《同步课堂》2013-2014学年高中数学北师大版必修一章末复习方案与全优评估：第三章 指数函数和对数函数

1．指数与指数函数
(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．
(2)指数函数的底数a＞0且a≠1，这是隐含条件．
(3)指数函数y＝ax的单调性，与底数a有关．当底数a与1的大小不确定时，一般需分类讨论．
(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．
(5)函数y＝ax与函数y＝()x的图像关于y轴对称．
(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．
2．对数与对数函数
(1)指数式ab＝N与对数式logaN＝b的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．
(2)在使用运算性质logaMn＝nlogaM时，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为logaMn＝nloga|M|.
(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式logambn＝logab，logab＝在解题中的灵活运用．
(4)对数函数y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称．
(5)指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，其图像关于直线y＝x对称．
(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．
(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．
　　[例1]　化简：
(1)÷(1－2 )×；
(2)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3；
(3).
[解]　(1)原式＝××ab＝×a×ab＝a.
(2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.
(3)原式＝＝＝＝1.
[借题发挥]
指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．
1．若2.5x＝1 000，0.25y＝1 000，则－＝________．
解析：由已知得：x＝log2.51 000，y＝log0.251 000
∴－＝－＝－
＝(lg 2. 5－lg 0.25)＝lg ＝lg 10＝.
答案：
2．已知logax＝4，logay＝5，试求A＝(x)的值．
解：logaA＝[logax＋(－logax－2logay)]
＝(logax－logay)
＝(×4－×5)＝0.
∴A＝1.
[例2]　(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a＞0，a≠1)的图像如右图所示，则a，b满足的关系是(　　)
A．0＜a－1＜b＜1
B．0＜b＜a－1＜1
C．0＜b－1＜a＜1
D．0＜a－1＜b－1＜1
(2)已知函数y＝ax2－3x＋3，当x∈[1，3]时有最小值，求a的值．
[解]　(1)由图像，知该函数为增函数．
∴a＞1.又当x＝0时，－1＜f(0)＜0，
即－1＜logab＜0，即loga＜logab＜loga1.
∴＜b＜1.结合a＞1，知0＜a－1＜b＜1.
[答案]　A
(2)令t＝x2－3x＋3＝(x－)2＋，
当x∈[1，3]时，t∈[，3]，
①若a＞1，则ymin＝a＝，
解得a＝，与a＞1矛盾．
②若0＜a＜1，则ymin＝a3＝，解得a＝，满足题意．
综合①，②知a＝.
[借题发挥]
指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y＝ax，对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)的图像与性质都与a的取值有密切的联系，a变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a的值不确定时，要对它们进行分类讨论．
3．函数f(x)＝ax－b的图像如右图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
解析：由f(x)＝ax－b的图像可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1；
函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.
答案：D
4．函数f(x)＝的图像和函数g(x)＝log2x的图像的交点个数是(　　)
A．4　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
解析：作出函数f(x)与g(x)的图像，如图所示，由图像可知：两函数图像的交点有3个．
答案：B
5．定义在[－1，1]上的偶函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时的解析式f(x)＝－(a∈R)．
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值．
解：(1)设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]．
∴f(－x)＝－＝4x－a·2x.
∵函数f(x)是偶函数，
∴f(x)＝f(－x)＝4x－a·2x，x∈[0，1]．
(2)当x∈[0，1]时，f(x)＝4x－a·2x，
令t＝2x，则t∈[1，2]．∴g(t)＝t2－at＝(t－)2－.
当≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；
当1＜≤，即2＜a≤3时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；
当＜≤2，即3＜a≤4时，g(t)max＝g(1)＝1－a；
当＞2，即a＞4时，g(t)max＝g(1)＝1－a.
综上知，当a≤3时，f(x)的最大值是4－2a；
当a＞3时，f(x)的最大值是1－a.
[例3]　比较下列各组数的大小．
(1)log3与log5；
(2)log1.10.7与log1.20.7；
(3)已知logb＜loga＜logc，比较2b，2a，2c的大小关系．
[解]　(1)∵log3＜log31＝0，而log5＞log51＝0，
∴log3＜log5.
(2)∵0＜0.7＜1，1.1＜1.2，
∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，
∴＜，
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.
(3)∵y＝logx为减函数，且logb＜loga＜logc，
∴b＞a＞c，而y＝2x是增函数，
∴2b＞2a＞2c.
[借题发挥]
比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等．其中第(2)小题可以运用图像法解．提示：
作出函数y＝log1.1x与y＝log1.2x的图像
如图所示，两图像与x＝0.7相交，
可知log1.10.7＜log1.20.7.
6．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序为(　　)
A．0.76＜log0.76＜60.7　　　 B．0.76＜60.7＜log0.76
C．log0.76＜60.7＜0.76 D．log0.76＜0.76＜60.7
解析：∵0＜0.7＜1，6＞1，∴log0.76＜0，而0＜0.76＜1，60.7＞1，故log0.76＜0.76＜60.7.
答案：D
7．若x∈(1，10)，则(lg x)2，lg x2，lg(lg x)的大小顺序是(　　)
A．(lg x)2＜lg x2＜lg(lg x)
B．lg(lg x)＜lg x2＜(lg x)2
C．lg x2＜lg(lg x)＜(lg x)2
D．lg(lgx)＜(lg x)2＜lg x2
解析：∵x∈(1，10)，∴不妨令x＝，
则lg(lg x)＝lg(lg )＜0，(lg x)2＝(lg )2＝，
lg x2＝lg()2＝1，
∴lg(lg x)＜(lg x)2＜lg x2.
答案：D
[例4]　已知函数f(x)＝log2(2x＋1)．
(1)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增加的；
(2)若关于x的方程log2(2x－1)＝m＋f(x)在[1，2]上有解，求m的取值范围．
[解]　(1)证明：任取x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝log2(2x1＋1)－log2(2x2＋1)＝log2，
∵x1＜x2，∴0＜2x1＋1＜2x2＋1.
∴0＜＜1，log2＜0.∴f(x1)＜f(x2)，
即函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增加的．
(2)法一：∵m＝log2(2x－1)－log2(2x＋1)
＝log2＝log2(1－)．
当1≤x≤2时，≤≤，
∴≤1－≤.
∴m的取值范围是[log2，log2]．
法二：解方程log2(2x－1)＝m＋log2(2x＋1)，
得x＝log2()，∵1≤x≤2，
∴1≤log2()≤2，解得log2≤m≤log2.
∴m的取值范围是[log2，log2]．
[借题发挥]
若本例中函数不变，如何解不等式f(4x)＞f(()x－3)
8．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：∵3x＋1＞1，∴log2(3x＋1)＞0.
答案：A
9．已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(x∈R)是偶函数，求k的值．
解：∵函数f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，
即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx.
∴2kx＝log4(4－x＋1)－log4(4x＋1)
＝log4＝log4
＝log4＝－x.
∴2k＝－1.∴k＝－.
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)的图像如右图所示，函数y＝g(x)的图像与y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称，则函数y＝g(x)的解析式为(　　)
A．g(x)＝2x　　　　　　　 B．g(x)＝logx
C．g(x)＝()x D．g(x)＝log2x
解析：由点(2，－1)在y＝logax的图像上，
得loga2＝－1，∴a＝.
∴f(x)＝logx，从而g(x)＝()x.
答案：C
2.log612－log6等于(　　)
A．6 B．12
C. D．3
解析：原式＝log6－log6＝log6＝.
答案：C
3．若集合A＝{x|logx≥}，则 RA＝(　　)
A．(－∞，0]∪(，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，0]∪[，＋∞) D．[，＋∞)
解析：logx≥，即logx≥log
∴0＜x≤，即A＝{x|0＜x≤}．
∴ RA＝{x|x≤0或x＞}．
答案：A
4．(2012·重庆高考)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＝bc
C．ab>c
解析：a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝log23>1，c＝log32c.
答案：B
5．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则(　　)
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．b＜a＜c
解析：a＝log54＜1，log53＜log54＜1，
b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.
答案：D
6．函数f(x)＝lg(－1)的图像关于(　　)
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y＝x对称
解析：f(x)＝lg ，则f(x)的定义域为(－1，1)，
又∵f(－x)＝lg ＝lg ＝－lg ＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，∴该函数的图像关于原点对称．
答案：C
7．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝(　　)
A. B．10
C．20 D．100
解析：由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10.
∵＋＝2.∴logm10＝2.
∴m2＝10，∵m>0，∴m＝.
答案：A
8．函数y＝ax2＋bx与y＝log||x(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系中的图像可能是(　　)
解析：函数y＝ax2＋bx的两个零点是0，－.
对于A、B，由抛物线的图像知，－∈(0，1)，
∴||∈(0，1)．
∴函数y＝log||x不是增函数，错误；
对于C，由抛物线的图像知a＜0且－＜－1，
∴b＜0且＞1.∴||＞1.
∴函数y＝log||x应为增函数，错误；
对于D，由抛物线的图像知a＞0，－∈(－1，0)，
∴||∈(0，1)．满足y＝log||x为减函数．
答案：D
9．设函数f(x)＝若f(x0)＞1，则x0的取值范围是(　　)
A．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(0，2)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－1，3)
解析：当x0≥2时，∵f(x0)＞1，
∴log2(x0－1)＞1，即x0＞3；
当x0＜2时，由f(x0)＞1得()x0－1＞1，
()x0＞()－1，∴x0＜－1.
∴x0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
答案：C
10．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为(　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：本题是新定义型问题，主要考查数形结合思想的应用．
由题意知，函数f(x)是三个函数y1＝2x，y2＝x＋2，y3＝10－x中的较小者，作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如右图实线部分为f(x)的图像)可知A(4，6)为函数f(x)图像的最高点，∴f(x)max＝6.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．(2011·四川高考)计算(lg －lg 25)÷100－＝____________．
解析：原式＝(lg )÷10－1＝－2×10＝－20.
答案：－20
12．设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．
解析：因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，
即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，
化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.
因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.
答案：－1
13．方程()x＝|log3x|的解的个数是________．
解析：如图，画出函数y＝()x与y＝|log3x|的图像，两图像的交点个数为2.
答案：2
14．已知定义域为R的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式f(log4x)＞0的解集是________．
解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－)＝f()＝0，
又∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
∴f(x)在(－∞，0]上是减函数，
∴f(log4x)＞0log4x＞或log4x＜－，
∴x＞2或0＜x＜.
答案：(0，)∪(2，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)
(1)解方程：lg(x＋1)＋lg(x－2)＝lg 4；
(2)求不等式21－2x＞的解集．
解：(1)原方程可化为lg(x＋1)(x－2)＝lg 4，
∴(x＋1)(x－2)＝4，解得x＝－2或3，
又x＞2,
∴方程的根为3；
(2)原不等式可变为：21－2x＞2－3，
又y＝2x为R上的增函数，
∴1－2x＞－3，解得：x＜2.
所以解集为{x|x＜2}．
16．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；
(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．
解：(1)当t∈[0，1]时，函数的解析式为y＝kt，
将M(1，4)代入得k＝4，∴y＝4t.
又当t∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y＝()t－a，
将点(3，1)代入得a＝3.
∴y＝()t－3.
综上有y＝f(t)＝
(2)由f (t)≥0.25，解得≤t≤5.
所以服药一次治疗疾病的有效时间为
5－＝个小时．
17．(本小题满分12分)设函数
f(x)＝
(1)求f(log2)的值；
(2)求f(x)的最小值．
解：(1)∵log2＜log22＝1，
∴f(log2)＝2－log2＝2log2＝，
即f(log2)＝；
(2)当x∈(－∞，1]时，f(x)＝2－x＝()x≥，
即f(x)min＝.
当x∈(1，＋∞)时，f(x)＝(log3x－1)(log3x－2)，
令log3x＝t，则t＞0，
∴y＝(t－1)(t－2)＝(t－)2－.
∵t＞0，∴当t＝时，ymin＝－＜.
∴f(x)的最小值是－.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝2x－，
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1，2]恒成立，
求实数m的取值范围．
解：(1)当x≤0时，f(x)＝0；
当x>0时，f(x)＝2x－，
由条件可知2x－＝2，即22x－2×2x－1＝0.
解得2x＝1＋或2x＝1－(舍去)．
∴x＝log2(1＋)；
(2)当t∈[1，2]时，2t(22t－)＋m(2t－)≥0.
即m(22t－1)≥－(24t－1)，
∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1，2]，∴－(22t＋1)∈[－17，－5]．
故m的取值范围是[－5，＋∞)．