1.2空间向量基本定理 学案——2022-2023学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修一（含答案）
文档属性
| 名称 | 1.2空间向量基本定理 学案——2022-2023学年上学期高二数学人教A版（2019）选择性必修一（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 200.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-11 19:44:41 | ||
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文档简介
1.2空间向量基本定理
【学习目标】
1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．
2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．
【学习重难点】
1．理解空间向量基本定理．（重点）
2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．（难点）
3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．（重点）
【学习过程】
一、新知初探
1．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对（x，y），使c＝xa＋yb．
2．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
3．相关概念
（1）线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
（2）基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
（3）基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
（4）分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．（ ）
（2）若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．（ ）
（3）若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底．（ ）
2．（教材P16练习A①改编）对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是（ ）
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
三、合作探究
类型1 向量共线问题
【例1】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
类型2 共面定理及应用
【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内．
类型3 基底的判断及应用
【例3】（1）若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
（2）如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．
【学习小结】
1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．
2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
【精炼反馈】
1．在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）.
①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）.
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（ ）
A． B． C． D．以上都不能
4．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）．
A．，， B．，1，
C．，1， D．，1，
5．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为____.
6．已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则__________.
7．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
8．在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.
9．在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，试用向量、、表示向量．
10．如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
C2．D3．C4．A5．，-1，，-1，-0.5
x=，y=，z=．
10．，.
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【学习目标】
1．通过基底、基向量及向量的线性组合空间向量基本定理的学习，培养数学抽象素养．
2．借助任一空间向量可用一组基向量线性表示，提升数学运算素养．
【学习重难点】
1．理解空间向量基本定理．（重点）
2．运用空间向量基本定理解决一些几何问题．（难点）
3．理解基底、基向量及向量的线性组合的概念．（重点）
【学习过程】
一、新知初探
1．共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，则向量a，b，c共面的充要条件是存在唯一的实数对（x，y），使c＝xa＋yb．
2．空间向量基本定理
如果空间中的三个向量a，b，c不共面，那么对空间中的任意一个向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得p＝xa＋yb＋zc．
特别地，当a，b，c不共面时，可知xa＋yb＋zc＝0时，x＝y＝z＝0．
3．相关概念
（1）线性组合：表达式xa＋yb＋zc一般称为向量a，b，c的线性组合或线性表达式．
（2）基底：空间中不共面的三个向量a，b，c组成的集合{a，b，c}，常称为空间向量的一组基底．
（3）基向量：基底{a，b，c}中a，b，c都称为基向量．
（4）分解式：如果p＝xa＋yb＋zc，则称xa＋yb＋zc为p在基底{a，b，c}下的分解式．
4．拓展：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面．
二、初试身手
1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）若{a，b，c}为空间一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间一个基底．（ ）
（2）若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．（ ）
（3）若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底．（ ）
2．（教材P16练习A①改编）对于空间的任意三个向量a，b,2a－3b，它们一定是（ ）
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量
3．在长方体ABCD A1B1C1D1中，可以作为空间向量一个基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
三、合作探究
类型1 向量共线问题
【例1】如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝．求证：E，F，B三点共线．
类型2 共面定理及应用
【例2】已知A，B，C三点不共线，平面ABC外的一点M满足＝＋＋．
（1）判断，，三个向量是否共面；
（2）判断点M是否在平面ABC内．
类型3 基底的判断及应用
【例3】（1）若{a，b，c}是空间的一个基底，试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底．
（2）如图，在三棱柱ABC A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，．
【学习小结】
1．空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底；基底选定后，任一向量可由基底唯一表示，空间中的基底是不唯一的．
2．在用基底表示向量时，要结合图形的几何性质，充分利用向量的线性运算，逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示．
【精炼反馈】
1．在以下三个命题中，真命题的个数是（ ）.
①若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；③若，是两个不共线的向量，而（且），则构成空间的一个基底.
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间的一个基底的是（ ）.
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．已知点O，A，B，C为空间中不共面的四点，且向量，向量，则不能与，共同构成空间向量的一组基底的向量是（ ）
A． B． C． D．以上都不能
4．已知是一个空间的基底，向量，，，，若则x，y，z分别为（ ）．
A．，， B．，1，
C．，1， D．，1，
5．已知为空间的一个基底，若，，，，且，则分别为____.
6．已知空间四边形ABCD的对角线为AC与BD，M，N分别为线段AB，CD上的点满足，，点G在线段MN上，且满足，若，则__________.
7．已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且，现用基底{}表示向量，有=x+y+z，则x，y，z的值分别为____．
8．在正方体中，点O是的中点，且，则的值为________.
9．在空间四边形中，已知点、分别是、的中点，且，，，试用向量、、表示向量．
10．如图，在三棱柱中，已知，，，点M，N分别是，的中点，试用基底表示向量，.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
C2．D3．C4．A5．，-1，，-1，-0.5
x=，y=，z=．
10．，.
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