这些错误你犯过吗
1.分不清视图轮廓的虚实线致错
例1 如图1所示，是一个空心正方体，它的左视图是（ ）
A B C D
图1
错解：B或D.
剖析：左视图的正方形中间有一圆柱，虽然看不见，但是确实存在，所以正方体内的对应部分应画成虚线.
正解： .
2.对平行投影的概念理解不准确致错
例2 小乐用一块长方形硬纸板在阳光下做投影实验，通过观察，发现这块长方形硬纸板在平整的地面上不可能出现的投影是（ ）
A．三角形 B．线段 C．矩形 D．平行四边形
错解：B
剖析：错解忽视了长方形硬纸板的位置是可以变化的.当长方形硬纸板与地面平行放置时，它的投影可能是矩形，也可能是平行四边形；当长方形硬纸板与地面垂直放置时，它的投影是一条线段.
正解： .
3.表面积计算考虑不全面致错
例3 如图2所示的积木是由16块棱长为a的正方体堆积而成的，则这个几何体的表面积是 ．
图2
错解：48a2
剖析：解答这类题目，首先要画出它的三种视图，如图3，仅从三视图中可知这个图形的表面共由（7+8+9）×2=48个边长为a的正方形组成，但是却忽略了正面还有两个相对的面，它在左视图里是无法显示的.
正解： .
参考答案：
例1 C 例2 A 例3 50a2中心投影与平行投影
中心投影
例1 在操场上的路灯下，旗杆（线段AB）和竹竿（线段DE）的影子如图1所示，在点M处有一棵小树，它的影子是线段MN.请你在图中确定路灯的位置（用点P表示），并画出表示小树的线段.
思路点拨：根据中心投影的性质确定点P的位置，连接PN并过点M作垂线即可画出表示小树的线段.
解：
平行投影
例2 一天早上，小茗陪爷爷晒太阳，如图，小茗（线段AB）和爷爷（线段CD）在同一平面上站立，其中小茗在太阳光下的影子为线段BE，请你在图中画出爷爷的影子.
思路点拨：连接AE，根据平行投影的性质，分别过点C，D作AE，BE的平行线即可画出爷爷的影子.
解：
区分两种投影
例3 如图3所示的分别是两棵树及其影子的情形.
（1）哪个图反映了阳光下的情形？哪个图反映了路灯下的情形？
（2）请分别画出图中表示小丽影长的线段.
思路点拨：根据中心投影和平行投影的性质及它们的区别，很容易确定表示小丽影长的线段.我们可以借助图①，②深入研究两种投影中构造的相似三角形的区别，请同学们在图②中过表示路灯的点作垂线，并小组交流两图中的相似三角形有哪几对！
解：
参考答案
例1 如图1，点P即为所求，线段HM为表示小树的线段.
例2 如图2，线段DF即为所求.
例3 （1）图①反映了阳光下的情形，图②反映了路灯下的情形.
（2）如图3，线段AB，CD是表示小丽影长的线段.
图1
图2
①
②
图3
图1
图2
①
②
图3视图问题的三个突破口
一、熟记一些常见几何体的三种视图的形状
掌握棱柱、圆柱、圆锥、球等简单几何体的三种视图， 是我们研究复杂几何体的三种视图的基石．
例1 （2021 福建）如图1所示的六角螺栓，其俯视图是（ ）
A B C D
解析：俯视图是从物体上面看所得到的图形，图1所示的六角螺栓可看作是圆柱和六棱柱的组合，从上边看，是一个正六边形，且六边形内部是一个圆，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.故选A．
二、把握三种视图的“长对正，高平齐，宽相等”，在作组合几何体的三种视图时注意各种视图的大小
视图之间的大小是互相联系的，遵循主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等．对于组合几何体，除熟悉各种常见几何体从不同方向看得到的平面图形外，还需考虑各个几何体的放置位置．
例2 图2是一个机械零部件，该零部件的左视图是（ ）
A B C D
解析：左视图是从物体左面看所得到的图形，图2中的机械零部件是由两个不等直径的圆柱构成的，其左视图是矩形和圆的组合，且圆位于矩形中心的位置.故选C．
三、注意观察几何体，谨防丢失客观存在的轮廓线
在作视图时，首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见部分的轮廓线通常画成实线，看不见部分的轮廓线通常画成虚线．
例3 （2021 聊城）如图3所示的几何体，其上半部有一个圆孔，
则该几何体的俯视图是（ ）
A B C D
解析：图3中几何体的中间钻了一个前后通透的小圆柱，可知该几何体的外轮廓线是一个矩形，而小圆柱的俯视图为矩形，虽客观存在，但看不到，故用虚线.故选A．
图1
图2
图3典例论坛
画视图要三注意
方法引荐：画一个几何体的三种视图，需要注意三个方面：（1）在三种视图中，主视图反映几何体的长和高，俯视图反映几何体的长和宽，左视图反映几何体的高和宽，因此在画三种视图时，对应部分的长度要相等，可总结规律为“长对正，高平齐，宽相等”；（2）通常把俯视图画在主视图的下面，把左视图画在主视图的右面；（3）几何体的轮廓线要全部呈现在三种视图中，看得见部分的轮廓线要画成实线，看不见部分的轮廓线要画成虚线.
变式训练：
如图4是一个几何体的三种视图，则这个几何体是（ ）
如图5所示的几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）
A B C D
画出如图6所示的几何体的三种视图.
变式训练参考答案：1. B 2. C
3. 解：如图所示.
图4
图5
图6
课本原题画出如图1所示几何体的三种视图，
图1
(九年级上册教材P147复习题第12题)
分析：首先观察几何体，画出视图的外轮廓线，然
后将视图补充完整，其中没有被挡住看得见部分的轮
廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线，
解：两几何体的三种视图分别如图2、图3所示
主视图
左视图
主视图
左视阁
俯视图
俯视图
图3
图2
课本原题画出如图1所示几何体的三种视图，
图1
(九年级上册教材P147复习题第12题)
分析：首先观察几何体，画出视图的外轮廓线，然
后将视图补充完整，其中没有被挡住看得见部分的轮
廓线画成实线，看不见部分的轮廓线画成虚线，
解：两几何体的三种视图分别如图2、图3所示
主视图
左视图
主视图
左视阁
俯视图
俯视图
图3
图2
A
B
C
D
中国移动
上午10：55
米37% 分
试题详情
(2016潍坊)
如图，几何体是由底面
圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图
是（)
A
B
C
收藏：7组卷：185真题：3难度：★★☆☆☆
考点：
简单组合体的三视图
分析：根据俯视图的概念和看得到的边都应用实线
表现在三视图中、看不到，又实际存在的，又没有
被其他边挡住的边用虚线表现在三视图中解答即
可
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H
MF E
主视圆
左视图
俯视图投影中有关物高的计算
物体在光线的照射下，会形成投影，根据直角三角形或相似三角形的性质，可以解决投影中有关物体高度的计算问题，现举例如下：
例1 ( http: / / www.m / math / report / detail / 88d864e9-b9bd-4bba-8270-326c06fb99df" \t "_blank )如图1，某光源下有三根木杆，甲杆GH的影子为GM，乙杆EF的影子一部分照在地面上为EA，另一部分照在斜坡AB上为AD．
（1）请在图中画出形成影子的光线，确定光源所在的位置R，并画出丙杆PQ在地面上的影子；
（2）在（1）的结论下，若过点F的光线FD⊥AB，斜坡与地面夹角为60°，AD=1米，AE=2米，请求出乙杆EF的高度．（结果保留根号）
解析：（1）形成影子的光线，光源所在的位置R如图2所示，QN即为丙杆PQ在地面上的影子．
如图2，分别延长FD，EA交于点S．
在Rt△ADS中，∠ADS=90°，∠DAS＝60°，所以∠S＝30°．
因为AD=1，所以AS=2AD=2.所以ES＝AE+AS＝4．所以ES＝AS+AE＝2+2＝4．
在Rt△EFS中，∠FES＝90°，∠S＝30°，所以FS＝2EF.
由勾股定理，得EF2+ES2=FS2，即EF2+ES2=4EF2.将ES＝4代入，解得EF＝．
所以乙杆EF的高度为米.
例2 学习投影后，小明、小颖利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图3，在同一时间，身高为1.6 m的小明(AB)的影子BC长是3 m，而小颖(EH)刚好在路灯灯泡的正下方H点，并测得HB=6 m．
（1）请在图中画出形成影子的光线，交确定路灯灯泡所在的位置G；
（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；
（3）如果小明沿线段BH向小颖（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长；当小明继续走剩下路程的到B2处时，求其影子B2C2的长；当小明继续走剩下路程的到B3处，…按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到Bn处时，其影子BnCn的长为 m．（直接用n的代数式表示）．
图3
解析：（1）如图4，连接CA并延长，交HE的延长线于点G，则GC即为形成影子的光线，点G即为路灯灯泡所在的位置.
图4
（2）由题意可知∠ABC=∠GHC=90°.
又因为∠ACB=∠GCH，所以△ABC∽△GHC.
所以，即，解得GH＝4.8.
答：路灯灯泡的垂直高度GH为4.8 m．
如图4，同理可证得△A1B1C1∽△GHC1，所以，即，解得B1C1＝．
同理，解得B2C2＝1.
所以，解得BnCn＝．
图1
图2反思本质 追根溯源
例 （2021·仙桃）如图1所示的几何体的左视图是（ ）
A B C D
解答展示：根据左视图的定义，我们把视线从几何体的左面正对该几何体，可以看到外轮廓线是一个圆，里面是一个同心圆.故选A.
问题溯源：（本例改编自教材P140习题5.4的第1题）在如图2所示的空心圆柱的两种视图中，哪些有错误，为什么？
这两道题除了试题形式不同外，考查内容极度相似，可谓一脉相承．
变式训练
如图所示零件的左视图是（ ）
A B C D
如图所示几何体是由底面圆心在同一条直线上的三个圆柱构成的，其俯视图是（ ）
A B C D
温馨提示：在画视图时，首先观察物体，画出视图的外轮廓线，然后将视图补充完整，看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线.
答案：1.D 2.C
图1
主
视图
俯视图
（1）
（2）
（3）
图2
第1题图
正面
第2题图
