三角函数中的数学思想
一、分类讨论思想
例1 在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是 ．
解析：由于题目的条件中给出了两边和其中一边的对角，不能画出唯一的三角形，所以应考虑分类讨论．
（1）当∠C为锐角时，如图1，过点A作AD⊥BC于点D.
在Rt△ABD中，∠B＝45°，AB＝10，sin B=,所以AD=AB·sin B=10×=10.
所以BD＝AD＝10.
在Rt△ACD中，AD＝10，AC＝5，由勾股定理，得CD==5.
所以BC=BD+CD=15.
所以BC·AD=75.
（2）当∠C为钝角时，如图2，过点A作AD⊥BC的延长线于点D.
同理可求得AD＝BD＝10，CD=5，所以BC=BD - CD=5.
所以BC·AD=25.
图1 图2
二、方程思想
例2 某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图如图3所示．已知真空集热管DE与支架CB所在直线相交于点O，且OB＝OE；支架BC与水平线AD垂直．AC＝40 cm，∠ADE＝30°，DE＝190 cm，另一支架AB与水平线夹角∠BAD＝65°，求OB的长度（结果精确到1 cm；温馨提示：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）.
图3
解析：设OE＝OB＝2x，则OD＝DE+OE＝190+2x.
在Rt△OCD中，∠ADE＝30°，所以OC＝OD＝95+x.
所以BC＝OC﹣OB＝95+x﹣2x＝95﹣x.
在Rt△ABC中，∠BAD＝65°,tan∠BAD＝，即2.14＝，解得x≈9.
所以OB＝2x＝18 cm．
答：OB的长为18 cm.
三、转化思想
例3 如图4，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B南偏东37°的方向上．
（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；
（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号；参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）
图4
解析：（1）由题意，得∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．
在Rt△ABC中，sinB＝，所以AC＝AB sinB＝25×≈15（海里）．
答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里.
（2）如图4，过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，点D，C，M在一条直线上．
在Rt△AMC中，sin∠CAM=,所以CM＝AC sin∠CAM＝15×≈12．
因为cos∠CAM=，所以AM＝AC cos∠CAM＝15×≈9．
在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，所以DM＝AM tan76°＝9×4＝36．
所以AD＝＝＝9．
所以CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．
设缉私艇的速度为x海里/小时，则有=，解得x＝6．
经检验，x＝6是原方程的解．
答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．解直角三角形的应用秀
一、与仰角、俯角有关的应用
例1 如图1，在电线杆CD上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长.（结果保留根号）
解析：如图1，过点A作AH⊥CD于点H.
易得四边形ABDH为矩形，所以AB=DH=1.5，AH=BD=6.
在Rt△ACH中，tan∠CAH=，所以CH=AH·tan∠CAH=
6×tan30°=.
所以CD=CH+DH=+1.5.
在Rt△CDE中，sin∠CED=，所以CE==（4+）米.
答：拉线CE的长为（4+）米.
二、与方位角有关的应用
例2 某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线l（如图2）.救生员甲在A处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的B处有人发出求救信号，他立即沿AB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙，乙马上从C处入海，径直向B处游去，甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的D处，再向B处游去.若CD=40米，B在C的北偏东35°方向，甲、乙的游泳速度都是2米/秒.问：谁先到达B处？请说明理由.（参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
解析：由题意，得∠BCD=55°，∠BDC=90°.
在Rt△BDC中，tan∠BCD=，所以BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2.
因为cos∠BCD=，所以BC=≈70.2.
所以t甲=+10=38.6（秒），t乙==35.1（秒）.
因为t甲＞t乙，所以乙先到达B处.
三、与坡度、坡角有关的应用
例3 某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯，如图3所示.已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，扶梯AB的坡度i为1:，若改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，则改造后的斜坡式自动扶梯AC的长为多少？（结果精确到0.1 m；参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）
解析：因为扶梯AB的坡度i为1:，所以AD:BD=1:，即BD=AD.
在Rt△ADB中，AD2+BD2=AB2，即AD2+3AD2=102.解得AD=5.
在Rt△ACD中，sin∠ACD=，所以AC=≈19.2（m）.
答：改造后的斜坡式自动扶梯AC的长约为19.2 m.
四、其他应用
例4 如图4是在写字台FG上放置一本数学书和一个折叠式台灯时的截面示意图，已知数学书AB的长为25 cm，台灯上半节DE的长为40 cm，下半节CD的长为50 cm.当台灯灯泡E恰好在数学书AB的中点O的正上方时，台灯上、下半节的夹角（∠EDC）为105°，下半节CD与写字台FG的夹角（∠DCG）为75°，求BC的长.（书的厚度和台灯底座的宽度、高度都忽略不计，点F，A，O，B，C，G在同一条直线上；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，≈1.41，≈1.73；结果精确到0.1 cm）
解析：如图4，过点D作DM⊥FG于点M，DN⊥EO于点N.
在Rt△CMD中，cos∠DCM=，所以CM=CD·cos∠DCM=50×cos75°≈13.
易得DN∥FG，所以∠CDN=∠DCG=75°.
在Rt△DNE中，∠EDN=∠EDC-∠CDN=30°，cos∠EDN=，
所以DN=DE·cos∠EDN=40×cos30°=≈34.6.
易得四边形DNOM是矩形，所以OM=DN≈34.6.
因为O为AB的中点，所以OB=AB=12.5.
所以BC=OM-CM-OB≈34.6-13-12.5=9.1（cm）.
答：BC的长约为9.1 cm.
点评：解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，对于非直角三角形问题，要注意观察图形特点，作恰当的辅助线，将其转化为直角三角形来解.
图1
图2
图3
图4
1巧记巧用特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值是解决直角三角形边角关系问题时经常用到的数据，其应用十分广泛，是必备的基本功之一．
正弦、余弦和正切的概念易混淆，可以简记为：正弦对比斜，余弦邻比斜，正切对比邻．其中30°，45°，60°的正弦值、余弦值可以看成是被开方数不同的“”，其正弦值的被开方数依次是1，2，3，余弦值的被开方数依次是3，2，1；30°，45°，60°的正切值可以看成是“”，被开方数依次是3，9，27．综上，可结合口诀记忆：一二三，三二一，三九二十七．
一、直接用
例1 点M（tan 30°，﹣cos 30°）关于x轴的对称点M′的坐标是 ．
解析：根据特殊角的三角函数值，知点M的坐标为．
因为关于x轴对称的点的坐标“横坐标不变，纵坐标互为相反数”，所以点M′的坐标为．
二、逆向用
例2 已知α为锐角，且满足2sin（α﹣15°）＝，则α的度数为（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
解析：由2sin（α﹣15°）＝，得sin（α﹣15°）＝.
根据特殊角的三角函数值，可知α﹣15°＝60°，所以α＝75°．
故选B．
例3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则cos（A﹣30°）的值为（ ）
A． B． C． D．
解析：由tan A＝，根据特殊角的三角函数值，可知∠A＝60°，则∠A﹣30°＝30°，所以cos（A﹣30°）＝cos 30°＝．故选C．
三、创新用
例4 利用科学计算器可求得sin 210°＝，sin 225°＝，所以sin 210°＝sin（180°+30°）＝﹣sin 30°，sin 225°＝sin（180°+45°）＝﹣sin 45°．由此猜想：一般地，当α为锐角时，有sin（180°+α）＝﹣sin α，则sin 240°等于（ ）
A． B． C． D．
解析：这是一道阅读理解题，阅读材料为问题的解决提供了依据和策略．仿照题中示例，知sin 240°＝sin（180°+60°）＝﹣sin 60°＝．故选C．
点评：在较复杂的综合问题中，特殊角的三角函数值常作为一个运算的“过渡工具”，为避免一步错步步错，则需要牢记30°，45°，60°角的三角函数值．若有所混淆或不确定，可以作一个含30°角的直角三角形或等腰直角三角形，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”及等腰直角三角形的性质，找到三边关系，根据正弦、余弦和正切的定义求解．构造直角三角形解三角函数实际问题
解直角三角形的几种常见类型及其解法可归纳如下表：
类 型 已知条件 解 法
图 示
两 边 两直角边 （如a，b） c＝，由tan A＝求出∠A， ∠B＝90°﹣∠A
斜边和一条直角边 （如c，a） b＝，由sin A＝求出∠A， ∠B＝90°﹣∠A
一边 一锐角 一条直角边和一个锐角 （如a，∠A） ∠B＝90°﹣∠A，c＝， b＝（或b＝）
斜边和一个锐角 （如c，∠A） ∠B＝90°﹣∠A，a＝c·sin A， b＝c·cos A（或b＝）
可见，解直角三角形的前提是在直角三角形中进行，但对于有些实际问题，抽象出的平面图形不含有直角三角形，此时要注意观察图形特点，结合已知条件，作恰当的辅助线构造直角三角形，将其转化为解直角三角形的问题来求解．
例1 近年来我国实施一系列惠农政策，加大对农村基础设施的投入，其中“村村通公路”政策为群众出行提供了便利，推进了新农村建设的步伐．如图1，公路l为东西走向，在其间修建了一个汽车站A，在点A北偏东37°方向，距离5千米处是村庄M，在点A北偏东53°方向，距离10千米处是村庄N，求两村庄M，N之间的距离．（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33）
图1
解析：如图1，过点N作NE⊥直线l于点E，过点M作MC⊥AE于点C，MD⊥NE于点D，则四边形CEDM是矩形．所以MC＝DE，MD＝CE．
在Rt△AEN中，AN＝10，∠ANE＝53°，所以AE＝AN·sin 53°≈10×0.80＝8，NE＝AN·cos 53°≈10×0.60=6．
在Rt△ACM中，AM＝5，∠AMC＝37°，所以AC＝AM·sin 37°≈5×0.60＝3，MC＝AM·cos 37°≈5×0.80=4．
在Rt△MDN中，MD＝AE﹣AC＝5，ND＝NE﹣MC＝2，所以MN＝＝（千米）．
所以两村庄M，N之间的距离为千米．
例2 图2﹣①是一只消毒液喷雾瓶的实物图，其示意图如图2﹣②所示，已知AB＝6 cm，BC＝4 cm，∠ABC＝85°，∠BCD＝120°．求点A到CD的距离．（结果精确到0.1 cm，参考数据：sin 65°≈0.906，cos 65°≈0.423，tan 65°≈2.145，≈1.732）
① ②
图2
解析：如图2﹣②，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD交DC的延长线于点F，过点A作AG⊥BF交FB的延长线于点G，则AE＝GF，∠BFC＝∠AGB＝90°．
因为∠BCD＝120°，所以∠BCF＝180°﹣∠BCD＝60°，∠CBF＝90°﹣∠BCF＝30°．
在Rt△BFC中，BC＝4，所以BF＝BC·sin 60°＝4×＝．
因为∠ABC＝85°，所以∠ABG＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝65°．
在Rt△AGB中，AB＝6，所以BG＝AB·cos 65°≈6×0.423＝2.538．
所以AE＝GF＝BG+BF≈2.538+≈6.0（cm）．
所以点A到CD的距离约为6.0 cm．方法点击
巧用等角转化求值
一个锐角的三角函数值仅与这个锐角的大小有关，而与锐角在何处、在何种三角形中无关.当一个锐角的三角函数值求解较烦琐或不易直接求得时，可转化为求与其相等的角的三角函数值，从而使问题得解.
一、找到等角直接用
例1 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则cos∠BCD的值是 .
分析：在Rt△BCD中，cos∠BCD=，若想直接求得cos∠BCD的值，需先求AB的长，再利用等面积法求得CD的长，但观察图形易得∠A=∠BCD，本题可通过等角转化求cosA的值使问题得解.
解：因为∠ACB=90°，CD⊥AB，所以∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°.所以∠A=∠BCD.
在Rt△ABC中，AB==10.
所以cos∠BCD=cos A===.
例2 如图2，点E是矩形ABCD的边CD上一点，将△BCE沿BE折叠得到△BFE，点F恰好落在边AD上.若sin∠DFE=，则tan∠EBC的值为 .
分析：根据题意，易得∠EBC=∠EBF，所以tan∠EBC= tan∠EBF=.易证△DFE∽△ABF，得=，从而将问题转化为求的值.
解：由折叠的性质，得∠EBC=∠EBF，所以tan∠EBC=tan∠EBF=.
因为四边形ABCD是矩形，所以∠A=∠D=∠C=90°. 所以∠AFB+∠ABF=90°.
由折叠的性质，得∠BFE=∠C=90°.所以∠AFB+∠DFE=90°.
所以∠DFE=∠ABF.所以△DFE∽△ABF，所以=.
在Rt△DEF中，sin∠DFE==，所以设DE=a，则EF=3a.
所以AB=CD=DE+EC=DE+EF=4a，DF=.
所以=.
所以tan∠EBC=tan∠EBF==.
点评：由于锐角三角函数值实质上就是直角三角形两边长的比值，所以有时需将三角函数值转化为线段比，通过设定一个参数，并用含该参数的代数式表示各边长，结合相关条件解决问题.
二、作辅助线构造等角
例3 如图3，在边长均为1的小正方形方格图中，点A，B，C，D在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则tan∠APD的值为 .
分析：题中待求三角函数值的角不在直角三角形中，可结合图形作辅助线，构造直角三角形求解.如图3，通过作辅助线，构造Rt△AEB，且∠ABE=∠APD.
解：如图3，连接BE，AE.
根据正方形的性质，得∠AED=∠BED=45°，所以∠AEB=90°.
在Rt△AEB中，AE=，BE=，所以tan∠ABE==2.
易得CD∥BE，所以∠APD=∠ABE.
所以tan∠APD=tan∠ABE=2.
点评：在方格图中，作辅助线构造直角三角形的方法多种多样，要尽可能将直角三角形的各顶点落在方格图的格点上，以便于计算.
例4 如图4，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB=，过点A作AE⊥AC，垂足为A，且AE=1，连接BE，则tanE= .
分析：直接求tanE的运算较烦琐，考虑延长CA至点E′，使AE′=AE，连接BE′，通过证△AEB≌△AE′B得∠E=∠E′，将问题转化为求tan E′.
解：如图4，延长CA至点E′，使AE′=AE=1，连接BE′.
根据正方形的性质，得∠BAC=45°，OA=OB= AB·sin45°=2.
因为AE⊥AC，所以∠EAC=90°.所以∠EAB=∠E′AB =135°.
又因为AE=AE′，AB=AB，所以△AEB≌△AE′B.所以∠E=∠E′.
在Rt△BOE中，OE′=AE′+OA=3，所以tan E′==.
所以tanE= tan E′=.还可以这样解
典型例题 在如图1所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均为格点，连接AB，AC，求∠1+∠2的度数．
图1
这道题要求∠1+∠2的度数，要得到一个确定的值，显然用测量的方法是不行的，观察网格可得∠1和∠2的正切值分别为和，这两个数值都不是特殊角的三角函数值，可见分别求∠1，∠2的度数是行不通的，但可以用所学知识将其看作整体来求解．
解法一：可多画几个网格如图2所示，延长BA至格点D，连接CD．由三角形外角的性质，得∠CAD=
∠1+∠2．因为网格中每个小正方形的边长为1，利用勾股定理及其逆定理，可得∠CAD是等腰直角三角形，所以∠CAD=45°，则∠1+∠2的度数得解．
图2
解法二：如图3，连接AD，AE，其中D，E为格点．根据网格易得BD=1，AD=AE=，CE=2，∠BDA=135°，∠AEC=135°，则，∠BDA=∠AEC，可得△BDA∽△AEC，则∠1=∠CAE．由三角形外角的性质，得∠AED=∠CAE+∠2，即∠AED=∠1+∠2．易得∠AED=45°，则∠1+∠2的度数得解．
图3
变式论坛
若本题不在网格图中，则需用解直角三角形的方法求解．如图4，在△ABC中，tan∠1=，tan∠2=，求∠1+∠2的度数．
图4
解法三：如图4，过点A作AD⊥BC于点D，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E．设AD=x，则BD=2x，CD=3x，由勾股定理，得AB=x，AC=x．由sin∠2==，可求得BE=x，所以sin∠BAE==，则∠BAE=45°，利用三角形外角的性质，∠1+∠2的度数即可得解．
数学的视野应是广阔的，再简单的题目也有值得探究的地方，你感受到数学的魅力了吗？
