抛物线平移变换的应用
一、平移变换后求表达式
例1 （2021·徐州）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（ ）
A. y=（x-2）2+1 B. y=（x+2）2+1 C. y=（x+2）2-1 D. y=（x-2）2-1
解析：由y=x2的顶点坐标为（0，0），经过平移后新抛物线的顶点坐标为（-2，1），所以所得抛物线的表达式为y=（x+2）2+1.故选B.
二、平移变换后求m的值
例2 （2021·苏州）已知抛物线y=x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到新抛物线正好经过坐标原点，则k的值是（ ）
A. ﹣5或2 B. ﹣5 C. 2 D. ﹣2
解析：因为抛物线y=x2+kx﹣k2的对称轴在y轴右侧，所以x=﹣>0.所以k<0.
因为抛物线y=x2+kx﹣k2=﹣，所以将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到新抛物线的表达式是y=﹣+1.
将（0，0）代入，得﹣+1=0，解得k1=2（舍去），k2=﹣5.故选B.二次函数“误”打“误”撞
初学二次函数，由于概念不清、考虑不周等导致出现这样那样的错误，以下汇总一些常见易错题进行剖析，望同学们引以为戒.
误区1 判定前未化简
例1下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. y =2x-3 B. y=（x+1）2-x2 C. y=2x（x+1） D. y=22-2x
错解：B.
剖析：A选项中，自变量x的最高次数是1，不是二次函数；B选项中，等号右边没有化简到最简形式，化简后应是y=2x+1，不是二次函数；C选项中，化简后应是y=2x2+2x，是二次函数；D选项中，自变量x的最高次数是1，不是二次函数.
正解：
误区2 忽略二次函数是多项式函数
例2 下列y关于x的函数关系：①y=6x2；②y=-3x2+5；③y=200x2-400x；④y=x3-2x；⑤y=x2++3；⑥y=（x+1）（x-1）-x（x-2）.这6个式子中二次函数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
错解：C或者D.
剖析：④式自变量的最高次数是3，⑤式不属于多项式函数，⑥式化简后自变量的最高次数是1，只有①，②，③式满足二次函数的三个条件.
正解：
误区3 忽略二次项系数不能为零
例3 如果函数y=（m2-2m）是二次函数，则m=________.
错解：1或2.
解析：根据二次函数需满足的三个条件，可得
解①，得m≠0，且m≠2；解②，得m=1或m=2.
综上，m=1.
正解：
答案：例1 C 例2 B 例3 1三式PK 助你确定表达式
利用待定系数法确定二次函数的表达式，常用的三种基本形式如下表所示：
形 式 表达式 适用范围
一般式 y=ax2+bx+c（a≠0） 已知抛物线上任意三点的坐标
顶点式 y=a（x-h）2+k（a≠0） 已知抛物线的顶点坐标（h，k）及抛物线上另外一点的坐标或对称轴及抛物线上另外两点的坐标
交点式 y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0） 已知抛物线与x轴两个交点的坐标及抛物线上另外一点的坐标
原题呈现：（九年级上册P40练习第2题）一个二次函数的图象经过（0，0），（-1，-1），（1，9）三点.求这个二次函数的表达式.
帮你分析：由题意，知该二次函数过原点，则c=0，可以设二次函数的表达式为y= ax2+bx（a≠0），然后将（-1，-1），（1，9）分别代入求得a，b的值，即可求得结果.（求解过程同学们自己完成）
变式1 在用描点法画抛物线C1：y=ax2+bx+c时，列出了下面的表格：
x … 0 1 2 3 4 …
y … 3 6 7 6 3 …
请根据表格中的信息，写出抛物线C1的表达式是_________________.
变式2 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=x+3分别交于x轴、y轴上同一点，交点分别是A和C，且抛物线的对称轴为x=-2，则抛物线的表达式是_________________.
变式3 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，2），且经过点（4，5），则该抛物线的表达式是_________________.
温馨提示：用待定系数法求二次函数的表达式时，设“一般式”求表达式是通法，结合题目中给出的特殊点的情况，也可以采用设“顶点式”或“交点式”求解.解决这类问题的关键是根据已知条件，来选择恰当的方法，不管运用哪种方法，都要注意二次项系数a不能漏掉.
参考答案：变式1 y=-x2+4x+3 变式2 y=x2+4x+3 变式3 y=（x 1）2+2说说抛物线与a，b，c的关系
例1 （2021·遂宁）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图1所示，有下列结论：①abc>0；②b2<4ac；③2c<3b；④a+2b>m（am+b）（m≠1）；⑤若方程∣ax2+bx+c∣=1有4个根，则这4个根的和为2.
其中正确的有（ ）
A. 2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由抛物线开口向下，知a<0.因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c>0.因为对称轴在y轴右侧，所以a与b异号，即b>0.所以abc<0，①错误；因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2-4ac>0，即b2>4ac，②错误；因为抛物线的对称轴为x=1，所以=1，即a=b.由图象，得当x=-1时，y=a-b+c<0，所以b-b+c<0.所以2c<3b，③正确；当x=1时，y=a+b+c的值最大，所以当x=m（m≠1）时，a+b+c> am2+bm+c，即a+b > m（am+b）（m≠1）.因为b>0，所以a+2b > m（am+b）（m≠1），④正确；因为方程|ax2+bx+c|=1有4个根，所以方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根.所以所有根之和为2·=2·=4，⑤错误.故选A.
例2 （2021·泰安）图2是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，已知图象过点（3，0），且对称轴为x=1，有下列结论：①abc>0；②a-b+c=0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1=0有实数根.其中正确的是___________．（填序号）
解析：因为抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，所以a<0，c>0.因为抛物线的对称轴为x=1，所以﹣=1，即b=﹣2a>0.所以abc<0，①错误；由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），根据对称性，得与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），所以a﹣b+c=0，②正确；根据图象，知y有最大值，但不一定是3，③错误；由ax2+bx+c+1=0，得ax2+bx+c=-1.由图象，知抛物线与直线y=﹣1有交点，所以ax2+bx+c+1=0有实数根，④正确.故填②④．
例3 （2021·武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数,且都不为0），a+b+c=0，下列结论：①若抛物线经过点（-3，0），则b=2a；②若b=c，则方程cx2+bx+a=0一定有根x=-2；③抛物线与轴一定有两个不同的公共点；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若0
y2.其中正确的是______.（填序号）
解析：因为a+b+c=0，所以抛物线过点（1，0）.因为抛物线过点（-3，0），所以x=﹣==-1，即b=2a，①正确；因为b=c，a+b+c=0，所以a=-2c.因为cx2+bx+a=0，所以cx2+cx-2c=0，即x2+x-2=0，解得x=-2或x=1，②正确；当b2-4ac≤0时，图象与x轴少于两个公共点，故存在a，b，c使b2-4ac≤0，③错误；因为a+b+c=0，若0|c|>|a|，|b|>2|a|，所以对称轴>1.因为a>0，所以在对称轴的左侧，y随x的增大而减小.所以当x1y2，④正确.故填①②④.
归纳：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，常数项c决定抛物线与y轴交点的位置.①当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.②当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右侧.③抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴公共点个数由b2-4ac的值决定：当Δ=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.看抛物线的对称性强势归来
若抛物线上有两个对称点的坐标为（x1，y1），（x2，y2），则一定有y1=y2，且其对称轴为x=.当抛物线开口向上（下）时，抛物线上的点距离对称轴越远，所对应的点的纵坐标越大（小）.
一、借助性质比大小
例1 已知（-3，y1），（-2，y2），（1，y3）是抛物线y=-3x2-12x+m上的点，则y1，y2，y3之间的大小关系是（ ）
A. y3＜y2＜y1 B. y3＜y1＜y2 C. y2＜y3＜y1 D. y1＜y3＜y2
解析：抛物线y=-3x2-12x+m的对称轴为x=-=-2.
因为-3<0，所以抛物线的开口向下.
因为点（-3，y1）到对称轴x=-2的距离为|-3-（-2）|=1，点（-2，y2）到对称轴x=-2的距离为 0，点（1，y3）到对称轴x=-2的距离为|-2-1|=3，0<1<3，所以y3＜y1＜y2.故选B.
二、求阴影部分的面积
例2 （2021·黔东南州）如图1，抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于顶点坐标A（1，0），与y轴交于点B（0，2），虚线为其对称轴.若将抛物线L1向下平移2个单位长度得到抛物线L2，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：过抛物线L2的顶点D作CD∥x轴，与y轴交于点C，如图所示，则四边形OCDA是矩形.
因为抛物线L1：y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于顶点坐标A（1，0），与y轴交于点B（0，2），所以OB=2，OA=1.
因为将抛物线L1向下平移2个单位长度得抛物线L2，所以AD=OC=2.
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCDA的面积，所以S阴影=S矩形OCDA=OA AD=1×2=2.故选B.
三、求动点的坐标
例3 如图2，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（-3，0），C（0，-2）.若在对称轴上存在一动点P，使得△PBC的周长最小，则点P的坐标为_____________.
解析：连接AC，交抛物线的对称轴于点P，连接PB，BC，如图2所示.
因为点A，B关于对称轴x=-1对称，所以PA=PB.
所以△PBC的周长为PB+PC+BC=PA+PC+BC=AC+BC.
因为BC的长是定值，所以当A，P，C三点共线时，△PBC的周长最小.
设直线AC的表达式为y=kx+b（k≠0）.
将A（-3，0），C（0，-2）代入，得解得所以直线AC的表达式为y=-x-2.
当x=-1时，y=-×（-1）-2=-，所以点P的坐标为.故填.课本拱桥题 中考新变式
原题呈现：（九年级上册教科书P115复习题第22题）一座抛物线型拱桥如图1所示，桥下水面宽度是4 m时，拱顶到水面的距离是2 m.当水面下降1 m后，水面宽度是多少？（结果精确到0.1 m）
帮你分析：解决这类问题首先要建立适当的平面直角坐标系，求得抛物线的表达式，再应用抛物线的表达式去解决相关的问题.
解答展示：建立如图2所示平面直角坐标系，设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.由图知抛物线经过点（2，-2），得a·22=-2，解得a=.所以该抛物线的表达式为y=x2.令y=-3，得x2=-3，解得x=±.因为≈4.9，所,水面宽度为4.9 m.
变式 （2021·贵州）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8 m，桥拱顶点B到水面的距离是4 m．
（1）按图3-①所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的表达式；
（2）一只宽为1.2 m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4 m时，桥下水位刚好在OA处.有一名身高1.68 m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）；
（3）如图3-②，桥拱所在的函数图象是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0），该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m（m>0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y随x的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围．
解析：（1）由题意，得A（8，0），B（4，4）.
设抛物线的表达式为y=a（x-4）2+4.将（8，0）代入，得a×（8-4）2+4=0，解得.
所以抛物线的表达式为y=（x-4）2+4=x2+2x（0≤x≤8）.
（2）由题意，得x=0.4+1.2÷2=1，代入y=x2+2x，得y=×12+2×1=>1.68.
所以他的头顶不会触碰到桥拱.
（3）由题意，得当0≤x≤8时，新函数的表达式为y=x2-2x.
当x＜0或x＞8时，新函数的表达式为y=-x2+2x.所以新函数的表达式为y=
因为将新函数图象向右平移m（m>0）个单位长度，所以O′（m，0），A′（m+8，0），B′（m+4，-4），如图4所示.根据图象，知当m+4≥9且m≤8，即5≤m≤8时，平移后的函数图象在时，y随x的增大而减小．