4.4 数学归纳法 学案（含答案）-2022-2023学年高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.4数学归纳法
【学习目标】
（1）了解数学推理的常用方法（归纳法）。
（2）了解数学归纳法的原理及使用范围。
（3）初步掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论。
（4）会用数学归纳法证明一些简单的等式问题。
【学习重点】
理解数学归纳法的实质。
【学习难点】
掌握数学归纳法证题步骤，尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用。
【学习过程】
一、情景设置（知识导入）
探索研究
【知识点总结与归纳】
（1）理解数学归纳法的原理。
（2）数学归纳法的两个步骤缺一不可，前者是基础，后者是递推依据，最终给出结论。
（3）数学归纳法主要应用于解决与正整数有关的数学问题。
基本知识概要：
1．数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当_______________________时命题成立；然后假设当___________________时命题成立，证明当__________________时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法。
2．数学归纳法的基本思想：_____________________________________________。
3．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
（1）证明：_________________________________________________。
（2）假设__________________________________________________________。
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
二、课堂练习
例1．证明：
基础反馈
①用数学归纳法证明：在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ）。
A．1 B． C． D．
②用数学归纳法证明命题时，假设那么___________________________。
③判断下面的证明过程是否正确，如果不正确错在哪？
求证：
证明：（1）当时，左边=1，右边=等式成立
（2）假设当时等式成立即
当时代入得
所以当时等式成立
由（1）和（2）可知等式对一切正整数均成立。
若n为大于1的自然数，求证：
证明：（1）当n=2时，
（2）假设当n=k时成立，即
课外练习：
1．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（ ）
A．假设当时成立，再推出当时成立
B．假设当时成立，再推出当时成立
C．假设当时成立，再推出当时成立
D．假设当时成立，再推出当时成立
2．若命题在时命题成立，则有时命题成立，现知命题对时命题成立，则有（ ）．
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于的正整数不成立，对大于或等于的正整数都成立
C．命题对小于的正整数成立与否不能确定，对大于或等于的正整数都成立
D．以上说法都不正确
3．用数学归纳法证明等式，在验证成立时，左边需计算的项是
A． B． C． D．
4．平面内有个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都无公共点，用表示这个圆把平面分割的区域数，那么与之间的关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．用数学归纳法证明，假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是_______________________.
6．用数学归纳法证明时，第一步应验证的等式是________．
参考答案：
1．B2．C3．A4．B5．6．
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