破陷阱 正解法
一、利用反比例函数的概念设置陷阱
例1 当m为 时，函数y=（m+1）x是反比例函数．
错解：-1或-2
剖析：错解忽略了反比例函数中k≠0这一条件.本题的m不仅满足m2+3m+1=-１，更要满足m+1≠0．
正解： .
利用反比例函数的性质比较函数值的大小设置陷阱
例2 在反比例函数y＝﹣图象上有三个点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），若x1＜0＜x2＜x3，则下列结论正确的是（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2
错解：A
剖析：当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限内，且在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，而点（x1，y1），（x2，y2）不在同一象限内，故需分象限讨论.
正解： .
利用反比例函数的性质比较自变量的大小设置陷阱
例3 已知一次函数y1＝x﹣3和反比例函数y2＝的图象在平面直角坐标系中交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
x＞4 B．﹣1＜x＜0或x＞4
C．﹣1＜x＜0 D．x＜﹣1或x＞4
错解：选A或选C
剖析：由于反比例函数的图象在第一、三象限，和一次函数图象有两个交点，可求得两个交点的坐标为（-1,4），（4,1），因此要比较两个函数值的大小，需把x的范围划分成四个区间：①x＜－1，②－1＜x＜0，③0＜x＜4，④x＞4，分别进行比较.
正解： .
利用反比例函数图象所在的象限设置陷阱
例4 如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B
在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为 ．
错解：6
剖析：连接AC，交y轴于点D，由四边形OABC为菱形，得到对角线垂直且互相平分，进而可知△CDO的面积为菱形OABC面积的四分之一，再利用反比例函数k的几何意义即可求出k的值．解答时未考虑反比例函数在第二象限，误认为答案是6.
正解： .
参考答案：例1 -2 例2 C 例3 B 例4 -6巧解面积题 等积转化是关键
在中考中有关反比例函数的面积问题可通过“转化思想”来解决，该方法构思别致，简捷巧妙，灵活应用可以使问题迎刃而解，下面我们通过例题一起来感受一下吧．
例1 （2022 怀化）如图1，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图象于A，B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为D.若S△BCD＝5，则a的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
图1
解析：如图1，连接OB.
因为BD⊥y轴，所以BD∥x轴.
所以S△BOD＝S△BCD＝5.
由反比例函数k的几何意义，得S△BOD＝＝5，解得a＝11.
故选D．
例2 （2021 鄂州）如图2，A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上一点，过点A作AC⊥x轴于点C，AC交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点B，点P是y轴正半轴上一点．若△PAB的面积为2，则k的值为 ．
解析：如图2，连接OA，OB.
因为AC⊥x轴，所以AC∥y轴.
所以S△OAB＝S△PAB＝2.
由反比例函数系数k的几何意义，得S△OAC＝6，S△OBC＝k.
因为S△OAC-S△OBC＝S△OAB，所以6－k＝2，解得k＝8．
故填8.
例3 （2021 聊城）如图3，过C点的直线y＝－x－2与x轴，y轴分别交于A，B两点，且BC＝AB.过点C作CH⊥x轴，垂足为H，交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点D，连接OD，△ODH的面积为6．
（1）求k值和点D的坐标；
（2）如图，连接BD，OC，点E在直线y＝－x－2上，且位于第二象限内，若△BDE的面积是△OCD面积的2倍，求点E的坐标．
解析：（1）由反比例函数k的几何意义，得S△ODH==6，解得k=12.所以反比例函数的表达式为y＝.
在y＝－x－2中，令y=0，解得x=-4. 所以A（－4，0）.
由题意可知CH∥y轴，所以＝＝1.所以OH＝AO＝4.所以yD=4.
将yD=4代入y＝，解得xD=3.所以D（4，3）.
因为CD∥y轴， 所以S△BCD=S△OCD .
因为S△BDE=2S△OCD， 所以S△ECD=3S△BCD.
如图3，过点E作EF⊥CD，垂足为F，交y轴于点M.
因为S△ECD=3S△BCD，所以EF=3OH=12．
所以EM=8.所以xE=-8.
将xE=-8代入y＝－x－2， 解得yE=2.所以E（－8，2）．“一反”函数 强强联手
一、强强联手选图象
例1 如图为一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣（a≠0）在同一坐标系中的大致图象，其中较准确的是（ ）
A B C D
解析：根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断.
令ax﹣2a＝﹣，则x﹣2＝﹣，整理，得x2﹣2x+1＝0.
可知 ＝0，一次函数y＝ax﹣2a与反比例函数y＝﹣有且只有一个交点.
故选B．
二、强强联手找交点
例2 如图1，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝
（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则
点N的坐标是（ ）
（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）
解析：因为直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点，
所以M，N两点关于原点对称.
因为点M的坐标是（1，2），所以点N的坐标是（﹣1，﹣2）．
故选A．
三、强强联手比大小
例3 如图2，已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=的图象
相交于A（﹣2，y1），B（1，y2）两点，则不等式ax+b＜的
解集为（ ）
x＜﹣2或0＜x＜1 B．x＜﹣2 C．0＜x＜1 D．﹣2＜x＜0或x＞1
解析：不等式ax+b＜的解集，就是直线y=ax+b在双曲线y=的图象下方部分（点A右侧与y轴之间，点B的右侧）所对应的自变量的取值范围，此时x的取值范围是
﹣2＜x＜0或x＞1.
故选D．
强强联手求面积
例4 如图3，直线y=3x﹣5与反比例函数y=的图象相
交于A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB．
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积．
解析：（1）将点B（n，﹣6）代入y=3x﹣5，得﹣6=3n﹣5，解得n=-.
所以点B的坐标为（-，﹣6）.
把点B（-，﹣6）代入y=，得k﹣1=-×（﹣6），解得k=3.
设直线y=3x﹣5与y轴交于点D，当x=0时，y=﹣5，即OD=5.
所以S△AOB=S△BOD+S△AOD =×5×+×5×2=．实际问题与反比例函数聚焦
利用反比例函数来解决生活中的实际问题，其关键是从实际问题中抽象出函数关系，从而将文字转化为数学语言，通过反比例函数的概念列出函数关系式，再利用反比例函数的性质、思想方法去解决实际问题．利用反比例函数解决实际问题的关键是：建立反比例函数模型，列出反映实际问题的反比例函数表达式：
（1）列出反映实际问题中的函数关系式首先应分析清楚各变量之间应满足的分式，即：实际问题中的变量之间的关系 → 建立反比例函数模型 → 解决实际问题.
（2）在列反映实际问题的函数关系式时，一定要在列出的关系式后面注明自变量的取值范围.
一、实际问题与图象
例1 某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量x与人口数n的函数关系图象是（ ）
A B C D
分析：根据题意有：=；故y与x之间的函数图象双曲线，且根据，n的实际意义，n应大于0；其图象在第一象限．
解：∵由题意，得Q=n，∴=，
∵Q为一定值，∴是n的反比例函数，其图象为双曲线，
又∵＞0，n＞0，∴图象在第一象限．故选B．
点评：此题考查了反比例函数在实际生活中的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
二、实际问题中图象信息
例2 教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）
A. 7：20 B. 7：30 C. 7：45 D. 7：50
分析：第1步：求出两个函数的表达式；
第2步：求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间；
第3步：求出每一个循环周期内，水温不超过50℃的时间段；
第4步：结合4个选择项，逐一进行分析计算，得出结论．
解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴从30℃到100℃需要7分钟，
设一次函数关系式为：y=k1x+b，
将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30
∴y=10x+30（0≤x≤7），令y=50，解得x=2；
设反比例函数关系式为：y=，
将（7，100）代入y=得k=700，∴y=，
将y=30代入y=，解得x=；
∴y=（7≤x≤），令y=50，解得x=14．
所以，饮水机的一个循环周期为 分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，水温不超过50℃．
逐一分析如下：
选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣×3=15，位于14≤x≤时间段内，故可行；
选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行；
选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段内，故不可行．
综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意．故选A．
点评：本题主要考查了一次函数及反比例函数的应用题，还有时间的讨论问题．同学们在解答时要读懂题意，才不易出错．
三、实际问题与反比例函数
例3 将油箱注满k升油后，轿车科行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之间是反比例函数关系S=（k是常数，k≠0）．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米．
（1）求该轿车可行驶的总路程S与平均耗油量a之间的函数表达式（关系式）；
（2）当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
分析：（1）将a=0.1，s=700代入到函数的关系S=中即可求得k的值，从而确定表达式；
（2）将a=0.08代入求得的函数的表达式即可求得s的值．
解：（1）由题意，得a=0.1，s=700，
代入反比例函数关系S=中，解得k=sa=70，
所以函数关系式为s=；
（2）将a=0.08代入s=，得s===875千米，
故该轿车可以行驶多875米；
点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．设而不求 金蝉脱壳
例1 （2022 株洲）如图1，矩形ABCD顶点A，D在y轴上，顶点C在第一象限，x轴为该矩形的一条对称轴，且矩形ABCD的面积为6．若反比例函数y＝的图象经过点C，则k的值为 3
．
解析：设C（m，n），则B（m，－n）．
因为矩形ABCD的面积为6，所以m·2n＝6，即mn＝3．
因为反比例函数y＝的图象经过点C，所以k＝mn＝3．
故填3.
例2 （2022 安徽）如图2，□OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数y＝的图象经过点C，y＝（k≠0）的图象经过点B．若OC＝AC，则k＝ 3
．
解析：设C.
如图2，过点C作CH⊥OA于点H，过点A作AG⊥BC于点G.
因为四边形OABC是平行四边形，所以BC∥AO，OA=BC，OC=AB.
因为OC＝AC，所以AB=AC.所以OH＝AH=CG＝BG＝a.所以B.
因为反比例函数y＝的图象经过点B，所以k＝3a·＝3．
故填3.
1
y=
y=
C
G
B
:
0
H
A
2“将军饮马模型”在反比例函数中的应用
例1 如图1，点A（a，1），B（b，4）都在反比例函数y＝﹣上，P，Q分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABQP周长的最小值为 .
图1 图2
解析：将A（a，1），B（b，4）分别代入y＝﹣，解得a＝﹣4，b＝﹣1.
所以A（﹣4，1），B（﹣1，4）.
如图2，分别作点A，点B关于x轴，y轴的对称点D，C，则D（﹣4，﹣1），C（1，4）.
连接CD，分别交x轴，y轴于P，Q两点，此时四边形ABQP的周长最小.
因为QB＝QC，PA＝PD，所以四边形ABQP周长＝AB+BQ+PQ+PA＝AB+CD.
因为AB＝＝3，CD＝＝5，所以四边形ABQP周长最小值为8.
例2 如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，AD⊥x轴，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，点D的坐标为（3，0）．若P为y轴上一动点，则当PA+PB的值最小时，求点P的坐标．
图3 图4
解析：因为D（3，0），所以xA=3.将xA=3代入y＝，解得yA=3.所以A（3，3）.
因为四边形OABC是矩形，所以∠ABD＝∠OAB＝90°.所以∠BAD＝∠OAD＝45°.
所以△ABD为等腰直角三角形.
如图4，过点B作BE⊥AD，垂足为E，则AE＝ED＝AD＝．
所以B.
作点B关于y轴的对称点为B1，则B1.
直线AB1与y轴的交点就是所求的点P，此时PA+PB的值最小.
设直线AB1的表达式为y＝ax+b.
将 A（3，3），B1代入，得解得
所以直线AB1的表达式为y＝x+.
当x＝0时，y＝.所以P．
