[读教材·填要点]
1．幂函数的定义
如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．
[提醒] 在中学时段只要求关注α＝－1，，1，2，3，共5种幂函数的性质．
2．函数的奇偶性
(1)奇函数：
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数，在奇函数f(x)中，f(x)和f(－x)的绝对值相等，符号相反，即f(－x)＝－f(x)；反之，满足f(－x)＝－f(x)的函数y＝f(x)一定是奇函数．
(2)偶函数：
一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数，在偶函数f(x)中，f(x)和f(－x)的值相等，即f(－x)＝f(x)；反之，满足f(－x)＝f(x)的函数y＝f(x)一定是偶函数．
(3)奇偶性：
当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性．
[小问题·大思维]
1．具有奇偶性的函数其定义域有何特点？
提示：具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称，由奇函数的定义可知f(－x)＝－f(x)，故变量x，－x均在定义域中，同理，对于偶函数，由f(－x)＝f(x)可知，－x，x也均在定义域内．
2．既是奇函数，又是偶函数的函数不存在，对吗？
提示：不对．如函数y＝0(x∈R)，其图像既关于原点对称，又关于y轴对称，所以函数y＝0(x∈R)既是奇函数又是偶函数．
3．定义在R上的奇函数f(x)，f(0)的值是多少？
提示：f(0)＝0.
[研一题]
[例1] 已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时为减函数．
(1)求函数y＝f(x)的解析式；
(2)用描点法作出f(x)的图像；
(3)给出y＝f(x)的单调区间及其值域，并判断其奇偶性．
[自主解答] (1)∵f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，
∴m2－m－1＝1，解之得m＝－1或m＝2.
当m＝－1时，f(x)＝x0＝1(x≠0)，易知不符合题意．当m＝2时．f(x)＝x－3(x≠0)，易知在(0，＋∞)上为减函数．∴f(x)＝x－3(x≠0)；
(2)列表：
x … －2 －1 － 0 1 2 …
y … － －1 －8 不存在 8 1 …
作图：
(3)由(2)可知f(x)的单调减区间为(0，＋∞)及(－∞，0)，
f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x)为奇函数．
[悟一法]
(1)幂函数y＝xα要满足三个特征：
①幂xα的系数为1；
②底数只能是自变量x，指数是常数；
③项数只有一项．
只有满足这三个特征，才是幂函数．
(2)幂函数的图像可用描点法得到，其性质可由图像得到．
[通一类]
1．(1)若函数f(x)既是幂函数又是反比例函数，则f(x)＝ ________．
(2)已知幂函数y＝f(x)的图像过点(2，4)，则f(－1)＝________．
解析：(1)∵f(x)为反比例函数，
∴设f(x)＝＝k·x－1(k≠0)．
又∵f(x)为幂函数，
∴k＝1，∴f(x)＝x－1.
(2)设y＝xα，把点(2，4)代入得4＝2α，∴α＝2，
∴解析式为y＝x2，∴f(－1)＝(－1)2＝1.
答案：(1)x－1 (2)1
[研一题]
[例2] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝(x－1)·；
(3)f(x)＝＋；
(4)f(x)＝
[自主解答] (1)∵函数的定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－x3－x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数；
(2)∵定义域为{x|x＞1或x≤－1}，定义域不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数；
(3)∵定义域为{－2，2}，任取x∈{－2，2}，
则－x∈{－2，2}．f(－x)＝0＝f(x)＝－f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数；
(4)法一：可知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
①设x>0，则－x<0，
f(－x)＝－(－x)2－1＝－(x2＋1)＝－f(x)，
②设x<0，则－x>0，
f(－x)＝(－x)2＋1
＝x2＋1
＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
法二：作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，f(x)的图像关于原点对称，
∴f(x)为奇函数．
[悟一法]
判断函数的奇偶性常用的方法：
(1)定义法：若定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若关于原点对称，则进一步判断f(－x)与f(x)的关系，注意当解析式中含有参数时，要对参数进行分类讨论．
(2)图像法：若函数图像关于原点对称，则此函数为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则此函数为偶函数．
[通一类]
2．判断下列函数是奇函数还是偶函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝x3－2x；
(3)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
(4)f(x)＝
解：(1)函数的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴f(x)＝是偶函数；
(2)定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)3－2(－x)
＝－x3＋2x＝－(x3－2x)＝－f(x)，
∴函数f(x)是奇函数；
(3)函数的定义域为(－∞，＋∞)，
∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，
∴f(x)＝|x＋1|－|x－1|是奇函数；
(4)法一：可知函数f(x)的定义域关于原点对称．
当x<0时，－x>0，
f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)－3＝－x2－2x－3＝－f(x)；
当x>0时，－x<0，
f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＋3＝x2－2x＋3
＝－(－x2＋2x－3)＝－f(x)，
综上可知，f(x)为奇函数．
法二：f(x)＝
作出f(x)的图像，由图像知，函数f(x)是奇函数．
[研一题]
[例3] 已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x，
(1)求f(－2)；
(2)求出函数f(x)在R上的解析式；
(3)在坐标系中画出函数f(x)的图像．
[自主解答] 由于函数是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，因此对于任意的x都有f(－x)＝－f(x)，
而f(x)＝－f(－x)．
(1)f(－2)＝－f(2);
而f(2)＝22－2×2＝0，∴f(－2)＝0；
(2)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；
②当x＜0时，－x＞0，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x.
综上：f(x)＝
(3)图像如下图：
[悟一法]
(1)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的解析式，利用奇偶性，可求另一关于原点对称的区间上的函数值及解析式．
(2)已知函数的奇偶性和其在某一区间上的图像、单调性，利用奇偶性可知另一关于原点对称的区间上的图像、单调性．
(3)已知函数的奇偶性，利用f(－x)与f(x)的恒等关系，可求解析式中字母的值．
[通一类]
3．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1，2a]，求a，b的值．
解：定义域应关于原点对称，故有a－1＝－2a，得a＝.
又对于所给的函数f(x)，要使其为偶函数，
需f(－x)＝f(x)恒成立，
即x2－bx＋1＋b＝x2＋bx＋1＋b，得b＝0.(或者二次函数f(x)的图像的对称轴x＝－＝0，得b＝0).
设定义在[－2，2]上的奇函数f(x)在区间[0，2]上是减少的，若f(m)＋f(m－1)＞0，求实数m的取值范围．
[错解] 由f(m)＋f(m－1)＞0，
得f(m)＞－f(m－1)，即f(1－m)＜f(m)．
又∵f(x)在[0，2]上是减少的，且f(x)在[－2，2]上是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是减少的．
∴1－m＞m，解得m＜.
[错因] 导致错误的原因是忽略了函数自身定义域对参数的限制．
[正解] 由f(m)＋f(m－1)＞0，
得f(m)＞－f(m－1)，即f(1－m)＜f(m)．
又∵f(x)在[0，2]上是减少的，且f(x)在[－2，2]上是奇函数，∴f(x)在[－2，2]上是减少的．
∴即
解得－1≤m＜.即实数m的取值范围是[－1，)．
1．下列函数中是幂函数的是( )
①y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；
②y＝x＋x2；
③y＝x9；
④y＝(x－1)3.
A．①③④ B．③
C．③④ D．全不是
解析：由幂函数的定义知③为幂函数．
答案：B
2．f(x)＝x3＋的图像关于( )
A．原点对称 B．y轴对称
C．y＝x对称 D．y＝－x对称
解析：∵函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，
f(－x)＝(－x)3＋＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数．
∴其图像关于原点对称．
答案：A
3．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( )
A．y＝x＋1 B．y＝－x3
C．y＝ D．y＝x|x|
解析：由函数的奇偶性排除A，由函数的单调性排除B、C，由y＝x|x|的图象可知当x>0时此函数为增函数，又该函数为奇函数．
答案：D
4．已知对于任意实数x，函数f(－x)＝－f(x)，若方程f(x)＝0有2 009个实数解，则这2 009个实数解之和为________．
解析：由奇函数的图像的对称性可知，这些解之和为0.
答案：0
5．函数y＝f(x)是偶函数，且在(－∞，0]上为增函数，则f(－)与f(1)的大小关系为__________．
解析：∵－1＜－，且函数y＝f(x)在(－∞，0]上为增函数，
∴f(－1)＜f(－)．
又∵y＝f(x)是偶函数，
∴f(－1)＝f(1)．∴f(1)＜f(－)．
答案：f(1)＜f(－)
6．若f(x)是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f(x)＝x(1－x)，求函数f(x)的解析式．
解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)．
当x＞0时，－x＜0，
∴f(x)＝－f(－x)＝x(1＋x)．
当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，
即f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.
∴函数f(x)的解析式为f(x)＝
一、选择题
1．下列幂函数中为偶函数的是( )
A．y＝x－1 B．y＝x
C．y＝x3 D．y＝x2
解析：由偶函数的性质f(－x)＝f(x)知，D正确．
答案：D
2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数
解析：由f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)为偶函数得b＝0，
∴g(x)＝ax3＋cx，(a≠0)，其定义域为R，
且g(－x)＝a(－x)3＋c(－x)＝－g(x)，
∴g(x)为奇函数．
答案：A
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)＜f()的x的取值范围是( )
A．(，) B．[，)
C．(，) D．[，)
解析：作出示意图可知：
f(2x－1)＜f() －＜2x－1＜，即＜x＜.
答案：A
4．已知定义域为R的函数f(x)在(8，＋∞)上为减函数，且函数y＝f(x＋8)为偶函数，则( )
A．f(6)＞f(7) B．f(6)＞f(9)
C．f(7)＞f(9) D．f(7)＞f(10)
解析：y＝f(x＋8)为偶函数，∴f(－x＋8)＝f(x＋8)，
∴y＝f(x)的对称轴为x＝8.∵f(x)在(8，＋∞)为减函数，∴由对称性知f(x)在(－∞，8)上为增函数，故由单调性及对称轴结合图像知f(7)＞f(10)．
答案：D
二、填空题
5．若点(2，)在幂函数y＝f(x)的图像上，则f()＝____________．
解析：设f(x)＝xα(α为常数)，则2α＝＝2－1，
∴α＝－1，∴f(x)＝x－1，∴f()＝()－1＝4.
答案：4
6．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，则f(x)＝__________，g(x)＝__________．
解析：∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2， ①
∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.
又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，
∴f(x)－g(x)＝x2－x－2. ②
由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.
答案：x2－2 x
7．如果y＝是奇函数，则f(x)＝________．
解析：设g(x)＝当x<0时，－x>0，
则 g(－x)＝2(－x)－3＝－(2x＋3)．
∵g(x)是奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，
∴当x<0时，g(x)＝2x＋3，即f(x)＝2x＋3.
答案：2x＋3
8．已知函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域为[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图像如图所示，则不等式＜0的解集是________．
解析：作出函数y＝f(x)与y＝g(x)在[－π，π]上的图像．
由图像知，不等式＜0的解集为(－，0)∪(，π)．
答案：(－，0)∪(，π)
三、解答题
9．研究函数y＝x－2(即y＝)的奇偶性、单调性，并作出函数的图像．
解：∵y＝x－2＝，
∴函数的定义域为{x|x≠0}．
取任意的x(x≠0)，则－x≠0.
又∵f(－x)＝＝＝f(x)，
∴y＝x－2在定义域内是偶函数．
当任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2时，
f(x1)－f(x2)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x)
＝eq \f(x－x,xx)
＝eq \f(（x1＋x2）（x2－x1）,xx)，
∵0＜x1＜x2，
∴xx＞0，x1＋x2＞0，x2－x1＞0.
∴f(x1)－f(x2)＞0.
∴f(x1)＞f(x2)，
即f(x)＝x－2在(0，＋∞)上为减函数．
由偶函数的性质知f(x)＝x－2在(－∞，0)上为增函数．
通过描点作图可得y＝x－2(x≠0)的图像如上图所示．
10．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.
(1)求m;
(2)判断f(x)的奇偶性；
(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数还是减函数？并证明．
解：(1)因为f(1)＝2，所以1＋m＝2，即m＝1；
(2)由(1)知f(x)＝x＋，显然函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，
又f(－x)＝(－x)＋＝－x－＝－(x＋)＝－f(x)，
所以，函数f(x)＝x＋是奇函数．
(3)函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，设x1、x2是(1，＋∞)上的任意两个实数，且x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝x1＋－(x2＋)
＝x1－x2＋(－)
＝x1－x2－
＝(x1－x2)，
当1＜x1＜x2时，x1x2＞1，x1x2－1＞0，x1－x2<0，
从而f(x1)－f(x2)＜0，
即f(x1)＜f(x2)．
所以函数f(x)＝x＋在(1，＋∞)上为增函数．4．1 二次函数的图像
[读教材·填要点]
二次函数图像间的变换
(1)y＝x2与y＝ax2(a≠0)图像间的变换：
二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像各点的纵坐标变为原来的|a|倍得到．
(2)y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)图像间的变换：
函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由函数y＝ax2(a≠0)的图像变换得到．其中a决定了二次函数图像的开口大小及方向；h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．
(3)y＝ax2与y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像间的变换．
一般地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，通过配方可以得到它的恒等形式y＝a(x＋h)2＋k，从而知道，由y＝ax2的图像如何平移得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．
[小问题·大思维]
1．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像的顶点坐标与对称轴分别是什么？
提示：顶点坐标为(－h，k)，对称轴是x＝－h.
2．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的参数a对其图像的开口大小与方向有什么影响？
提示：当a>0时，图像开口向上，a值越大，开口越小；
当a<0时，图像开口向下，a值越大，开口越大．
3．二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，h，k对函数图像的变换有何影响？
提示：h决定了二次函数图像的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”．
[研一题]
[例1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像．
(1)y＝x2; (2)y＝x2－2； (3)y＝2x2－4x.
并分析如何把y＝x2的图像变换成y＝2x2－4x的图像．
[自主解答] (1)列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
(2)描点、连线即得相应函数的图像，如图所示．
由图像可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．
法一：先把y＝x2的图像向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图像，然后把y＝(x－1)2的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到y＝2(x－1)2的图像，最后把y＝2(x－1)2的图像向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图像．
法二：先把y＝x2的图像向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图像，然后再把y＝x2－1的图像向右平移一个单位长度得到y＝(x－1)2－1的图像，最后把y＝(x－1)2－1的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2(x－1)2－2，即y＝2x2－4x的图像．
本例中如何把y＝2x2－4x的图像变换成y＝x2的图像？
解：∵y＝2x2－4x＝2(x－1)2－2，
故可先把y＝2x2－4x的图像向上平移2个单位长度得到y＝2(x－1)2的图像，然后再把y＝2(x－1)2的图像向左平移1个单位长度，得到y＝2x2的图像，最后把y＝2x2的图像纵坐标变为原来的，便可得到y＝x2的图像．
[悟一法]
二次函数图像的作法
(1)描点法：
在利用描点法时，通过配方直接选出关键点，即顶点．再依据对称性选点，可减少选点的盲目性．二次函数图像的开口方向、对称轴与坐标轴的交点在作图时起关键作用，作图时应关注这些几何要素．
(2)图像变换法：
所有二次函数的图像均可以由函数f(x)＝x2的图像经过变换得到．变换前，先将二次函数的解析式化为顶点式后，再确定变换的步骤．
[通一类]
1．画出y＝x2－6x＋21的图像，并说明由y＝x2的图像如何变换得到y＝x2－6x＋21的图像？
解：y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，
顶点坐标为(6，3)，对称轴为x＝6.
利用二次函数的对称性列表：
x 4 5 6 7 8
y 5 3.5 3 3.5 5
描点连线得到函数y＝x2－6x＋21的图像如右图．
平移过程如下：先把函数y＝x2图像上的所有点的纵坐标缩小为原来的1/2倍，得到函数y＝x2的图像，再把y＝x2的图像向右平移6个单位，得到函数y＝(x－6)2的图像，最后把y＝(x－6)2的图像上的所有点向上平移3个单位，即得到函数y＝x2－6x＋21的图像．
[研一题]
[例2] (1)已知一个二次函数y＝f(x)，f(0)＝3，又知当x＝－3和x＝－5时，函数的值为零，求这个二次函数的解析式；
(2)已知二次函数f(x)图像的对称轴是直线x＝－1，并且经过点(1，13)和(2，28)，求二次函数f(x)的解析式．
[自主解答] (1)由题意可知－3和－5为二次函数图像与x轴交点的横坐标，
∴设y＝f(x)＝a(x＋3)(x＋5)．
又∵f(0)＝3，∴f(0)＝15a＝3，即a＝.
∴f(x)＝(x＋3)(x＋5)＝(x2＋8x＋15)
＝x2＋x＋3；
(2)设f(x)＝a(x＋1)2＋k，
由题意得f(1)＝13，f(2)＝28，
∴有解得
故f(x)＝3(x＋1)2＋1＝3x2＋6x＋4.
[悟一法]
求二次函数解析式一般利用待定系数法，但应根据已知条件的特点，灵活选用解析式的形式，一般规律：
(1)已知抛物线上任意三点时，通常设函数解析式为一般式，然后列出三元一次方程组求解．
(2)当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设函数解析式为顶点式，y＝a(x－h)2＋k(a，h，k为常数，a≠0)．
(3)当已知抛物线与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数解析式为两根式，y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数，a≠0)．
[通一类]
2．已知二次函数y＝f(x)分别满足下列条件，
(1)图像过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点；
(2)图像顶点是(－2，3)，且过点(－1，5)．
求对应函数的解析式．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)
由已知函数的图像过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点，
得 解得
∴函数的解析式为f(x)＝－2x2＋3x＋1；
(2)∵抛物线的顶点为(－2，3)，
∴可设f(x)＝a(x＋2)2＋3(a≠0)．
∵图像过点(－1，5)，∴5＝a(－1＋2)2＋3.∴a＝2.
∴函数的解析式为f(x)＝2(x＋2)2＋3，
即f(x)＝2x2＋8x＋11.
若方程x2－2x－3＝a有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围．
[巧思] 令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a将方程有两个不相等的实数解转化为两个函数的图像有两个不同的交点．
[妙解] 令f(x)＝x2－2x－3，g(x)＝a.
作出f(x)的图像如图所示．
∵f(x)与g(x)图像的交点个数即为方程x2－2x－3＝a解的个数．
由图可知①当a＜－4时，f(x)与g(x)无交点，即方程x2－2x－3＝a无实根；②当a＝－4时，f(x)与g(x)有一个公共点，即方程x2－2x－3＝a有一个实根；③当a＞－4时，f(x)与g(x)有两个公共点，即方程x2－2x－3＝a有两个实根．
综上所述，当方程x2－2x－3＝a有两个实数解时，实数a的取值范围是(－4，＋∞)．
1．二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )
A．y＝x2＋2 B．y＝2x2
C．y＝x2 D．y＝x2－2
解析：将二次函数y＝x2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像对应的解析式为y＝2x2.
答案：B
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则点M(a，bc)在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D. 第四象限
解析：由图可知a＞0，－＞0，c＜0，∴bc＞0.
答案：A
3．已知抛物线与x轴交于点(－1，0)，(1，0)，并且与y轴交于点(0，1)，则抛物线的解析式为( )
A. y＝－x2＋1 B．y＝x2＋1
C．y＝－x2－1 D．y＝x2－1
解析：由题意抛物线对称轴是y轴且开口向下，顶点为(0，1)，故抛物线为y＝－x2＋1.
答案：A
4．将函数y＝2(x＋1)2－2向______平移______个单位，再向______平移______个单位可得到函数y＝2x2的图像．
解析：通过y＝2x2→y＝2(x＋1)2－2反向分析，也可借助顶点分析．
答案：右 1 上 2
5．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1，0)、(3，0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为________________．
解析：由题意，得y＝－2(x＋1)(x－3)＝－2x2＋4x＋6.
答案：y＝－2x2＋4x＋6
6．对于二次函数y＝－x2＋4x＋3，
(1)指出图像的开口方向、对称轴、顶点坐标．
(2)说明其图像是由y＝－x2的图像经过怎样的平移得来．
解析：∵y＝－(x－2)2＋7，
∴(1)开口向下；对称轴为x＝2；顶点坐标为(2，7)；
(2)先将y＝－x2的图像向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到y＝－x2＋4x＋3的图像．
一、选择题
1．如何平移抛物线y＝2x2可得到抛物线y＝2(x－4)2－1( )
A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位
B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位
C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位
D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位
解析：要得到y＝2(x－4)2－1的图像，只需将y＝2x2的图像向右平移4个单位，再向下平移1个单位．
答案：D
2．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )
解析：由A、C、D知，f(0)＝c＜0，∵abc＞0，∴ab＜0，
∴对称轴x＝－＞0，知A、C错；D符合要求，由B知f(0)＝c＞0，∴ab＞0，∴x＝－＜0，B错误．
答案：D
3．(2012·山东高考)设函数f(x)＝，g(x)＝－x2＋bx，若y＝f(x)的图像与y＝g(x)的图像有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( )
A．x1＋x2>0，y1＋y2>0
B．x1＋x2>0，y1＋y2<0
C．x1＋x2<0，y1＋y2>0
D．x1＋x2<0，y1＋y2<0
解析：由于函数y＝f(x)的图像在一三象限且关于坐标原点对称，函数y＝g(x)的图像过坐标原点，结合函数图像可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x2<0，由于y1＋y2＝＋＝，故x1＋x2，y1＋y2一定异号．
问题即为方程－x2＋bx＝仅有两个不同的实根，即方程x3－bx2＋1＝0有一个二重根、一个单根．此时结合图像可知位于第一象限的点A的横坐标为方程根，根据方程根的理论，如果x1是方程x3－bx2＋1＝0的二重根，x2为一个单根，则
x3－bx2＋1＝(x－x1)2(x－x2)＝x3－(2x1＋x2)x2＋(x＋2x1x2)x－xx2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得x＋2x1x2＝0，即x1＋2x2＝0，即x1＋x2＝－x2>0，所以x1＋x2>0，y1＋y2<0.
答案：B
4．设b＞0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图像为下列之一，则a的值为( )
A．1 B．－1
C. D.
解析：由第一个图与第二个图中与x轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x1＋x2＝－≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x1＋x2＝－＞0，又b＞0，故a＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0，0)，即a2－1＝0，解得a＝－1或a＝1(舍)．
答案：B
二、填空题
5．将抛物线y＝－x2＋2x－1向左平移1个单位后，得到的解析式是________．
解析：∵y＝－x2＋2x－1＝－(x－1)2，
∴函数y＝－x2＋2x－1向左平移一个单位后，
所得函数解析式为y＝－[(x＋1)－1]2＝－x2.
答案：y＝－x2
6．函数y＝x2＋m的图像向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图像，则实数m＝ ______．
解析：y＝x2－1的图像向上平移2个单位，得到函数y＝x2＋1的图像，则m＝1.
答案：1
7．已知二次函数f(x)的顶点坐标为(1，－2)，且过点(2，4)，则f(x)＝________．
解析：设f(x)＝a(x－1)2－2，
因为过点(2，4)，
所以有a(2－1)2－2＝4，得a＝6.
所以f(x)＝6(x－1)2－2＝6x2－12x＋4.
答案：6x2－12x＋4
8．已知方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，则实数m的取值范围是________．
解析：设f(x)＝x2－4|x|＋5，
则f(x)＝
即f(x)＝
作出f(x)的图像，如图：
要使方程x2－4|x|＋5＝m有四个全不相等的实根，需使函数f(x)与y＝m的图像有四个不同的交点，由图像可知，1
答案：(1，5)
三、解答题
9．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)且x＋x＝，试问该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移几个单位得到的？
解：由题意可设所求抛物线的解析式为
y＝－3(x－1)2＋k，
展开得y＝－3x2＋6x－3＋k.
由题意得x1＋x2＝2，x1x2＝，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
即4－＝.
解得k＝.
∴该抛物线是由y＝－3(x－1)2的图像向上平移个单位得到的，它的解析式为y＝－3(x－1)2＋，
即y＝－3x2＋6x－.
10．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反，与直线y＝x－2的交点坐标为(1，n)和(m，1)，求这个二次函数的解析式．
解：∵y＝ax2＋bx＋c的图像与y＝－x2＋2x＋3的形状相同，开口方向相反．
∴a＝，则y＝x2＋bx＋c.
又(1，n)，(m，1)两点均在y＝x－2上，
∴即点(1，－1)和(3，1)均在所求的抛物线上．
∴解得
∴这个二次函数的解析式为y＝x2－x－.
4．2 二次函数的性质
[读教材·填要点]
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质：
a的符号性质 a＞0 a＜0
图像开口方向 向上 向下
单调区间 递增区间为[－，＋∞)；递减区间为(－∞，－] 递增区间为(－∞，－]；递减区间为[－，＋∞)
最值 ymin＝，无最大值 ymax＝无最小值
对称轴 x＝－
顶点坐标 (－，)
注：记ymax、ymin分别表示函数y＝f(x)的最大值、最小值．
[小问题·大思维]
1．二次函数在其对称轴的两侧单调性一定相反吗？
提示：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，在其对称轴的两侧单调性一定相反，可以借助于二次函数的图像进行说明．
2．二次函数的最值一定在顶点取得吗？
提示：不一定，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当x∈R时可以，但当x属于某局部闭区间时，不一定．
3．对二次函数y＝f(x)，若满足f(a＋x)＝f(a－x)(a≠0)，则其对称轴方程是什么？
提示：x＝a.
[研一题]
[例1] 已知函数f(x)＝x2－3x－.
(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴，并指出它的单调区间；
(2)已知f()＝－，不计算函数值，试求f()；
(3)不直接计算函数值，比较f(－)与f(－)的大小．
[自主解答] (1)∵f(x)＝x2－3x－＝(x－3)2－.
∴f(x)图像的顶点坐标为(3，－)，对称轴为x＝3.
单调增区间为[3，＋∞)，减区间为(－∞，3]；
(2)法一：∵f()＝－，又|－3|＝|－3|＝，
∴结合二次函数的对称性可知，
f()＝f()＝－；
法二：∵函数f(x)的图像关于x＝3对称．
∴f(3＋x)＝f(3－x)．
∴f()＝f(3－)＝f(3＋)＝f()＝－；
(3)∵f(x)在(－∞，3]上是单调递减函数，
又－<－<3，
所以f(－)>f(－)．
[悟一法]
(1)“配方法”是研究二次函数图像和性质的基本方法，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y＝a(x＋h)2＋k，进而确定顶点坐标为(－h，k)，对称轴为x＝－h等其它性质．
(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．
[通一类]
1．函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，求f(1)的取值范围．
解：∵二次函数f(x)＝4x2－mx－5在区间[－2，＋∞)上是增函数，且对称轴是x＝，
∴≤－2，即m≤－16.
∴f(1)＝4－m＋5＝－m＋9≥25，∴f(1)≥25.
[研一题]
[例2] 已知二次函数f(x)＝x2－2x＋3，
(1)当x∈[－2，0]时，求f(x)的最值；
(2)当x∈[－2，3]时，求f(x)的最值；
(3)当x∈[t，t＋1]时，求f(x)的最小值g(t)．
[自主解答] ∵f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，其对称轴为x＝1，开口向上．
(1)当x∈[－2，0]时，f(x)在[－2，0)上是单调递减的，故当x＝－2时，f(x)有最大值f(－2)＝11; 当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝3；
(2)当x∈[－2，3]时，f(x)在 [－2，3]上是先减后增的，故当x＝1时，f(x)有最小值f(1)＝2，
又|－2－1|＞|3－1|，
∴f(x)的最大值为f(－2)＝11；
(3)①当t＞1时，f(x)在[t，t＋1]上单调递增，所以当x＝t时，f(x)取得取小值，
此时g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3.
②当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，f(x)在区间[t，t＋1]上先减再增，
故当x＝1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(1)＝2.
③当t＋1＜1，即t＜0时，f(t)在[t，t＋1]上单调递减，所以当x＝t＋1时，f(x)取得最小值，
此时g(t)＝f(t＋1)＝t2＋2，
综上得g(t)＝
[悟一法]
(1)二次函数在给定区间[m，n]上的最值求解有以下三种情况：
①对称轴与区间[m，n]都是确定的；
②动轴定区间，即对称轴不确定，区间[m，n]是确定的；
③定轴动区间，即对称轴是确定的，区间[m，n]不确定．
对于以上三种情况，①采用数形结合，较易解决；②和③应按对称轴和区间的位置关系分类求解，分对称轴在区间的左侧、内部、右侧三类．
(2)求函数的值域应注意函数的定义域，可直接根据函数的单调性求解，也可先求其最大(小)值，再由最大(小)值确定．
[通一类]
2．已知函数f(x)＝x2－(2a－4)x＋2在[－1，1]内的最小值为g(a)，求g(a)的解析式．
解：f(x)＝[x－(a－2)]2－(a－2)2＋2，x∈[－1，1]．
其图像的对称轴为x＝a－2.
①当a－2<－1即a<1时，函数f(x)在[－1，1]上单调递增，
∴函数f(x)的最小值g(a)＝f(－1)，即g(a)＝2a－1；
②当－1≤a－2≤1即1≤a≤3时，函数f(x)的最小值为g(a)＝f(a－2)＝－(a－2)2＋2；
③当a－2>1即a>3时，函数f(x)在[－1，1]上单调递减，
∴函数f(x)的最小值g(a)＝f(1)＝－2a＋7.
综上：g(a)＝
[研一题]
[例3] 渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y吨与实际养殖量x吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并求出定义域；
(2)求鱼群的年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k所应满足的条件．
[自主解答] (1)由题意，知空闲率为1－，
∴y＝kx(1－)(0＜x＜m)；
(2)y＝－x2＋kx＝－(x－)2＋，
∵－＜0且0＜x＜m，
∴当x＝时，ymax＝；
(3)∵当x＝时，ymax＝，又实际养殖量不能达到最大养殖量，
∴此时，需要＋＜m，解得k＜2.
又∵k＞0，∴0＜k＜2.
[悟一法]
二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值问题．
[通一类]
3．某农家旅游公司有客房300间，每间日房租为20元，每天都客满．公司欲提高档次，并提高租金，如果每间客房日增加2元，客房出租数就会减少10间．若不考虑其他因素，旅游公司将客房日租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？
解：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30.
设客房租金总收入为y元，
则有y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)2＋8 000(0＜x＜30)．
由二次函数的性质可知，当x＝10时，ymax＝8 000.
所以当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最高，为每天8 000元.
已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2，2]，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．
[巧思] 要使f(x)＞0恒成立，只需f(x)min＞0，即可将问题转化为求f(x)的最小值问题．
[妙解] 设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)＞0.
(1)当－＜－2，即a＞4时，
g(a)＝f(－2)＝7－3a＞0，
得a＜，又a＞4，故此时a不存在．
(2)当－∈[－2，2]，即a∈[－4，4]时，
g(a)＝f(－)＝3－a－＞0，得－6＜a＜2.
又－4≤a≤4，∴－4≤a＜2.
(3)当－＞2，即a＜－4时，
g(a)＝f(2)＝7＋a＞0，得a＞－7，
又a＜－4，∴－7＜a＜－4.
综上知，a的取值范围是：－7＜a＜2.
1．函数f(x)＝4－x(x－2)的顶点坐标和对称轴方程分别是( )
A．(2，4)，x＝2 B．(1，5)，x＝1
C．(5，1)，x＝1 D．(1，5)，x＝5
解析：f(x)＝4－x(x－2)＝－x2＋2x＋4＝－(x－1)2＋5.
∴函数f(x)的图像的顶点坐标为(1，5)，对称轴方程为x＝1.
答案：B
2．二次函数y＝a2x2－4x＋1有最小值－1，则a的值为( )
A. B．－
C．± D．±2
解析：由题意＝－1，∴a2＝2，∴a＝±.
答案：C
3．已知二次函数y＝f(x)在区间(－∞，5]上单调递减，在区间[5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是( )
A．f(－2)B．f(11)C．f(6)D．f(11)解析：法一：由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x＝5，离对称轴越近函数值越小．
法二：由题意知，该二次函数图像的对称轴为x＝5.
∴f(5＋x)＝f(5－x)．
∴f(－2)＝f(5－7)＝f(5＋7)＝f(12)．
∵f(x)在[5，＋∞)上单调递增，
∴f(6)答案：C
4．函数y＝－x2＋4x的单调递增区间是________．
解析：∵y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，
∴函数y＝－x2＋4x的单调递增区间为(－∞，2]．
答案：(－∞，2]
5．函数y＝3x2－6x＋1，x∈[0，3]的最大值是________，最小值是________．
解析：y＝3(x－1)2－2，该函数的图像如下．
从图像易知：f(x)max＝f(3)＝10，f(x)min＝f(1)＝－2.
答案：10 －2
6．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5，5] .
(1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
(2)求实数a的取值范围，使函数y＝f(x)在[－5，5]上是单调函数．
解：(1)当a＝－1时，
f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，
∵x∈[－5，5]，∴当x＝1时，f(x)的最小值为1.
当x＝－5时，f(x)的最大值为37.
(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图像的对称轴为x＝－a.
∵f(x)在[－5，5]上是单调函数，
∴－a≤－5，或－a≥5，
故a的取值范围是a≤－5或a≥5.
一、选择题
1．下列区间中，使函数y＝－2x2＋x是增函数的是( )
A．R B．[2，＋∞)
C．[，＋∞) D．(－∞，]
解析：函数y＝－2x2＋x＝－2(x－)2＋的图像的对称轴是直线x＝，图像的开口向下，所以函数在对称轴x＝的左边是增加的．
答案：D
2．如果函数y＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围为( )
A．k≤40 B．k≥160
C．40解析：抛物线y＝4x2－kx－8的对称轴为x＝，
若函数y＝4x2－kx－8在[5，20]上是单调函数，
则≤5或≥20.
∴k≤40或k≥160.
答案：D
3．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则m的取值范围是( )
A．(0，4] B．[，4]
C．[，3] D．[，＋∞)
解析：y＝x2－3x－4＝(x－)2－，∴图像的对称轴为x＝，
顶点为(，－)，结合图像可知，
≤m≤3.
答案：C
4．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )
A．45.606万元 B．45.56万元
C．45.6万元 D．45.51万元
解析：设公司获得的利润为y，在甲地销售了x辆，则在乙地销售了(15－x)辆．
则y＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30(0≤x≤15，x∈N)，
此二次函数的对称轴为x＝10.2，
∴当x＝10时，y有最大值为45.6(万元)．
答案：C
二、填空题
5．设函数f(x)＝4x2－(a＋1)x＋5在[－1，＋∞)上是增函数，在(－∞，－1]上是减函数，则f(－1)＝________．
解析：∵＝－1，∴a＝－9，
则f(x)＝4x2＋8x＋5.
∴f(－1)＝4×(－1)2＋8×(－1)＋5＝1.
答案：1
6．已知二次函数f(x)＝(x＋a)(bx＋a)(常数a，b∈R)的图像关于y轴对称，其值域为(－∞，4]，则a＝________，b＝________．
解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋a)＝bx2＋a(b＋1)x＋a2.
f(x)图像的对称轴为x＝－＝0，∴b＝－1.
∴f(x)＝－x2＋a2，顶点为(0，a2)．
∵f(x)的值域为(－∞，4]，
∴a2＝4，∴a＝±2.
答案：±2 －1
7．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图像如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为 ________．
解析：由图知抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标是(3，0)，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标是(－1，0)．
所以关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的根为x1＝－1，x2＝3.
答案：－1，3
8．已知关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对于x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：设f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4，
法一：当a＝2时，f(x)＝－4<0恒成立；
当a≠2时，f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，
即f(x)有最大值且最大值小于零．
即
解得－2综上知，a的取值范围是(－2，2]．
法二：a＝2时不等式显然成立，
a≠2时，若不等式成立，
即f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对x∈R恒成立，
必有a－2<0，且Δ＝4(a－2)2＋4(a－2)×4<0，
解得－2综上得－2∴a的取值范围是(－2，2]．
答案：(－2，2]
三、解答题
9．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图像与y轴交于点(0，1)，且满足f(－2＋x)＝f(－2－x)(x∈R)．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)已知函数在(t－1，＋∞)上为增加的，求实数t的取值范围．
解：(1)由函数f(x)的图像与y轴交于点(0，1)，知c＝1.
又f(－2＋x)＝f(－2－x)，
∴函数f(x)的对称轴为x＝－＝－＝－2.
∴a＝.
∴f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)∵函数f(x)在(t－1，＋∞)上为增函数，
∴t－1≥－2.∴t≥－1.
10．某企业生产的一种电器的固定成本(即固定投资)为0.5万元，每生产一台这种电器还需可变成本(即另增加投资)25元，市场对这种电器的年需求量为5百台．已知这种电器的销售收入(R)与销售量(t)的关系可用抛物线表示如图．
(注：年产量与销售量的单位：百台，纯收益的单位：万元，生产成本＝固定成本＋可变成本，精确到1台和0.01万元)
(1)写出销售收入(R)与销售量(t)之间的函数关系R＝f(t)；
(2)认定销售收入减去生产成本为纯收益，写出纯收益与年产量的函数关系式，并求年产量是多少时，纯收益最大．
解：(1)由图可知：R＝a(t－5)2＋，
由t＝0时，R＝0，得a＝－.
∴R＝－(t－5)2＋(0≤t≤5)；
(2)年纯收益
y＝－t2＋5t－0.5－t＝－t2＋t－0.5，
当t＝＝4.75时，y取得最大值10.78万元．
故年产量为475台，纯收益取得最大值10.78万元．[读教材·填要点]
1．依赖关系和函数关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值也会随之发生变化，那么就称这两个变量具有依赖关系．如果变量x，y具有依赖关系，对于其中一个变量x的每一个值，另一个变量y都有唯一确定的值时，那么称变量y是变量x的函数，即这两个变量之间具有函数关系．
2．非依赖关系
在某变化过程中有两个变量，如果其中一个变量的值发生了变化，另一个变量的值不受任何影响，那么就称这两个变量具有非依赖关系．
[小问题·大思维]
1．人的身高和年龄之间的关系是函数关系吗？
提示：人的身高和年龄之间有一定的依赖关系，但这种关系并不是函数关系，因人的身高并不单纯由人的年龄而定，还受环境、饮食等条件的影响．
2．两个具有依赖关系的变量一定具有函数关系吗？
提示：不一定．只有满足对于其中一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一确定的值时，才称它们之间有函数关系．
[研一题]
[例1] 下列各组中两个变量之间是否存在依赖关系？其中哪些是函数关系？
①球的体积和它的半径；
②速度不变的情况下，汽车行驶的路程与行驶时间；
③家庭收入愈多，其消费支出也有增长的趋势；
④正三角形的面积和它的边长．
[自主解答] ①中球的体积V与半径r间存在V＝πr3的关系；
②中在速度不变的情况下，行驶路程S与行驶时间t之间存在正比例关系；
③中家庭收入与其消费支出间存在关系，但具有不确定性；
④中正三角形的面积S与其边长a间存在S＝a2的关系．
综上可知①②③④中两个变量间都存在依赖关系，其中①②④是函数关系．
[悟一法]
判断两个变量有无依赖关系，主要看其中一个变量变化时，是否会导致另一个变量随之变化．而判断两个具有依赖关系的变量是否具有函数关系，关键是看两个变量之间的关系是否具有确定性，即考察对于一个变量的每一个值，另一变量是否都有唯一确定的值与之对应．
[通一类]
1．下列过程中，各变量之间是否存在依赖关系？若存在依赖关系，则其中哪些是函数关系？
(1)将保温瓶中的热水倒入茶杯中缓慢冷却，并将一温度计放入茶杯中，每隔一段时间，观察温度计示数的变化，冷却时间与温度计示数的关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间的关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间的关系．
解：(1)冷却时间与温度计示数具有依赖关系，根据函数定义知，二者之间是函数关系；
(2)家庭的食品支出与电视价格之间没有依赖关系；
(3)在高速公路上行驶的汽车所走的路程与时间这两个变量存在依赖关系，且具有确定性，是函数关系．
综上可知，(1)(3)中的变量间具有依赖关系，且是函数关系；(2)中两个变量不存在依赖关系．
[研一题]
[例2] 如图所示为某市一天24小时内的气温变化图．
(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？
(2)大约在什么时刻，气温为0°C
(3)大约在什么时刻内，气温在0°C以上？两个变量有什么特点，它们具有怎样的对应关系？
[自主解答] (1)上午8时气温是0°C，全天最高气温大约是9°C，在14时达到，全天最低气温大约是－2°C，在4时达到；
(2)大约在8时和22时，气温为0°C；
(3)在8时到22时之间，气温在0°C以上，变量0≤t≤24，变量－2≤θ≤9，由于图像是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变化趋势，所以θ与t具有依赖关系，也具有函数关系．
[悟一法]
对于这类问题，求解的关键是充分利用图像所反映的关系使其与生活中两个变量之间的变化情况相吻合，以达到用图的目的．
[通一类]
2．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了．下列各图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )
解析：从亮亮的体温变化，可以看出图像应为：早晨37°C以上37°C(中午)37°C以上37°C(半夜)，结合图像知，只有C项符合．
答案：C
[研一题]
[例3] 口香糖的生产已有很长的历史，咀嚼口香糖有很多益处，但其残留物也会带来污染，为了研究口香糖的黏附力与温度的关系，一位同学通过实验，测定了不同温度下除去糖分的口香糖与瓷砖地面的黏附力，得到了如下表所示的一组数据：
次序项目 1 2 3 4 5 6 7 8
温度(°C) 15 25 30 35 37 40 45 50
黏附力(N) 2.0 3.1 3.3 3.6 4.6 4.0 2.5 1.4
(1)请根据上述数据，绘制出口香糖黏附力F随温度t变化的图像；
(2)根据上述数据以及得到的图像，你能得到怎样的实验结论呢？
[自主解答] (1)
(2)实验结论：①随着温度的升高，口香糖的黏附力先增大后减小；②当温度在37°C时，口香糖的黏附力最大．
[悟一法]
对于这类通过表格来反映两个变量之间关系的问题，求解时需根据表中两个变量对应数据，分析其变化情况，即可做出判断．
[通一类]
3．从市场中了解到，饰用K金的含金量如下表：
K数 含金量(%)
24K 99以上
22K 91.7
21K 87.5
18K 75
14K 58.5
12K 50
10K 41.66
9K 37.5
8K 33.34
6K 25
饰用K金的K数与含金量之间是 ________关系，K数越大含金量________．
解析：通过表格可以得出K金的K数与含金量之间是函数关系，且K数越大含金量越高．
答案：函数 越高
向高为H的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图(1)所示，那么水瓶的形状是图(2)中的( )
[巧思] 通过图像反映的V随h增大的速度变化判断．
[妙解] 通过图像反映的两个变量h与V的变化情况知，注水量随高度的变化是先快后慢，再结合选项中四个容器的形状来判断，只有B符合要求．
[答案] B
1．下列说法不正确的是( )
A．圆的周长与其直径的比值是常量
B．任意四边形的内角和的度数是常量
C．发射升空的火箭高度与发射的时间之间是函数关系
D．某商品的广告费用与销售量之间是函数关系
解析：A、B、C中说法均正确，而D中，广告费用与销售量之间关系不确定，故不是函数关系．
答案：D
2．下列各量间不存在依赖关系的是( )
A．扇形的圆心角与它的面积
B．某人的体重与其饮食情况
C．水稻的亩产量与施肥量
D．某人的衣着与视力
答案：D
3．一人骑着车一路匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；图中与这件事正好吻合的图像是(其中x轴表示时间，y轴表示路程)( )
解析：开始一段时间路程逐渐增大，增大的速度相同，图像是一直线段，耽搁的时间段路程不变，图像与x轴平行，然后行驶路程在原来的基础上又增大，由图像知选A.
答案：A
4．给出下列关系：
①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；
②抛物线上的点与该点坐标之间的关系；
③橘子的产量与气候之间的关系；
④某同学在6次考试中的数学成绩与他的考试号之间的关系．
其中不是函数关系的有________．
解析：由已知关系判断得，①③④中关系不确定故不是函数关系，只有②是函数关系．
答案：①③④
5．下列关系不是函数关系的是________．(填序号)
①乘坐出租车时，所付车费与乘车距离的关系；
②某同学学习时间与其学习成绩的关系；
③人的睡眠质量与身体状况的关系．
解析：对于①，所付车费与乘车距离是一种确定性关系，是函数关系；而对于②，③中的两个变量是非确定性关系，不是函数关系．
答案：②③
6．通过研究一组学生的学习行为，心理学家发现在课堂上学生接受一个概念的能力与教师在引入概念之前提出和描述问题的时间有关．刚开始阶段学生接受能力渐增，但随着时间延长，由于学生的注意力开始分散，因此接受能力开始下降．分析结果表明学生接受概念能力g(x)与提出和描述问题所用时间x的图像如图：
问：自提出问题和描述问题开始多长时间时，学生接受概念的能力最强？
解：由图像可知，当x＝13时，曲线达到最高点，即学生的接受能力最强．
一、选择题
1．谚语“瑞雪兆丰年”说明( )
A．下雪与来年的丰收具有依赖关系
B．下雪与来年的丰收具有函数关系
C．下雪是丰收的函数
D．丰收是下雪的函数
答案：A
2．下列变量间的关系是函数关系的是( )
A．匀速航行的轮船在2小时内航行的路程
B．某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系
C．正方形的面积S与其边长a之间的关系
D．光照时间和苹果的亩产量
解析：A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系．
答案：C
3．右图中，纵轴是某公司职工人数，但刻度被抹掉了，横轴是工作年数(有刻度)，则该公司中工作5年或更多时间的职工所占的百分比是( )
A．9% B．23%
C．30% D．36%
解析：由图知，百分比＝×100%＝30%.
答案：C
4．我们知道，溶液的酸碱度由pH确定，当pH＞7时，溶液呈碱性；当pH＜7时，溶液呈酸性．若将给定的HCl的溶液加水稀释，那么在下列图像中，能反映HCl溶液的pH值与所加水的体积V的变化关系的图像是( )
解析：由题意知pH值随V的增大，先快后慢增大，但不会超过7.
答案：A
二、填空题
5．给出下列关系：①圆的半径与其面积之间的关系；②一个人的寿命与这个人做好事的次数之间的关系；③正整数和它的正约数的个数之间的关系．其中有函数关系的是(填代号)________．
解析：①中两个变量之间的关系具备函数关系．②中的“寿命”与这个人做好事的“次数”之间没有因果关系，所以不是函数关系．③中对于一个正整数，可能有多个正约数与之对应，所以正整数和它的正约数的个数之间不具有函数关系．
答案：①
6．下表给出的y与x的关系，则y与x是________关系(函数或非函数).
x 1 921 1 927 1 949 1 949＜x＜1 997 1 997 1 999 2 010
y 1 2 3 4 5 6 7
解析：由表知，y与x是一种确定的依赖关系，故为函数关系．
答案：函数
7．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白处.
年龄/岁 30 35 40 45 50 55 60 65
收缩压/mmHg 110 115 120 125 130 135 145
舒张压/mmHg 70 73 75 78 80 83 88
解析：每增长5岁，收缩压增加5 mmHg，舒张压每增长5岁按增长3，2，3，2，…的规律变化．
答案：140 85
8．如图是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的有________．
①这几年人民生活水平逐年提高；
②人民生活消费增长最快的一年是2006年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2007年；
④虽然2008年生活消费增长是缓慢的，但由于生活价格指数有较大降低，因而人民生活有较大的改善．
解析：由题意“生活消费指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故 ①正确；“生活消费指数”在2006～2007年最陡，故②正确；“生活价格指数”在2007～2008年最平缓，故③不正确；由于2008年的“生活价格指数”有较大下降，而“生活消费指数”曲线呈上升趋势，故④正确．
答案：①②④
三、解答题
9．某地2013年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数 124 620 102 935 89 115 76 516 70 436
你从以上提供的图表中会得到哪些信息？请你对就业形势作一下预测．
解：从表格中可以看出，计算机行业应聘人数与招聘人数均居第一位，是最热门专业．机械、营销一般，而物流、贸易是冷门行业，从计算机、机械、营销三种行业看，营销行
业就业形势较好．另外可以看出，建筑、化工行业的需求量相对较大，物流、贸易应聘人数相对较多，供大于求，预测未来建筑、化工行业的需求量较大，就业前景广阔．
10．下图的曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：
(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？
(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？
(3)第一次休息时，离家多远？
(4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？
解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米；
(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时；
(3)第一次休息时，离家17千米；
(4)11：00至12：00，他骑了13千米；
(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时； 10：00～10：30的平均速度是14千米/时；
(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形．[读教材·填要点]
1．函数在区间上增加(减少)的定义
在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1x2∈A，当x1＜x2时：
(1)都有f(x1)＜f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的．
(2)都有f(x1)＞f(x2)，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的．
2．函数的单调区间
如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．在单调区间上，如果函数是增加的，那么它的图像是上升的；如果函数是减少的，那么它的图像是下降的．
3．函数的单调性
如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
4．单调函数
如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．
[小问题·大思维]
1．在增加的和减少的函数定义中，能否把“任意x1，x2∈A”改为“存在x1，x2∈A”？
提示：不能，如图，虽然存在－1＜2使f(－1)＜f(2)，但f(x)在[－1，2]上并不是增加的．
2．函数f(x)＝的单调减区间能否写成(－∞，0)∪(0，＋∞)
提示：不能，如x1＝－1，x2＝1满足x1＜x2，
但有f(x1)＝－1＜f(x2)＝1，不符合减少的要求．
3．函数区间端点对函数单调区间有作用吗？是否应考虑？
提示：函数在某一点处的单调性并无意义．所以不存在单调性问题．在书写函数的单调区间时，区间端点开或闭一般可不予考虑．若端点处函数有意义，包括不包括端点均可；但若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间．
[研一题]
[例1] 试判断函数f(x)＝在其定义域上的单调性，并加以证明．
[自主解答] 函数定义域为{x|x≠1}，
又f(x)＝
＝＝＋1，
可由反比例函数y＝图像得其图像如图所示：
由图像知，函数在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数，证明如下：
设x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x1)＝，f(x2)＝.
f(x2)－f(x1)＝－＝.
∵1＜x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x2－1＞0，x1－1＞0.
∴f(x2)－f(x1)＜0，∴f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
同理可证f(x)在(－∞，1)上为减函数．
综上f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上为减函数．
[悟一法]
判断函数的单调性通常利用定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：
(1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1＜x2；
(2)作差：计算f(x1)－f(x2)；
(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)；
(4)判号：结合题设判定差的符号；
(5)定论：结合单调性的定义下结论．
[通一类]
1．试讨论函数f(x)＝(a≠0)在其定义域内的单调性．
解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．
(1)设x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x10，x1x2>0.
当a>0时，有>0，即f(x1)>f(x2)；
当a<0时，有<0，即f(x1)∴当a>0时，f(x)＝(a≠0)在(－∞，0)上是减函数；
当a<0时，f(x)＝(a≠0)在(－∞，0)上是增函数．
(2)同理，f(x)＝(a≠0)在(0，＋∞)上，
当a>0时是减函数，
当a<0时是增函数．
综上所述，函数y＝(a≠0)，
当a>0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数；
当a<0时，在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数.
[研一题]
[例2] 求函数y＝－x2＋2|x|＋3的增区间和减区间．
[自主解答] y＝－x2＋2|x|＋3
＝
函数图像如右图所示．
由图像可知：
函数在(－∞，－1]，[0，1]上是增函数，
函数在[－1，0]，[1，＋∞)上是减函数．
∴函数的单调增区间是(－∞，－1]，[0，1]，
单调减区间是[－1，0]，[1，＋∞)．
[悟一法]
(1)求函数单调区间的常用方法有：
①转化为已知的基本初等函数(如一次，二次等函数)的单调性判断；②图像法；③定义法；
(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．
[通一类]
2．求函数y＝|x＋1|＋|2－x|的单调区间．
解：函数可化为分段函数形式：
y＝
法一：由解析式可知函数的递增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
法二：作出y＝的图像，由图像观察得．
单调增区间为(2，＋∞)，递减区间为(－∞，－1)．
[研一题]
[例3] (1)已知函数f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f(a2－a＋1)与f的大小；
(2)已知f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，求x的取值范围．
[自主解答] (1)∵a2－a＋1＝＋≥，
∴与a2－a＋1都是区间(0，＋∞)上的值．
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，
∴f()≥f(a2－a＋1)；
(2)由题意可知解得1≤x≤2.
∵f(x)是定义在[－1，1]上的增函数，且f(x－2)＜f(1－x)，∴x－2＜1－x.∴x＜.
∴1≤x＜为满足题设条件的x的取值范围．
[悟一法]
(1)函数的单调性应用比较广泛，可利用单调性比较大小，求函数的最值，求参数的范围．
(2)利用函数的单调性求参数范围时，要注意数形结合思想的应用．
[通一类]
3．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减少的，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2
＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2，
∴此二次函数的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]．
∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合．
∴1－a≥4，解得a≤－3.
已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1.
(1)求f(8)的值；
(2)求不等式f(x)－f(x－2)>3的解集．
[巧思] 解答本题关键是巧用f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)对x，y恰当赋值，用f(2)表示f(8)．
(2)将不等式转化成f(x)＞f(g(x))的形式．再利用单调性进一步转化成关于x的不等式组．
[妙解] (1)由题意得f(8)＝f(4×2)
＝f(4)＋f(2)
＝f(2×2)＋f(2)＝3f(2)＝3；
(2)原不等式可化为：f(x)＞3＋f(x－2)，
∵f(8)＝3，
∴3＋f(x－2)＝f(8)＋f(x－2)
＝f(8(x－2))．
∴f(x)＞f(8(x－2))的解集即为所求．
∵f(x)是(0，＋∞)上的增函数，
∴ 解得2＜x＜.
∴原不等式的解集为{x|2＜x＜}．
1．下列函数中，在区间(0，3)上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
解析：可知，y＝3－x在(0，3)上为减函数，y＝在(0，3)上为减函数，y＝－|x|＝－x在(0，3)上为减函数．
答案：B
2．函数f(x)＝－x2的单调增区间为( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(0，＋∞)
解析：由f(x)＝－x2的图像知，A正确．
答案：A
3．函数y＝(k＋2)x＋1在实数集上是减函数，则k的范围是( )
A．k>－2 B．k≤－2
C．k≥－2 D．k<－2
解析：∵f(x)＝(k＋2)x＋1在R上是减函数．
∴k＋2<0，即k<－2.
答案：D
4．如图所示是定义在[－5，5)上的函数y＝f(x)的图像．
则该函数的单调增区间是________________，减区间是____________．
答案：[－2，1]和[3，5) [－5，－2]和[1，3]
5．若f(x)是R上的增函数，且f(x－1)＞f(2)，则x的取值范围是________．
解析：由题得x－1＞2，得x＞3，故x的范围为{x|x＞3}．
答案：{x|x＞3}．
6．用增函数定义证明f(x)＝ax＋b(a＞0)是(－∞，＋∞)上的增函数．
证明：设x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，
则f(x2)－f(x1)＝ax2＋b－(ax1＋b)
＝ax2－ax1＝a(x2－x1)．
∵x1＜x2，∴x2－x1＞0，
又a＞0，∴f(x2)－f(x1)＝a(x2－x1)＞0，
∴f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数．
一、选择题
1．下列函数在(－∞，0)上为增函数的有( )
①y＝|x| ②y＝ ③y＝－ ④y＝x＋
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：当x∈(－∞，0)时，y＝|x|＝－x，在(－∞，0)上为减函数，故①不正确，排除A、D.
又y＝＝－1，在(－∞，0)上为常函数，故B不正确．
答案：C
2．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，则( )
A．f(a)C．f(a2＋a)解析：∵a2＋1－a＝(a－)2＋>0，∴a2＋1>a，
∵f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，
∴f(a2＋1)答案：D
3．下列说法不正确的有( )
①函数y＝x2在(－∞，＋∞)上具有单调性，且在(－∞，0)上是减函数；
②函数y＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，在其上是减函数；
③函数y＝kx＋b(k∈R)在(－∞，＋∞)上一定具有单调性；
④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两值，当x1＞x2时，有f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在A上是减函数．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：对于①中函数y＝x2，在R上不具有单调性，故①不正确；
②中函数y＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上不具有单调性．故②不正确；③中函数当k＝0时，其在R上不具有单调性，故③不正确；④中由于x1，x2不是任意的两个值，不满足定义，故其不正确．
答案：D
4．若对于任意实数x总有f(－x)＝f(x)，且f(x)在区间(－∞，－1]上是增函数，则( )
A．f(－)B．f(－1)C．f(2)D．f(2)解析：∵f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2)，
又∵f(x)在(－∞，－1]上是增函数，
而－2<－<－1，∴f(－2)即f(2)答案：D
二、填空题
5．函数f(x)＝的减区间是________．
解析：函数f(x)的图像如图实线部分所示．
则减区间是(0，1]．
答案：(0，1]
6．若函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在[1，2]上单调递减，则a的取值范围是______________．
解析：函数f(x)的图像的对称轴为x＝a，可知其图像开口向下，∵f(x)在[1，2]上单调递减，∴a≤1.
答案：(－∞，1]
7．函数f(x)＝在区间[2，4]上的最大值为________，最小值为________．
解析：∵f(x)＝＝＝1－，
∴函数f(x)在[2，4]上是增函数，
∴f(x)min＝f(2)＝＝，
f(x)max＝f(4)＝＝.
答案：
8．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)解析：由题意得，解得：0答案：(0，)
三、解答题
9．已知函数f(x)＝|－x2＋2|，试作出该函数的图像，指出它的单调区间，并求函数在[1，3]上的最值．
解：函数f(x)＝|－x2＋2|
＝
作出函数的图像如图所示．
由图可知函数f(x)＝|－x2＋2|的单调增区间为[－，0]和[，＋∞); 单调减区间为(－∞，－)和[0，]．
在区间[1，3]上，由图像可知函数的最小值为f()＝0，最大值为f(3)＝7.
10．已知f(x)＝是定义在R上的函数，且满足f()＝，f(0)＝0.
(1)求实数a、b的值，并确定f(x)的解析式；
(2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增加的．
解：(1)由f()＝，f(0)＝0，得
得a＝1，b＝0，∴f(x)＝.
(2)证明：在(－1，1)上任取－1＜x1＜x2＜1，
则f(x2)－f(x1)＝eq \f(x2,x＋1)－eq \f(x1,x＋1)
＝eq \f(x2x＋x2－x1x－x1,（x＋1）（x＋1）)＝eq \f(x1x2（x1－x2）＋（x2－x1）,（x＋1）（x＋1）)
＝eq \f(（x2－x1）（1－x1x2）,（x＋1）（x＋1）).
∵－1＜x1＜x2＜1，
∴－1＜x1x2＜1，x2－x1＞0，
1－x1x2＞0，x＋1＞0，x＋1＞0，
∴f(x2)－f(x1)＞0.
∴f(x)在(－1，1)上是增加的．2．1 函 数 概 念
[读教材·填要点]
1．函数的概念
给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.此时，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域，习惯上称y是x的函数．
2．区间与无穷的概念
(1)区间：
设a，b是两个实数，而且a＜b，规定如下表：
定义 名称 符号 几何表示
{x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b]
{x|a＜x＜b} 开区间 (a，b)
{x|a≤x＜b} 左闭右开区间 [a，b)
{x|a＜x≤b} 左开右闭区间 (a，b]
这里实数a，b都叫作相应区间的端点．
(2)无穷大的概念及无穷区间：
定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤b} {x|x＜b}
符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，b] (－∞，b)
[小问题·大思维]
1．函数定义中的集合A，B一定是非空数集吗？
提示：A，B一定是非空数集，否则构不成集合A到B的函数关系．
2．函数定义中对集合A中元素有什么要求？对B中元素有同样要求吗？
提示：对集合A中元素有两个要求，其一，全部参与对应，其二，每个元素在B中对应的元素唯一；而对B中元素没此要求．
3．试分析构成函数有几个要素？
提示：三个要素：对应关系f，定义域A和值域{f(x)|x∈A}．
[研一题]
[例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数：
(1)f(x)＝，g(x)＝；
(2)f(x)＝()2，g(x)＝；
(3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1.
[自主解答] (1)由于f(x)＝＝|x|，g(x)＝＝x，故它们的对应关系不相同，所以它们不表示同一函数．
(2)由于函数f(x)＝()2的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝的定义域为{x|x∈R}，它们的定义域不同，所以它们不表示同一函数．
(3)两个函数的定义域和对应关系都相同，所以它们表示同一函数．
[悟一法]
函数由定义域，值域和对应法则三要素构成．其中值域由定义域和对应法则确定，因此只要定义域和对应法则相同就表示同一函数．
[通一类]
1．下列各组函数是否表示同一个函数？
(1)f(x)＝2x＋1与g(x)＝；
(2)f(x)＝与g(x)＝x－1；
(3)f(x)＝|x－1|与g(x)＝
(4)f(n)＝2n－1与g(n)＝2n＋1(n∈Z)．
解：(1)g(x)＝|2x＋1|，f(x)与g(x)的对应关系不同，因此是不同的函数；
(2)f(x)＝x－1(x≠0)，f(x)与g(x)的定义域不同，因此是不同的函数；
(3)f(x)＝f(x)与g(x)的定义域相同，对应关系相同，因此是相同的函数；
(4)f(x)与g(x)的定义域和对应关系都不同．因此是不同的函数.
[研一题]
[例2] (1)求函数f(x)＝的定义域；
(2)求函数f(x)＝－＋的定义域，并用区间表示．
[自主解答] (1)要使f(x)有意义，需有解之得
所以f(x)的定义域为：(－∞，－1)∪(－1，4]；
(2)要使函数f(x)＝－＋有意义，必须所以－≤x＜2且x≠0，
故函数的定义域为{x|－≤x＜2且x≠0}，区间表示为[－，0)∪(0，2)．
[悟一法]
(1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R.
(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合．
(3)如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合．
(4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合(即求各部分定义域的交集)．
(5)对于由实际背景确定的函数，其定义域还要受实际问题的制约．
[提醒] 定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
[通一类]
2．将进货单价为8元的商品按10元1个销售时，每天可卖出100个，若这种商品的销售单价每涨1元，日销售量就减少10个，请你用解析表达式表示每天的销售利润y随销售单价x(元)变化的函数关系，并求出函数的定义域．
解：根据题意，每天的销售量为[100－10(x－10)]个．
则y＝(x－8)[100－10(x－10)]＝10(x－8)(20－x)
由得10≤x≤20，
所以函数的定义域为[10，20]．
[研一题]
[例3] 已知f(x)＝(x∈R且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R)．
(1)求f(2)，g(2)的值；
(2)求f(g(2))的值；
(3)求f(x)，g(x)的值域．
[自主解答] (1)∵f(x)＝.∴f(2)＝＝.
∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6；
(2)f(g(2))＝f(6)＝＝；
(3)f(x)＝的定义域为{x|x≠－1}，
∴值域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，
g(x)＝x2＋2的定义域为R，最小值是2，
∴值域为[2，＋∞)．
[悟一法]
(1)求函数值的方法，只需根据对应关系f 的具体含义代入求解即可，但对于求f(g(x))类型的函数值，应遵循先内后外的原则．
(2)求函数值域的方法：
①图像法：借助于函数值域的几何意义，利用函数的图像求值域；
②观察法：对于解析式比较简单的函数，利用常见的结论如x2≥0，|x|≥0，≥0等观察出函数的值域；
③配方法：对于二次函数常用此法；
④换元法：利用换元法转化为求常见函数(如：二次函数)的值域等．
[通一类]
3．求下列函数的值域
(1)y＝(x∈R)；
(2)y＝2x－.
解：(1)y＝＝1－，而x4＋1≥1，
即0＜≤1，∴0≤y＜1.故值域为[0，1)；
(2)令＝t，则t≥0，x＝t2＋1，
∴y＝2(t2＋1)－t＝2t2－t＋2＝2(t－)2＋.
∵t≥0，∴y≥.∴函数的值域是[，＋∞).
函数y＝的定义域是________．
[错解] y＝＝，
∴要使函数有意义，需满足x＋1≠0，解得x≠－1.
∴函数的定义域为{x|x∈R，且x≠－1}．
[错因] 上述解答貌似简捷，但结果却是错误的，这是因为从原函数式来看，要使原函数有意义，必须同时满足1＋≠0.而上述解法改变了函数式之后，要求却变为x＋1≠0.这显然不妥，一般来说，求函数的定义域必须按照原函数式来求解，不可化简后再求函数的定义域．
[正解] 要使函数有意义，必须满足x≠0且1＋≠0，即满足x≠0且x≠－1.
∴此函数定义域为{x|x∈R，x≠0且x≠－1}．
[答案] {x|x∈R，x≠0且x≠－1}
1．下列表达式中，表示函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y2＝x
解析：对于A，∵－x2－1＜0，
∴根式无意义，不表示函数；
对于B，当x＝0时对应的函数值有两个，不符合函数的定义；
对于D，任意x，与x对应的y值不唯一，因此也不表示函数．
答案：C
2．下列两个函数完全相同的是( )
A．y＝与y＝x B．y＝与y＝x
C．y＝()2与y＝x D．y＝与y＝x
解析：A中y＝的定义域为{x|x≠0}，而y＝x的定义域为R，A错；
C中y＝()2的定义域为[0，＋∞)，而y＝x的定义域为R，C错；
B中y＝＝|x|与y＝x的对应关系不同，所以B错；
D中y＝＝x与y＝x定义域与对应关系均相同，故D对．
答案：D
3．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是( )
A．f(x)＝＋ B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝＋
解析：函数y＝的定义域为{x|x＞0}．
对于A，要使函数有意义，
需满足即x＞0，
因此定义域为{x|x＞0}；
B中函数的定义域为{x|x≠0，x∈R}；
C中函数的定义域为R；
对于D，要使函数有意义，需满足即x＝0，因此定义域为{x|x＝0}．
答案：A
4．用区间表示下列数集．
(1){x|x≥2}＝________；
(2){x|3＜x≤4}＝________；
(3){x|x＞1且x≠2}＝________．
解析：由区间的定义，可将集合写成相应区间．
答案：(1)[2，＋∞) (2)(3，4] (3)(1，2)∪(2，＋∞)
5．(2012·广东高考)函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数有意义，需使所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
6．某农场的防洪大堤的横断面是上底为a＝3 m的梯形，梯形的高h随地势在1 m到5 m间变化，下底b和高h之间有关系b＝a＋4h.
(1)试用解析表达式将横断面面积表示为堤高的函数；
(2)确定函数的定义域和值域．
解：(1)设h＝x m，y＝S(x)(单位：m2)表示大堤的横断面面积，根据题意和梯形面积公式可得函数的解析表达式：
y＝S(x)＝
＝
＝x(3＋2x)
＝2x2＋3x.
(2)根据题意函数的定义域为[1，5]，
由S(x)＝2x2＋3x＝2(x＋)2－，x∈[1，5]，
得S(x)∈[5，65]，
函数的值域为[5，65]．
一、选择题
1．下列各组函数是同一函数的是( )
A．y＝(3x－2)0与y＝1
B．y＝2x＋3与y＝
C．y＝与y＝x＋2
D．y＝与y＝2x－1
解析：对于A，y＝(3x－2)0＝1但其定义域为{x|x≠}．而y＝1定义域为R，故A不正确．
对于B，y＝＝|2x＋3|，其与y＝2x＋3对应关系不同．
对于C，y＝与y＝x＋2，定义域不同．
对于D，y＝＝2x－1，与y＝2x－1一致．
答案：D
2．y＝f(x)的图像如图，则函数的定义域是( )
A．[－5，6)
B．[－5，0]∪[2，6]
C．[5，0)∪[2，6)
D．[－5，0]∪[2，6)
解析：由图像结合函数定义域的定义知，x∈[－5，0]∪[2，6)．
答案：D
3．函数f(x)＝＋的定义域为( )
A．(，7] B．(－∞，17]
C．[，＋∞) D．[，7]
解析：要使函数有意义，需解得：≤x≤7，
所以函数的定义域为[，7]．
答案：D
4．给出函数f(x)，g(x)如下表，则f(g(x))的值域为( )
x 1 2 3 4
f(x) 4 3 2 1
x 1 2 3 4
g(x) 1 1 3 3
A.{4，2} B．{1，3}
C．{1，2，3，4} D．以上情况都有可能
解析：由表中的对应关系可知，f(g(1))＝f(g(2))＝f(1)＝4，f(g(3))＝f(g(4))＝f(3)＝2，∴f(g(x))的值域为{4，2}．
答案：A
二、填空题
5．已知函数f(x)＝x2＋|x－2|，则f(f(1))＝________．
解析：f(1)＝12＋|1－2|＝1＋1＝2，
∴f(f(1))＝f(2)＝22＋|2－2|＝4.
答案：4
6．有下列三个命题
①y＝|x|，x∈{－2，－1，0，1，2，3}，
则它的值域是{0，1，4，9}；
②y＝，则它的值域为R；
③y＝，则它的值域为{y|y≥0}．
其中正确的命题的序号是________．
解析：对于①，当x＝－2，－1，0，1，2，3时，
|x|＝2，1，0，1，2，3.
∴函数的值域为{0，1，2，3}．故①不正确；
对于②，y＝＝x＋1(x≠1)，
∴x＝y－1≠1，∴y≠2.
即值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．∴②不正确；
对于③，y＝≥0，∴值域为[0，＋∞)，③正确．
答案：③
7．函数f(x)＝的定义域是________．
解析：要使函数有意义，须使
即0≤x≤1且x≠.
∴f(x)的定义域为[0，)∪(，1]．
答案：[0，)∪(，1]
8．已知函数f(x)＝满足f(f(x))＝x，则c＝________．
解析：∵f(f(x))＝f＝＝x，
化简，得(2c＋6)x2＋9x＝c2x，
∴∴c＝－3.
答案：－3
三、解答题
9．如图所示，用长为L的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆形的半径为x，求此框架围成的图形的面积y与x的函数关系式y＝f(x)，并写出它的定义域．
解：由已知得AB＝2x，CD的长为πx，
则AD＝，
故y＝2x·＋，
即y＝－x2＋Lx.
由得0所以函数的定义域为(0，)．
10．已知函数f(x)＝.
(1)分别计算f(2)＋f()，f(3)＋f()，f(4)＋f()的值；
(2)由(1)你发现了什么结论？并加以证明；
(3)利用(2)中结论计算f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．
解：(1)f(2)＋f()＝＋＝1，
f(3)＋f()＝＋＝1，
f(4)＋f()＝＋＝1；
(2)由(1)知f(x)＋f()＝1，
证明如下．
f(x)＋f()＝＋
＝＋
＝
＝1.
(3)原式＝f(1)＋{[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋…＋f(2 013)＋f()}
＝＋2 012
＝.
2．2 函数的表示法
[读教材·填要点]
1．函数的表示法
表示法 定义 优点 缺点
列表法 用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法 不通过计算就能知道两个变量之间的对应关系 只能表示有限个元素之间的函数关系
图像法 用图像把两个变量间的函数关系表示出来的方法 能直观地表示函数局部变化规律，进而预测它的整体趋势 只能近似地求出自变量的值所对应的函数值，有时误差较大
解析法 函数的对应关系可以用自变量的解析表达式(简称解析式)表示出来的方法 能较便利地通过计算手段研究函数的性质 一些实际问题很难找到它的解析式
2．分段函数
在函数的定义域内，如果对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，那么这样的函数通常叫作分段函数．
[小问题·大思维]
1．同一个函数是否可以同时用列表法、图像法、解析法三种方法表示？
提示：不一定，如函数y＝x，x∈R.就无法用列表法表示．
2．函数的图像一定是连续不断的曲线吗？
提示：不一定．因为函数定义域的不同，图像可以是曲线的一部分、折线，也可以是一群孤立的点或由几段曲线组合而成．
3．分段函数由几部分组成就是几个函数吗？为什么？
提示：不是，因为分段函数是一个函数，只是同一个函数在不同范围内的对应关系不同．
[研一题]
[例1] 作下列函数的图像．
(1)f(x)＝(x∈N＋); (2)f(x)＝|x－1|；
(3)f(x)＝
[自主解答] (1)∵x∈N＋，∴f(x)＝(x∈N＋)的图像应是一系列孤立的点且分布在第一象限，它们都在反比例函数y＝(x>0)上，如图①.
(2)∵f(x)＝|x－1|＝
∴图像为两条射线组成的折线，如图②.
(3)这个函数的图像由两部分组成：
当0＜x＜1时，为反比例函数y＝的一段，
当x≥1时，为y＝x的一段，函数图像如图③.
[悟一法]
作函数图像的一般方法有：
(1)描点法：主要有三步：列表、描点、连线．作图像时一般应先确定函数的定义域，再化简解析式(有的要表示为分段函数)，再列表、描点画出图像，并在画图像的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点，分段函数的区间端点等．
(2)图像变换法：若函数图像可由某个基本初等函数的图像经过平移、对称、翻折得到，可利用图像变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形．
(3)直接法：当函数解析式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，可直接作出图像，但必须考虑它的定义域，确保图像的完整．
[通一类]
1．作出下列函数的图像：
(1)f(x)＝－(x∈N＋)；(2)f(x)＝
(3)y＝|x－1|＋x.
解：(1)∵x∈N＋，
∴f(x)是第四象限内的一系列孤立的点．
其图像如图①所示．
(2)f(x)的图像如图②所示．
(3)y＝图像如图③所示．
[研一题]
[例2] (1)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(2)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)；
(3)已知f(x)满足2f(x)＋f()＝3x，求f(x)的解析式．
[自主解答] (1)由题意可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)
＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b
＝ax＋b＋5a
＝2x＋17，
∴
∴a＝2，b＝7.∴f(x)＝2x＋7.
(2)法一(配凑法)：
∵f(＋1)＝x＋2＝(＋1)2－1(＋1≥1)，
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
法二(换元法)：
令＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2(t≥1)，
∴f(t)＝(t－1)2＋2＝t2－1(t≥1)．
∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
(3)∵2f(x)＋f()＝3x (x≠0)，
以换x得2f()＋f(x)＝，
以上两式消去f()，
得f(x)＝2x－ (x≠0)．
[悟一法]
求函数的解析式常见的方法有：
(1)待定系数法：若已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)求解，如例2(1).
(2)换元法：已知形如y＝f(φ(x))的函数，求f(x)时，可设φ(x)＝t，再用t表示x，代入y＝f(φ(x))中，即可得f(x)的解析式，如例2(2)．要注意t的取值集合为所求函数的定义域．
(3)消元法：主要针对抽象函数，如例2(3)，即若给出的条件中有f(x)、f()、f(－x)等形式，可将式子中的x用－x，等代换，得到另一方程，再通过消元法解方组得f(x)．
另外还有赋值法等，求出解析式后，应注意函数的定义域．
[通一类]
2．已知函数y＝f(x)的图像由两条射线和抛物线的一部分组成，求函数解析式．
解：当x＜－1时．设y＝kx＋b.
因为过点(－2，－1)和(－1，0)，
∴有解得
∴y＝x＋1，(x＜－1)，
同理可求当－1≤x≤1时，y＝x2－1，
当x＞1时，y＝－x＋1.
综上所述：y＝f(x)＝
[研一题]
[例3] (1)设函数f(x)＝则f()的值为( )
A. B．－
C. D．18
(2)已知f(x)＝
①画出f(x)的图像；
②求f(x)的定义域和值域；
③解不等式f(x)＞x.
[自主解答] (1)∵2＞1，∴f(2)＝22＋2－2＝4，
∴＝；
又＜1，∴f()＝1－()2＝.
(2)①函数f(x)的图像如右图所示；
②由条件知，函数f(x)的定义域为R.
由图像知，当|x|≤1时，
f(x)＝x2的值域为[0，1]，
当|x|＞1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0，1]．
③由图像知：不等式f(x)＞x的解集为{x|x＜0}．
[悟一法]
(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得，当不明确时要分类讨论．
(2)分段函数的解析式因其特点可以分成两个或两个以上的不同解析式，所以它的图像也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，而分段函数的定义域与值域的最好的求法也是“图像法”，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是分别求出各段上的值域的并集．
[通一类]
3．若f(x)＝
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)若f(a)＝－1，求a的值．
解：(1)∵5＞4，∴f(5)＝－5＋2＝－3.
∵－3＜0，∴f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1，
又∵0＜1＜4，∴f(f(f(5)))＝f(1)＝1－2＝－1.
(2)当a＋4＝－1时，a＝－5＜0，
∴a＝－5符合题意；
当a2－2a＝－1时，a＝1，
∵0＜1＜4，∴a＝1符合题意；
当－a＋2＝－1时，a＝3＜4，
∴a＝3不符合题意．
∴a＝－5或a＝1.
求函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域．
[解] 法一：∵函数y＝|x＋1|＋|x－2|表示数轴上的动点x到两定点－1，2的距离之和，如图所示，易知y的最小值是3，∴函数的值域是[3，＋∞)．
法二：将函数化为分段函数形式：
y＝
画出它的图像如图，由图像可知，函数的值域是[3，＋∞)．
[点评] 两种方法均采用“数形结合”．法二中利用函数图像的几何性质求函数的最值，只需找到图像上的最高点或最低点，如果没有最高点，说明函数没有最大值；如果没有最低点，说明函数没有最小值．
1．函数f(x)＝x＋的图像是( )
解析：∵f(x)＝∴应选C.
答案：C
2．(2012·江西高考)设函数f(x)＝，则f(f(3))＝( )
A. B．3
C. D.
解析：∵f(3)＝，∴f(f(3))＝()2＋1＝.
答案：D
3．若f(x－1)＝x，则f(1)等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：令x－1＝t，则x＝t＋1，
∴f(t)＝t＋1，即f(x)＝x＋1.
∴f(1)＝1＋1＝2.
答案：C
4．函数f(x)是一次函数，f(1)＝2，f(2)＝1，则f(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴f(x)＝－x＋3.
答案：f(x)＝－x＋3
5．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出
则f(g(1))的值为________；
满足f(g(x))>g(f(x))的x的值是________．
解析：f(g(1))＝f(3)＝1.
x 1 2 3
f(g(x)) 1 3 1
g(f(x)) 3 1 3
故f(g(x))>g(f(x))的解为x＝2.
答案：1 2
6．某商场新进了10台彩电，每台售价3 000元，试求售出台数x(台)与收款总额y(元)之间的函数关系，分别用列表法、图像法、解析法表示出来．
解：(1)列表法：
x(台) 1 2 3 4 5
y(元) 3 000 6 000 9 000 12 000 15 000
x(台) 6 7 8 9 10
y(元) 18 000 21 000 24 000 27 000 30 000
(2)图像法：
(3)解析法：y＝3 000x(x∈N＋，且1≤x≤10)．
一、选择题
1．函数y＝|x＋1|的图像是( )
解析：y＝|x＋1|＝
由解析式可知，A项符合题意．
答案：A
2．设函数f(x)＝则f(f(f(－1)))＝( )
A．0 B．1
C．－1 D．2
解析：∵f(－1)＝1，∴f(f(－1))＝f(1)＝－1.
∴f(f(f(－1)))＝f(－1)＝1.
答案：B
3．已知f()＝，那么函数f(x)的解析式及定义域正确的是( )
A．f(x)＝(x≠－1)
B．f(x)＝(x≠－1且x≠0)
C．f(x)＝
D．f(x)＝1＋x
解析：令t＝，则x＝(t≠0)，
∴f(t)＝＝(t≠－1)．
∴f(x)＝(x≠0且x≠－1)．
答案：B
4．图中的图像所表示的函数的解析式为( )
A．y＝|x－1|(0≤x≤2)
B．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
D．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
解析：当0≤x≤1时，设函数y＝kx，
将(1，)代入其中得k＝.
当1将(1，)和(2，0)代入得：解得：
∴y＝
即y＝
亦即y＝－|x－1|(0≤x≤2)．
答案：D
二、填空题
5．已知函数f(x)＝若f(f(0))＝4a，则实数a＝________．
解析：f(0)＝2，f(f(0))＝f(2)＝4＋2a＝4a，
∴a＝2.
答案：2
6．设f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝x＋3，则f(1)＝______．
解析：令x＝1得，f(－1)＋2f(1)＝4，
再令x＝－1得，f(1)＋2f(－1)＝2.
两式联立消去f(－1)得，f(1)＝2.
答案：2
7．已知a，b为常数，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，则5a－b＝________．
解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，
得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，
即a2x2＋2abx＋b2＋4ax＋4b＋3＝x2＋10x＋24.
比较系数，得
解得或则5a－b＝2.
答案：2
8．已知f(x)＝则f(7)＝______．
解析：f(7)＝f(f(7＋4))＝f(f(11))＝f(11－3)
＝f(8)＝f(f(8＋4))＝f(f(12))
＝f(12－3)＝f(9)
＝9－3＝6.
答案：6
三、解答题
9．已知函数y＝f(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．
解：当x≤－2时，图像为一条射线，过(－2，0)与(－4，3)，
设y＝ax＋b，将两点代入，得－2a＋b＝0，及－4a＋b＝3，解得a＝－，b＝－3，
所以它的解析式为y＝－x－3(x≤－2)；
当－2＜x＜2时，图像为一条线段(不包括端点)，它的解析式为y＝2(－2＜x＜2)；
当x≥2时，图像为一条射线，过(2，2)与(3，3)，
设y＝cx＋d，
将两点代入，得2c＋d＝2，3c＋d＝3，解得c＝1，d＝0，
所以它的解析式为y＝x(x≥2)．
综上得f(x)＝
10．甲、乙两车同时沿某公路从A地驶往300 km外的B地，甲车先以75 km/h的速度行驶，在到达AB中点C处停留2 h后，再以100 km/h的速度驶往B地，乙车始终以速度v行驶．
(1)请将甲车离A地的距离x(km)表示为离开A地时间t(h)的函数，并画出这个函数图像；
(2)若两车在途中恰好相遇两次(不包括A、B两地)，试确定乙车行驶速度v的取值范围．
解：(1)x＝
它的图像如下图①所示；
(2)由已知，乙车离开A地的距离x(km)表示为离开A地的时间t(h)的函数为x＝vt(0≤t≤)，其图像是一条线段．
由图像知，当此线段经过(4，150)时，v＝(km/h);
当此线段经过点(5.5，300)时，v＝(km/h)．
∴当＜v＜时，两车在途中相遇两次．(如上图②)．
2．3 映 射
[读教材·填要点]
1．映射
若两个非空集合A与B之间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B.A中的元素x称为原像，B中的元素y称为x的像，记作f：x→y.
2．一一映射
如果映射f：A→B满足：
(1)A中的每一个元素在B中都有唯一的像与之对应；
(2)A中的不同元素的像也不同；
(3)B中的每一个元素都有原像，
那么就称映射f：A→B是一一映射，一一映射也叫作一一对应，一一映射是特殊的映射．
3．函数与映射的区别与联系
函数是一种特殊的映射，对于映射f：A→B，当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数．在函数中，原像的集合称为函数的定义域，像的集合称为函数的值域．
[小问题·大思维]
1．映射定义中的两个非空集合A和B一定是数集吗？
提示：不一定，也可以是点集，或由图形组成的集合等．
2．在映射f：A→B中，B中的元素都有原像与之对应吗？
提示：不一定，如在映射f：A→B如图所示：
B集合中的元素5，在A集合中无原像与之对应．
3．从集合A到集合B的映射，与从集合B到集合A的映射是同一个映射吗？
提示：不是．A，B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射一般是不同的，即映射具有方向性．
[研一题]
[例1] 判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝R，B＝{非负实数}，对应法则f：y＝x2，x∈A，y∈B；
(2)A＝R，B＝{正实数}，对应法则f：y＝x2，x∈A，y∈B；
(3)A＝{x∈R|x＞0}，B＝R，对应法则f：A中的元素对应它的平方根；
(4)A＝{x|x≥2}，B＝{y|y＝x2－4x＋3}，对应法则f：y＝x－3，x∈A，y∈B.
[自主解答] (1)是映射，且是函数，但不是一一映射．因为A中的任何一个元素，在B中都能找到唯一的元素与之对应．又A、B均为非空数集，所以此映射是函数．因为x以及x的相反数在B中的对应元素相同，所以不是一一映射；
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为A中的元素0，在集合B中没有对应元素；
(3)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射．因为任何正数的平方根都有两个值，即集合A中的任何元素，在集合B中都有两个元素与之对应；
(4)当x≥2时，x－3≥－1，而y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1≥－1，因而能构成映射，且是函数，并且B中每一个元素在A中都有唯一的一个原像，所以又是一一映射．
[悟一法]
判断对应f：A→B是否为A到B的映射，应注意两点：
(1)明确集合A、B中的元素；
(2)判断A中的每一个元素是否在集合B中有唯一的元素与之相对应，若进一步判断是否为一一映射，还需要注意B中的每个元素在A中是否有原像，集合A中的不同元素对应的像是否相同．
[通一类]
1．下列对应是不是从A到B的映射？
(1)A＝R，B＝{正实数}，f：x→|x|；
(2)A＝{x|x≥2，x∈N＋}，B＝{y|y≥0，y∈Z}，f：x→y＝x2－2x＋2；
(3)A＝{x|x＞0}，B＝{y|y∈R}，f：x→y＝±.
解：(1)中，当x＝0∈A时，|x|＝0 B，即A中的元素0按对应法则f：x→|x|在B中没有像，∴(1)不是映射；
(2)中，∵y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1≥0，
∴对任意的x，总有y≥0.
又当x≥2，且x∈N＋时，x2－2x＋2必为整数，即y∈Z.由A＝{x|x≥2，x∈N＋}，
B＝{y|y≥0，y∈Z}知，
当x∈A时，x2－2x＋2∈B，
∴对A中每一个元素x，按对应法则f：x→y＝x2－2x＋2在B中都有唯一的y与之对应，∴(2)是映射；
(3)中，对任意的x∈A＝{x|x＞0}，按对应法则f：x→y＝±，存在两个y∈B＝{y|y∈R}，即y＝和y＝－与之对应，∴(3)不是映射.
[研一题]
[例2] 已知映射f：A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}．f：(x，y)→(x＋2y＋2，4x＋y)．
(1)求A中元素(5，5)的像；
(2)求B中元素(5，5)的原像．
[自主解答] (1)当x＝5，y＝5时，
x＋2y＋2＝17，4x＋y＝25.
故A中元素(5，5)的像是(17，25)；
(2)令得
故B中元素(5，5)的原像是(1，1)．
[悟一法]
(1)解答此类问题的关键是：
①分清原像和像；
②搞清楚由原像到像的对应关系．
(2)对于A中的元素求像，只需将原像代入对应关系即可，对于B中元素求原像，可先设出它的原像，然后利用对应关系列出方程(组)求解即可．
[通一类]
2．(1)从R到(0，＋∞)的映射f：x→|x|＋1，则R中的元素－1在(0，＋∞)中的像是________，(0，＋∞)中的元素4在R中的原像是________．
(2)在给定的映射f：(x，y)→(x＋y，x－y)下，则点(1，2)在f下的像是________，点(1，2)在f下的原像是________．
解析：(1)当x＝－1时，|x|＋1＝2，
当|x|＋1＝4时，x＝±3.
(2)把(1，2)代入(x＋y，x－y)中得点(3，－1)；
令得
答案：(1)2 ±3 (2)(3，－1) (，－)
[研一题]
[例3] 已知A＝{a，b，c}，B＝{－1，0，1}，映射f：A→B满足f(a)·f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
[自主解答] 由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，0，1}，
故f(a)·f(b)＝f(c)时，f(a)、f(b)、f(c)取值的情况如表所示：
f(a) f(b) f(c)
1 －1 －1
－1 1 －1
1 1 1
－1 －1 1
－1 0 0
0 －1 0
0 0 0
1 0 0
0 1 0
由表可知这样的映射有9个．
若将本例中f(a)·f(b)＝f(c)变为f(a)＋f(b)＝f(c)，则映射个数有多少？
解：由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，0，1}，故符合f(a)＋f(b)＝f(c)条件的f(a)、f(b)、f(c)的取值情况如表所示：
f(a) 0 1 0 －1 0 1 －1
f(b) 0 0 1 0 －1 －1 1
f(c) 0 1 1 －1 －1 0 0
由上表可知，所求映射有7个．
[悟一法]
对于两个集合间映射个数的问题，常见的题目有两类，一类是给定两个集合A，B，问由A→B可建立的映射的个数．这类问题与A，B中元素的个数有关系．一般地，若A中有m个元素，B中有n个元素，则从A→B共有nm个不同的映射．另一类是含条件的映射个数的确定如本例．解决这类问题一定要注意对应关系所满足的条件，要采用分类讨论的思想方法来解决．
[通一类]
3．已知集合A＝{a，b，c}，B＝{－1，1，2}，映射f：A→B，
(1)求映射f：A→B的个数；
(2)若f：A→B满足f(a)＋f(b)＝f(c)，求映射f：A→B的个数．
解：(1)根据映射的定义，集合A中的每一个元素．在集合B中都有唯一的像，所以f：A→B可构成不同映射的个数为33＝27(个)；
(2)由于f(a)、f(b)、f(c)∈{－1，1，2}，故符合f(a)＋f(b)＝f(c)条件的f(a)，f(b)，f(c)的取值情况如表所示：
f(a) f(b) f(c)
1 1 2
－1 2 1
2 －1 1
由上表可知，所求的映射有3个.
设集合A和B都是自然数集合N，映射f：A→B把集合A中的元素n映射到集合B中的元素2n＋n，则在映射f作用下，像20的原像是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[巧思] 抓住A、B都是自然数集合，对不能用基本方法解决的方程2n＋n＝20进行分类讨论求解．
[妙解] 依题意得2n＋n＝20，分别用n＝2，3，4，5代入．
当n＝2时，22＋2≠20，排除A；
当n＝3时，23＋3≠20，排除B；
当n＝5时，25＋5≠20，排除D；
当n＝4时，24＋4＝20，C正确．
[答案] C
1．设f：A→B是从A到B的映射，那么下列说法正确的是( )
A．A中任何不同的元素必有不同的像
B．A中任何一个元素在B中的像是唯一的
C．B中任何一个元素在A中必有原像
D．B中一定存在元素在A中没有原像
答案：B
2．设A＝{a，b，c}，B＝{x，y，z}，下面从A到B的对应中是从A到B的映射的有( )
A．①②③ B．①③④
C．①②④ D．②③④
答案：A
3．下列各组中，集合P与M能建立一一映射的是( )
A．P＝{0}，M＝
B．P＝{1，2，3，4，5}，M＝{2，4，6，8}
C．P＝{有理数}，M＝{有序实数对}
D．P＝{平面上的点}，M＝{有序实数对}
答案：D
4．下列对应f是从集合A到集合B的函数是________．
(1)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；
(2)A＝Z，B＝{－1，1}，n为奇数时，f(n)＝－1；n为偶数时，f(n)＝1；
(3)A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1.
解析：对于(1)，集合A中的元素没有剩余，即A中的任何一个元素在B中都有唯一确定的像，同时集合A和B都是数集，可知对应f是集合A到集合B的函数；
同理，对于(2)，对应f也是集合A到集合B的函数；
对于(3)，由于f(3)＝2×3－1＝5B，即集合A中的元素3在集合B中没有像．∴对应f不是集合A到集合B的函数．
答案：(1)(2)
5．根据下列所给的对应关系，回答问题．
①A＝N＋，B＝Z，f：x→y＝3x＋1，x∈A，y∈B；
②A＝{x|x为高一(2)班的同学}，B＝{x|x为身高}，f：每个同学对应自己的身高；
③A＝R，B＝R，f：x→y＝，x∈A，y∈B.
上述三个对应关系中，是映射的是________，是函数的是________．
解析：①对x∈A，在f：x→y＝3x＋1作用下在B中都有唯一的像，因此能构成映射，又A、B均为数集，因而能构成函数；对于②可以构成映射，但A、B不是数集，故构不成函数关系；对于③A中的元素－1在B中无元素与之相对应，故构不成映射，也构不成函数关系．
答案：①② ①
6．已知(x，y)在f作用下的像是(x＋y，xy)．
(1)求(－2，3)在f作用下的像；
(2)求(2，－3)在f作用下的原像．
解：(1)∵x＝－2，y＝3，∴x＋y＝－2＋3＝1，
xy＝(－2)×3＝－6.
∴(－2，3)在f作用下的像是(1，－6)；
(2)易知解得
∴(2，－3)在f作用下的原像是(3，－1)和(－1，3)．
一、选择题
1．已知集合A＝{a1，a2}，集合B＝{－1，1}，下列对应不是A到B的映射的是( )
解析：A、B、D均满足映射定义，C不满足任一A中元素在B中有唯一元素与之对应．
答案：C
2．已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{y|0≤y≤2}，下列由A到B的对应：①f：x→y＝x，②f：x→y＝，③f：x→y＝－|x|.④f：x→y＝x－2.
其中能构成映射的是( )
A．①② B．①③
C．③④ D．②④
解析：对于①，当0≤x≤4时，0≤x≤2，显然对于A中的任意元素x，B中有唯一的元素y与之对应，是映射；
对于②，也符合映射的定义；
对于③，0≤x≤4时，－4≤－|x|≤0，
显然－|x| (0，2]，不是映射；
对于④，0≤x≤4时，－2≤x－2≤2，当0≤x<2时，B中没有像与之对应，也不符合映射的定义．
故只有①②正确．
答案：A
3．设集合A，B都是坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在f下，像(2，1)的原像为( )
A．(3，1) B.
C. D．(1，3)
解析：∵∴
答案：B
4．集合A＝{a，b}，B＝{－1，0，1}从A到B的映射f：A→B满足f(a)＋f(b)＝0，那么这样的映射f：A→B的个数有( )
A．2个 B．3个
C．5个 D．8个
解析：由f(a)，f(b)∈{－1，0，1}，且f(a)＋f(b)＝0知，这样的映射有：
共3个．
答案：B
二、填空题
5．f：A→B是集合A到集合B的映射，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：(x，y)→(kx，y＋b)，若B中的元素(6，2)，在此映射下的原像是(3，1)，则k＝________，b＝______．
解析：由解得
答案：2 1
6．设A到B的映射f1：x→2x＋1，B到C的映射f2：y→y2－1，则A到C的映射f：________．
解析：x→(2x＋1)2－1＝4x2＋4x.
答案：x→4x2＋4x
7．已知集合A到集合B＝{0，1，，}的映射f：x→，那么集合A中的元素最多有________个．
解析：∵|±1|＝1，
∴和B集合中的1对应的元素可以是±1.
而当x＝±2时，＝，当x＝±3时，＝，
又不可能有x使＝0，
∴集合A中元素最多有6个．
答案：6
8．已知映射f：A→B，其中A＝R＝B，对应法则f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中不存在原像，则k的取值范围是________．
解析：∵y＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1，∴y≤1，即像的集合为(－∞，1]
∵k∈B时，在集合A中不存在原像，即k不在像的集合内．
∴k＞1.
答案：(1，＋∞)
三、解答题
9．判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射，其中哪些是一一映射？哪些是函数？为什么？
(1)A＝{1，2，3，4}，B＝{3，4，5，6，7，8，9}，对应关系f：x→2x＋1；
(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系是“作圆的内接矩形”；
(3)A＝{1，2，3，4}，B＝{1，，，}，对应关系f：x→.
解：(1)是映射也是函数，但不是一一映射．因为数集A中的元素x按照对应关系f：x→2x＋1和数集B中的元素2x＋1对应，这个对应是数集A到数集B的映射，也是函数，但B中的元素4，6，8没有原像，不能构成一一映射；
(2)不是从集合A到集合B的映射，更不是函数或者一一映射，因为一个圆有无穷多个内接矩形，即集合A中任何一个元素在集合B中有无穷多个元素与之对应；
(3)是A到B的映射，也是函数和一一映射．
10．已知映射f：A→B中，A＝B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，f：A中的元素(x，y)对应到B中的元素(3x－2y＋1，4x＋3y－1)．
(1)是否存在这样的元素(a，b)使它的像仍是自己？若存在，求出这个元素；若不存在，说明理由．
(2)判断这个映射是不是一一映射．
解：(1)假设存在元素(a，b)使它的像仍是(a，b)
由得a＝0，b＝.
∴存在元素(0，)使它的像仍是自己；
(2)对任意的(a，b)(a∈R，b∈R)，
方程组有唯一解，
这说明对B中任意元素(a，b)在A中有唯一的原像，
所以映射f：A→B是A到B上的一一映射．