提示：作P1M⊥AC于点M.设P1M=x m，则AM=P1M=x m，MC=P1M·tan60°=x m.因为AC=AM+CM=AB+BC，所以x+x=1000，解得x=.所以AM=P1M= m.所以P1A=AM=
m.作BN⊥AP2于点N.因为∠P2AB=45°，∠P2BA=75°，所以
∠P2=60°，BN= AN=AB·sin45°= m.所以P2N==×=
m.所以P1P2=P2N-P1N= P2N-（P1A- AN）=≈152 m.
三、19. 解：（1）因为sinB===，所以∠B=45°.
20. sinA=，cosA=，tanA=.
21. 解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D.
在Rt△ABD中，AD=AB sinB=×=1.
所以BD===.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BC=2BD=2.
（2）过点C作CE⊥AB，垂足为E.
因为△ABC的面积为AB CE=BC AD，所以CE=2×1，解得CE=.
所以AE===.
在Rt△AEC中，cos∠CAE==.
22. 解：（1） 60
（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D.
因为canB==，所以设BC=8x，AB=AC=5x.
因为AB=AC，AD⊥BC，所以BD=BC=4x.
所以AD==3x.
因为S△ABC=48，所以BC AD=48，即×8x×3x=48，解得x=±2（负值舍去）.
所以x=2.所以AB=AC=10，BC=16.
所以△ABC的周长为AB+AC+BC=36.
23. 解：如图，过点E作EF⊥CD于点F，作EG⊥AC于点G，A′H⊥EG于点H，则四边形A′BGH，CGEF是矩形.
因为斜坡DE的坡度i==，可设EF=4k，DF=3k，所以DE==5k=35，解得k=7.所以EF=28，DF=21.
所以A′H=BG=BG-CG= BG-EF=70.
因为∠A′EH=45°，所以EH==70.
设AB=A′B=x米，则EG=（70﹣x）米，AG=（70+x）米.
在Rt△AEG中，tan∠AEG==tan68°，即≈2.48，解得x≈30.
所以风叶AB的长度约为30米.
24. 解：（1）因为△ABP≌△PCD，所以AB=PC=6，BP=CD=2，AP=PD，∠APB=∠PDC.
因为∠PCD=90°，所以∠CPD+∠PDC=90°.
所以∠CPD+∠APB=90°.所以∠APD=90°.
所以PD==2.
所以AD===4.
（2）过点D作DH⊥AC于点H．
在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=BP+PC=8，所以AC==10．
因为AB∥CD，所以∠CAB=∠DCH.
因为∠B=∠CHD=90°，所以△ABC∽△CHD.
所以==，即==，解得CH=，DH=.
所以AH=AC-CH=.
所以tan∠DAC==．
25. 解：（1）如图，过点C作CN⊥DE于点N，过点A作AM⊥DE，交ED的延长线于点M，过点C作CF⊥AM于点F，则四边形CFMN是矩形.所以FM=CN，∠FCN=90°.
在Rt△CDN中，所以CN=CD sin∠CDN=40×=60，所以FM=60.
因为∠CND=90°，所以∠DCN=90°-∠CDN=30°.
因为∠DCB=75°，所以∠BCN=∠DCB-∠DCN=45°.
所以∠ACF=180°-∠FCN-∠BCN=45°.
在Rt△AFC中，AF=AC sin45°=80×=40.
所以AM=AF+FM=40+60.
所以点A到直线DE的距离为（40+60）mm.
① ②
第25题图
（2）为了观看舒适，将CD绕点D顺时针旋转后如图②所示.
在Rt△DCB中，tan∠CDB==.
所以∠CDB=30°.
所以CD旋转的角度为60°-30°=30°.
第12题图
第18题图
第23题图
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