《同步课堂》2013-2014学年高中数学北师大版必修一模块综合检测（含解析）

模块综合检测
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，5}，则A∩(UB)＝(　　)
A．{1，3}　　　　　　　　 B．{2}
C．{2，3} D．{3}
解析：UB＝{1，3，4}，∴A∩(UB)＝{1，3}，故选A.
答案：A
2．函数f(x)＝的定义域是(　　)
A．[4，＋∞) B．(10，＋∞)
C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞)
解析：要使函数有意义须即
解得：4≤x＜10或x＞10.
答案：D
3．已知幂函数f(x)＝xα的部分对应值如下表，则f(x)的奇偶性是
x 1 4
f(x) 1 2
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数
解析：由2＝4α知α＝，∴f(x)＝x为非奇非偶函数．
答案：C
4．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝{1，2}，则A∩B一定是(　　)
A． B．或{1}
C．{1} D．{}
解析：令x2＝1，得x＝±1；令x2＝2，得x＝±.由映射的定义知，集合A可能含元素1，可能不含元素1，若1∈A，则A∩B＝{1}；若1A，则A∩B＝，
∴A∩B＝{1}或.
答案：B
5．下列大小关系正确的是(　　)
A．0.43＜30.4＜log40.3 B．0.43＜log40.3＜30.4
C．log40.3＜0.43＜30.4 D．log40.3＜30.4＜0.43
解析：∵log40.3＜log41＝0，0＜0.43＜0.40＝1，
30．4＞30＝1，∴log40. 3＜0.43＜30.4.
答案：C
6．已知f(x)＝
则f(f(2))的值是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：∵f(2)＝log3(22－1)＝log33＝1，
∴f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2.
答案：C
7．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，4)
解析：令y1＝ln x，y2＝4－x，在同一坐标系中画出它们的图像如图所示．
由图像观察可知x0∈(2，3)．
答案：C
8．李明放学回家的路上，开始和同学边走边讨论问题，走得比较慢；然后他们索性停下来将问题彻底解决；最后他快速地回到了家．下列图像中与这一过程吻合得最好的是(　　)
解析：根据实际情况较吻合的应为D.
答案：D
9．若一次函数f(x)＝ax＋b有一个零点x＝2，则函数g(x)＝bx2－ax的图像可能是(　　)
解析：由题意知2a＋b＝0，∴a＝－，
∴g(x)＝bx2＋x＝b(x2＋x)＝b(x＋)2－，
令g(x)＝0，得x＝0或x＝－0.5，故选C.
答案：C
10．若函数y＝f(x)定义域为R，且满足f(－x)＝－f(x)，当a，b∈(－∞，0]时总有＞0(a≠b)，若f(m＋1)＞f(2)，则实数m的取值范围是(　　)
A．－3≤m≤1 B．m＞1
C．－3＜m＜1 D．m＜－3或m＞1
解析：∵当a，b∈(－∞，0]时总有＞0(a≠b)，∴当a，b∈(－∞，0]，a－b与f(a)－f(b)同号，∴f(x)在(－∞，0]上单调递增，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，
∴f(x)在R上为增函数，
∴由f(m＋1)＞f(2)得，m＋1＞2，
∴m＞1.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)
11．计算log2＋log23·log3＝________．
解析：原式＝log ()3＋·＝3－1＝2.
答案：2
12设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________．
解析：f(－2)＝f(2)＝22－3＝1.
答案：1
13．设函数f(x)＝若f(x0)＞2，则x0的取值范围是________．
解析：当x0≤0时，f(x0)＝()x0＞2，得x0＜－1；
当x0＞0时，f(x0)＝x0＞2，得x0＞4.
∴x0的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)
14．下列叙述：
①存在m∈R，使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数；
②函数y＝在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数；
③函数y＝log2x＋x2－2在(1，2)内只有一个零点；
④定义域内任意两个变量x1，x2，都有＞0，则f(x)在定义域内是增函数．
其中正确的结论序号是________．
解析：①使f(x)＝(m－1)·xm2－4m＋3是幂函数，则
m－1＝1，得m＝2，此时f(x)＝x－1，故①正确；
②减区间应为(－∞，－1)和(－1，＋∞)不能合并，故②错误；
③∵f(1)＝log21＋1－2＝－1＜0，f(2)＝lg 22＋22－2＝3＞0
∴f(1) f(2)＜0，且f(x)在(1，2)单调递增．故③正确；
④由已知得x1－x2与f(x1)－f(x2)同号，∴f(x)在定义域上为增函数．
综上知①③④正确．
答案：①③④
三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知A＝{x|x2＋2x－8＝0}，B＝{x|log2(x2－5x＋8)＝1}，C＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}．
若A∩C＝，B∩C≠，求a的值．
解：A＝{2，－4}，B＝{2，3}，
由A∩C＝，知2C，－4C，
又由B∩C≠，知3∈C，
∴32－3a＋a2－19＝0，解得a＝－2或a＝5
当a＝－2时，C＝{3，－5}，满足A∩C＝，
当a＝5时，C＝{3，2}，A∩C＝{2}≠，舍去，
∴a＝－2.
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)当函数f(x)的图像过点(－1，0)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)若F(x)＝当mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且函数f(x)为偶函数时，试判断F(m)＋F(n)能否大于0
解：(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以b2－4(b－1)＝0.
即b＝2，a＝1.
所以f(x)＝(x＋1)2；
(2)因为g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
＝x2－(k－2)x＋1
＝(x－)2＋1－.
所以当≥2或≤－2时，
即k≥6或k≤－2时，g(x)是单调函数；
(3)f(x)为偶函数，所以b＝0.
所以f(x)＝ax2＋1.
所以F(x)＝
因为mn＜0，不妨设m＞0，则n＜0.
又因为m＋n＞0，所以m＞－n＞0.
所以|m|＞|－n|.
此时F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋1－an2－1＝a(m2－n2)＞0.
所以F(m)＋F(n)＞0.
17．(本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知AB＝a(a＞2)，BC＝2，且AE＝AH＝CF＝CG，设AE＝x，绿地面积为y.
(1)写出y关于x的函数关系式，指出这个函数的定义域；
(2)当AE为何值时，绿地面积最大？
解：(1)S△AEH＝S△CFG＝x2，
S△BEF＝S△DGH
＝(a－x)(2－x)．
∴y＝S△ABCD－2S△AEH－2S△BEF
＝2a－x2－(a－x)(2－x)
＝－2x2＋(a＋2)x.
由得0＜x≤2，
∴y＝－2x2＋(a＋2)x，0＜x≤2；
(2)当＜2，即2＜a＜6时，
则x＝时，y取最大值；
当≥2，即a≥6时，y＝－2x2＋(a＋2)x，在(0，2]上是增函数，则x＝2时，y取最大值2a－4
综上所述：当2＜a＜6时，AE＝时，绿地面积取最大值；
当a≥6时 AE＝2时，绿地面积取最大值2a－4.
18．(本小题满分14分)已知函数f(x)定义域为[－1，1]，若对于任意的x，y∈[－1，1]，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且x＞0时，有f(x)＞0.
(1)证明：f(x)为奇函数；
(2)证明：f(x)在[－1，1]上是增加的；
(3)设f(1)＝1，若f(x)＜m－2am＋2，对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)令x＝y＝0，∴f(0)＝0.
令y＝－x，f(x)＋f(－x)＝0.
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数；
(2)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
令－1≤x1＜x2≤1，
则f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0
∴f(x)在[－1， 1]上是增加的；
(3)f(x)在[－1，1]上是增加的，f(x)max＝f(1)＝1，使f(x)＜m－2am＋2对所有x∈[－1，1]恒成立，只要m－2am＋2＞1，即m－2am＋1＞0.
令g(a)＝m－2am＋1＝－2am＋m＋1，
要使g(a)＞0时a∈[－1，1]恒成立，则
即－∴实数m的取值范围是(－，1)．