《同步课堂》2013-2014学年高中数学北师大版必修一章末复习方案与全优评估：第四章 函数的应用
文档属性
| 名称 | 《同步课堂》2013-2014学年高中数学北师大版必修一章末复习方案与全优评估：第四章 函数的应用 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 376.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-10-13 20:39:00 | ||
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文档简介
1．函数的零点
(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．
(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
(5)判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.
2．实际问题的函数建模
解决应用问题的一般程序是：
(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
[例1] 函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 法一：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.
法二：在坐标系中作出函数f(x)＝的图像，由图像知，有两个零点．
[答案] C
[借题发挥]
函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．
1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
解析：因为f()＝e＋4×－3＝e－2<0，f()＝e＋4×－3＝e－1>0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(，)．
答案：C
2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．
又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)＜0，f(x2)＞0.
答案：B
3．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln (x－)
解析：∵g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且g()＝＋－2＝－＜0，g()＝2＋1－2＝1＞0.
设g(x)＝4x＋2x－2的零点为x0，则＜x0＜，
故0＜x0－＜，∴＜.
又f(x)＝4x－1的零点为x＝；
f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1；
f(x)＝ex－1的零点为x＝0；
f(x)＝ln (x－)的零点为x＝.
答案：A
[例2] 已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2，在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
[解] (1)当方程x2－(m－1)x＋2＝0，在[0，1]上有两个相等的实根时，
有
解得m＝1±2，1≤m≤3，
∴此种情况不存在．
(2)当方程x2－(m－1)x＋2＝0有两个不相等实根时，
有且只有一根在[0，1]上，有
即∴m≥4.
综上所述，实数m的取值范围m≥4.
[借题发挥]
(1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．
(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题．
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋1(a＜b)，且m，n是方程f(x)＝0的两个根(m＜n)，则实数a，b，m，n的大小关系可能是________．
解析：由函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋1，我们可以看到a，b为g(x)＝(x－a)(x－b)的零点，且f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，如图，则应有a＜m＜n＜b.
答案：a＜m＜n＜b
5．已知函数f(x)＝x2－x＋m的两个零点都在区间(0，2)内，求实数m的取值范围．
解：函数f(x)＝x2－x＋m的对称轴为直线x＝.
若使两个零点都在区间(0，2)内，
需满足即
解得0＜m＜，故m的取值范围为(0，).
[例3] 某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？
[解] (1)设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)时，未租出的设备为套，
则未租出的设备费用为(×20)元；
租出的设备为(40－)套，
则月租金总额为[(40－)x]元．
所以y＝(40－)x－×20
＝－0.1x2＋65x＋540；
(2)由(1)得y＝－0.1x2＋65x＋540＝－0.1(x－325)2＋11 102.5.则当x＝325时，y取最大值为11 102.5，
即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．
[借题发挥]
解决这类问题需要根据题中量与量之间的关系，选取恰当的变量作为自变量，利用已知的等量关系或隐含的等量关系建立函数模型，然后利用函数知识求解．
6．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表.
天数 1 2 3 4 5 6
病毒细胞个数 1 2 4 8 16 32
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 2≈0.3010)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物；
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
7．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图③中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)，每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式；
(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
解：(1)f(t)＝
g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
q(t)＝t∈N；
(2)日销售利润h(t)＝q(t)·[f(t)＋g(t)]
＝
①当0≤t≤20时，易知h(t)在区间[0，20]上递增．
∴h(t)max＝h(20)＝6 000.
②当20＜t≤30时，h(t)＝－9(t－)2＋6 400.
∴当t＝27时，h(t)max＝h(27)＝6 399.
③当30＜t≤40时，h(t)＜h(30)＝6 300.
综上h(t)max＝h(27)＝6 399.
所以第27天这家公司的日销售利润最大，
最大为6 399万元．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0，1)上有零点的一个函数为( )
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x3－2x＋3
C．f(x)＝x3＋2x－2 D．f(x)＝x2＋2x－3
解析：∵f(0)·f(1)＜0验证知只有C符合此条件．
答案：C
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：逐个验证知：f(－1)＝－3＝－＜0，
f(0)＝20＋0＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0.
答案：B
3．方程logx＝2x－1的实数根的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：令y1＝logx，y2＝2x－1，作出图像，由图像可知，两函数的图像只有一个公共点，所以方程logx＝2x－1有一个实数根．
答案：B
4．用二分法求函数f(x)＝x3－()x－2的零点时，初始区间大致可选为( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，3) D．(2，4)
解析：∵f(0)＝－4＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＞0，f(4)＞0，则有f(1)·f(2)＜0.
答案：B
5．某水果市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后剩余现金y元，则y与x之间的函数关系为( )
A．y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200)
B．y＝3 000－2.5x(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－100x(100＜x＜1 200)
D．y＝3 000－100x(100≤x≤1 200)
解析：y＝3000－2.5x，由得100≤x≤1 200.
答案：A
6．函数y＝()x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )
A．1.3 B．1.4
C．1.5 D．1.6
解析：设f(x)＝lg x－()x，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－()x＝0在[1，2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D符合要求．
答案：D
7．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1，1)上存在零点，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜ B．a＞
C．a＜－1 D．a＜－1或a＞
解析：由题意知：f(－1)·f(1)＜0，而(1－5a)(a＋1)＜0
∴或得a＜－1或a＞.
答案：D
8．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
解析：由已知条件，得f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点．
答案：B
9．若x0是方程()x＝x的解，则x0属于区间( )
A．(，1) B．(，)
C．(，) D．(0，)
解析：令f(x)＝()x－x，f(1)＝－1＝－＜0，
f()＝()－()＜0，f()＝()－()＞0，f()＝()－()＝()－()＜0，
∴f(x)在(，)内有零点．
答案：C
10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
解析：设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)；
比较100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．函数y＝x2－ax－b的零点为2和3，则函数f(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由2＋3＝a，2×3＝－b得a＝5，b＝－6，
∴f(x)＝－6x2－5x－1，
令f(x)＝0，得6x2＋5x＋1＝0，x1＝－，x2＝－.
答案：－、－
12．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)＞0，f(1)＜0，
又f()＝()3－6x()2＋4＞0，
∴下一步可断定方程的根所在区间为(，1)．
答案：(，1)
13．已知关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0的两实根一个比3小，一个比3大，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，则所求转化为f(x)与x轴的交点分别在点(3，0)的两侧时m的取值范围．借助f(x)的图像可知，只需f(3)＜0即可，
由f(3)＝9＋6(m＋3)＋2m＋14＜0，
解得m的取值范围是m＜－.
答案：m＜－
14.某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品________千克．
解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为y＝
从而易得30×50＜2 700＜30×100，
故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为＝90千克．
答案：90
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出函数f(x)＝x2－x－1的图像，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0，2]内根的情况．
解：图像如图所示．
因为f(0)＝－1＜0，
f(2)＝1＞0，
所以方程x2－x－1＝0在(0，2)内有根x0；取(0，2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1，2)内；再取(1，2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5，2)内；取(1.5，2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根在区间(1.5，1.75)内，这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
16．(本小题满分12分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解：(1)当m＋6＝0即m＝－6时，函数为y＝－14x－5显然成立．
当m＋6≠0时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，
得m≤－，
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－；
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝
∵＋＝＝－4，
∴－＝－4.
解得m＝－3，且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意．
∴m的值为－3.
17．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，试确定f(x)在R上的零点个数．
解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0
∵log2 012＝－2，2 012≈1，
log2 012＝－1，2 012＞1，
∴f()＜0，f()＞0
∴f(x)＝2 012x＋log2 012x在区间(，)内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数在R上的零点个数为3.
18．(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f(x)＝k1x，投资股票的收益与投资额的函数关系为g(x)＝k2，
由图像得f(1)＝＝k1，g(1)＝k2＝，
f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)；
(2)设投资债券类产品x万元，
则股票类投资为20－x万元．
y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝，
则y＝＋t＝－(t2－4t－20)
＝－(t－2)2＋3.
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
(1)函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．
(2)确定函数y＝f(x)的零点，就是求方程f(x)＝0的实数根．
(3)一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不间断的一条曲线，并且f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0的根．
(4)一般地，对于不能用公式法求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程的近似解．
(5)判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们可以把这些方程f(x)＝0与函数y＝f(x)联系起来，并利用函数的图像和性质找零点，从而求出方程的根．
对于如何判断函数在某区间内是否有零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图像在某区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0.
2．实际问题的函数建模
解决应用问题的一般程序是：
(1)审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
(2)建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
(3)求模：求解数学模型，得到数学结论；
(4)还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为
[例1] 函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 法一：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0，得x1＝1(舍去)，x2＝－3；
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0，得x＝e2，所以函数f(x)的零点个数为2.
法二：在坐标系中作出函数f(x)＝的图像，由图像知，有两个零点．
[答案] C
[借题发挥]
函数的零点问题常见的有：求零点大小、判断零点个数及零点所在大致区间三类问题．常用的解法有解方程法，判定定理法及数形结合法．
1．在下列区间中，函数f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为( )
A．(－，0) B．(0，)
C．(，) D．(，)
解析：因为f()＝e＋4×－3＝e－2<0，f()＝e＋4×－3＝e－1>0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零点所在的区间为(，)．
答案：C
2．已知x0是函数f(x)＝2x＋的一个零点．若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
解析：函数f(x)在(－∞，1)，(1，＋∞)上是增函数．
又∵x0是f(x)的一个零点，且x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，∴f(x1)＜0，f(x2)＞0.
答案：B
3．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是( )
A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln (x－)
解析：∵g(x)＝4x＋2x－2在R上连续，且g()＝＋－2＝－＜0，g()＝2＋1－2＝1＞0.
设g(x)＝4x＋2x－2的零点为x0，则＜x0＜，
故0＜x0－＜，∴＜.
又f(x)＝4x－1的零点为x＝；
f(x)＝(x－1)2的零点为x＝1；
f(x)＝ex－1的零点为x＝0；
f(x)＝ln (x－)的零点为x＝.
答案：A
[例2] 已知二次函数f(x)＝x2－(m－1)x＋2，在[0，1]上有且只有一个零点，求实数m的取值范围．
[解] (1)当方程x2－(m－1)x＋2＝0，在[0，1]上有两个相等的实根时，
有
解得m＝1±2，1≤m≤3，
∴此种情况不存在．
(2)当方程x2－(m－1)x＋2＝0有两个不相等实根时，
有且只有一根在[0，1]上，有
即∴m≥4.
综上所述，实数m的取值范围m≥4.
[借题发挥]
(1)解决此类问题，通常是结合图像，从判别式、根与系数的关系、对称轴、函数值、图像的开口方向等方面去考虑使结论成立的条件．
(2)函数问题与方程问题可以相互转化，结合使用数形结合的方法解决问题．
4．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋1(a＜b)，且m，n是方程f(x)＝0的两个根(m＜n)，则实数a，b，m，n的大小关系可能是________．
解析：由函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋1，我们可以看到a，b为g(x)＝(x－a)(x－b)的零点，且f(a)＝f(b)＝1，f(m)＝f(n)＝0，如图，则应有a＜m＜n＜b.
答案：a＜m＜n＜b
5．已知函数f(x)＝x2－x＋m的两个零点都在区间(0，2)内，求实数m的取值范围．
解：函数f(x)＝x2－x＋m的对称轴为直线x＝.
若使两个零点都在区间(0，2)内，
需满足即
解得0＜m＜，故m的取值范围为(0，).
[例3] 某租赁公司出租同一型号的设备40套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，每套月租金每增加10元，就少租出1套设备，而未租出的设备每月需支付各种费用每套20元．设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)，月收益为y元(总收益＝设备租金收入－未租出设备费用)．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当x为何值时，月收益最大？最大值是多少？
[解] (1)设每套设备实际月租金为x元(x≥270元)时，未租出的设备为套，
则未租出的设备费用为(×20)元；
租出的设备为(40－)套，
则月租金总额为[(40－)x]元．
所以y＝(40－)x－×20
＝－0.1x2＋65x＋540；
(2)由(1)得y＝－0.1x2＋65x＋540＝－0.1(x－325)2＋11 102.5.则当x＝325时，y取最大值为11 102.5，
即当每套设备实际月租金为325元时，月收益达到最大值11 102.5元．
[借题发挥]
解决这类问题需要根据题中量与量之间的关系，选取恰当的变量作为自变量，利用已知的等量关系或隐含的等量关系建立函数模型，然后利用函数知识求解．
6．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的增长数与天数的记录如下表.
天数 1 2 3 4 5 6
病毒细胞个数 1 2 4 8 16 32
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.
(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 2≈0.3010)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N＋)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N＋)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27.6，即第一次最迟应在第27天注射该种药物；
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%，再经过x天后小白鼠体内病毒细胞个数为226×2%×2x.
由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6.2，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物．
7．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图①、图②、图③所示，其图①中的折线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系，图②中的拋物线表示国外市场的日销售量与上市时间的关系，图③中的折线表示的是每件产品的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)．
(1)分别写出国内市场的日销售量f(t)，国外市场的日销售量g(t)，每件产品的销售利润q(t)与第一批产品的上市时间t的函数关系式；
(2)第一批产品上市后，问哪一天这家公司的日销售利润最大？最大是多少万元？
解：(1)f(t)＝
g(t)＝－t2＋6t(0≤t≤40)．
q(t)＝t∈N；
(2)日销售利润h(t)＝q(t)·[f(t)＋g(t)]
＝
①当0≤t≤20时，易知h(t)在区间[0，20]上递增．
∴h(t)max＝h(20)＝6 000.
②当20＜t≤30时，h(t)＝－9(t－)2＋6 400.
∴当t＝27时，h(t)max＝h(27)＝6 399.
③当30＜t≤40时，h(t)＜h(30)＝6 300.
综上h(t)max＝h(27)＝6 399.
所以第27天这家公司的日销售利润最大，
最大为6 399万元．
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在区间(0，1)上有零点的一个函数为( )
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x3－2x＋3
C．f(x)＝x3＋2x－2 D．f(x)＝x2＋2x－3
解析：∵f(0)·f(1)＜0验证知只有C符合此条件．
答案：C
2．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1，0)
C．(0，1) D．(1，2)
解析：逐个验证知：f(－1)＝－3＝－＜0，
f(0)＝20＋0＝1＞0，∴f(－1)·f(0)＜0.
答案：B
3．方程logx＝2x－1的实数根的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．不确定
解析：令y1＝logx，y2＝2x－1，作出图像，由图像可知，两函数的图像只有一个公共点，所以方程logx＝2x－1有一个实数根．
答案：B
4．用二分法求函数f(x)＝x3－()x－2的零点时，初始区间大致可选为( )
A．(0，2) B．(1，2)
C．(2，3) D．(2，4)
解析：∵f(0)＝－4＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，f(3)＞0，f(4)＞0，则有f(1)·f(2)＜0.
答案：B
5．某水果市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现金3 000元到市场采购苹果，并以批发价买进，如果购买的苹果为x千克，小王付款后剩余现金y元，则y与x之间的函数关系为( )
A．y＝3 000－2.5x(100≤x≤1 200)
B．y＝3 000－2.5x(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－100x(100＜x＜1 200)
D．y＝3 000－100x(100≤x≤1 200)
解析：y＝3000－2.5x，由得100≤x≤1 200.
答案：A
6．函数y＝()x与函数y＝lg x的图像的交点的横坐标(精确到0.1)约是( )
A．1.3 B．1.4
C．1.5 D．1.6
解析：设f(x)＝lg x－()x，经计算f(1)＝－＜0，f(2)＝lg 2－＞0，所以方程lg x－()x＝0在[1，2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知D符合要求．
答案：D
7．若函数f(x)＝3ax＋1－2a在(－1，1)上存在零点，则a的取值范围是( )
A．－1＜a＜ B．a＞
C．a＜－1 D．a＜－1或a＞
解析：由题意知：f(－1)·f(1)＜0，而(1－5a)(a＋1)＜0
∴或得a＜－1或a＞.
答案：D
8．若函数f(x)是偶函数，定义域为{x∈R|x≠0}且f(x)在(0，＋∞)上是减函数，f(2)＝0，则函数f(x)的零点有( )
A．唯一一个 B．两个
C．至少两个 D．无法判断
解析：由已知条件，得f(－2)＝0，画出函数f(x)的大致图像如下图所示，可知f(x)有两个零点．
答案：B
9．若x0是方程()x＝x的解，则x0属于区间( )
A．(，1) B．(，)
C．(，) D．(0，)
解析：令f(x)＝()x－x，f(1)＝－1＝－＜0，
f()＝()－()＜0，f()＝()－()＞0，f()＝()－()＝()－()＜0，
∴f(x)在(，)内有零点．
答案：C
10．一个体户有一批货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元．这位个体户为获利最大，则这批货( )
A．月初售出好
B．月末售出好
C．月初或月末售出一样
D．由成本费的大小确定
解析：设这批货物成本费为x元，若月初售出时，到月末共获利为100＋(x＋100)×2.4%；
若月末售出时，可获利为120－5＝115(元)；
比较100＋(x＋100)×2.4%－115＝2.4%×(x－525)．
∴当成本费大于525元时，月初售出好；当成本费小于525元时，月末售出好；当成本费等于525元时，月初或月末售出均可．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．函数y＝x2－ax－b的零点为2和3，则函数f(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：由2＋3＝a，2×3＝－b得a＝5，b＝－6，
∴f(x)＝－6x2－5x－1，
令f(x)＝0，得6x2＋5x＋1＝0，x1＝－，x2＝－.
答案：－、－
12．用二分法求方程x3＋4＝6x2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
解析：设f(x)＝x3－6x2＋4，显然f(0)＞0，f(1)＜0，
又f()＝()3－6x()2＋4＞0，
∴下一步可断定方程的根所在区间为(，1)．
答案：(，1)
13．已知关于x的方程x2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0的两实根一个比3小，一个比3大，则m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2＋2(m＋3)x＋2m＋14，则所求转化为f(x)与x轴的交点分别在点(3，0)的两侧时m的取值范围．借助f(x)的图像可知，只需f(3)＜0即可，
由f(3)＝9＋6(m＋3)＋2m＋14＜0，
解得m的取值范围是m＜－.
答案：m＜－
14.某批发商批发某种商品的单价P(单位：元/千克)与数量Q(单位：千克)之间的函数关系如图所示，现此零售商仅有现金2 700元，他最多可购买这种商品________千克．
解析：由题意可得批发这种商品所需费用y(元)与数量Q(千克)之间的函数关系式为y＝
从而易得30×50＜2 700＜30×100，
故该零售商购买这种商品的数量应在50与100之间，故所购商品的数量最多为＝90千克．
答案：90
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)画出函数f(x)＝x2－x－1的图像，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0，2]内根的情况．
解：图像如图所示．
因为f(0)＝－1＜0，
f(2)＝1＞0，
所以方程x2－x－1＝0在(0，2)内有根x0；取(0，2)的中点1，因为f(1)＝－1＜0，所以f(1)·f(2)＜0，根x0在区间(1，2)内；再取(1，2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25＜0，所以f(1.5)·f(2)＜0，根x0在区间(1.5，2)内；取(1.5，2)的中点1.75，f(1.75)＝0.3125＞0，所以f(1.5)·f(1.75)＜0，根在区间(1.5，1.75)内，这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．
16．(本小题满分12分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点．
(1)求m的取值范围；
(2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值．
解：(1)当m＋6＝0即m＝－6时，函数为y＝－14x－5显然成立．
当m＋6≠0时，
由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，
得m≤－，
∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．
综上所述，m≤－；
(2)设x1，x2是函数的两个零点，则有
x1＋x2＝－，x1x2＝
∵＋＝＝－4，
∴－＝－4.
解得m＝－3，且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ＞0，符合题意．
∴m的值为－3.
17．(本小题满分12分)定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2 012x＋log2 012x，试确定f(x)在R上的零点个数．
解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0
∵log2 012＝－2，2 012≈1，
log2 012＝－1，2 012＞1，
∴f()＜0，f()＞0
∴f(x)＝2 012x＋log2 012x在区间(，)内存在零点．
易知f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，
∴f(x)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，
根据奇函数的对称性可知，
函数f(x)在(－∞，0)内有且只有一个零点．
综上可知函数在R上的零点个数为3.
18．(本小题满分14分)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．
(1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
解：(1)设投资债券收益与投资额的函数关系为f(x)＝k1x，投资股票的收益与投资额的函数关系为g(x)＝k2，
由图像得f(1)＝＝k1，g(1)＝k2＝，
f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0)；
(2)设投资债券类产品x万元，
则股票类投资为20－x万元．
y＝f(x)＋g(20－x)＝＋(0≤x≤20)．
令t＝，
则y＝＋t＝－(t2－4t－20)
＝－(t－2)2＋3.
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．