湘教版数学七年级下册课课练：专题训练 相交线与平行线中的思想方法（含解析）

专题训练相交线与平行线中的思想方法
　类型一　方程思想
1.如图,直线AB和CD相交于点O,OE把∠AOC分成两部分,且∠AOE∶∠EOC=2∶5.若OF平分∠BOE,∠BOF=∠AOC+10°,求∠EOF的度数.
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOC,OF平分∠DOE.
(1)若∠AOC=50°,求∠EOF的度数;
(2)若∠BOF=15°,求∠AOC的度数.
　类型二　转化思想
3.如图,A,B,C三点在同一直线上,∠1=∠2,∠3=∠D.试说明:BD∥CE.
4.如图,AC⊥BC,CD∥FG,∠1=∠2.试说明:DE⊥AC.
　类型三　分类思想
5.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOD=2∠BOD+60°.
(1)求∠BOD的度数;
(2)以O为端点引射线OE,OF,射线OE平分∠BOD,且∠EOF=90°,求∠BOF的度数.
6.如图,已知直线c,d和直线a,b分别交于点A,B和点D,C,点P在直线c上运动(点P不与点A,B重合).
(1)若点P在A,B两点之间运动,则当∠PDA,∠DPC和∠PCB之间满足什么数量关系时,a∥b 请说明理由;
(2)若点P在A,B两点外侧运动,则当∠PDA,∠DPC和∠PCB之间满足什么数量关系时,a∥b(直接写出结论即可)
　类型四　由特殊到一般的思想
7.如图,点D在BC的延长线上,CE平分∠ACD,BE平分∠ABC.
(1)试说明:∠A=2∠E;
(2)若∠A=∠ABC,试说明:AB∥CE.
8.将一副三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起(其中∠A=60°,∠D=30°,∠E=∠B=45°).
(1)①若∠DCE=45°,则∠ACB的度数为　　　　;
②若∠ACB=140°,则∠DCE的度数为　　　　.
(2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
答案
1.解:设∠AOE=2α,则∠EOC=5α,
所以∠AOC=∠AOE+∠EOC=7α,
所以 ∠BOF=∠AOC+10°=7α+10°.
因为OF平分∠BOE,
所以∠EOF=∠BOF=∠BOE=(180°-∠AOE)=(180°-2α),
所以7α+10°=(180°-2α),
解得α=10°,
所以∠EOF=∠BOF=70°+10°=80°.
2.解:(1)因为∠AOC=50°,
所以∠BOC=180°-50°=130°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠EOC=∠BOC=65°,
所以∠DOE=180°-∠EOC=180°-65°=115°.
因为OF平分∠DOE,
所以∠EOF=∠DOE=57.5°.
(2)设∠AOC=∠BOD=α,
则∠DOF=∠BOD+∠BOF=α+15°.
因为OF平分∠DOE,
所以∠EOF=∠DOF=α+15°,
所以∠EOB=∠EOF+∠BOF=α+30°.
因为OE平分∠BOC,
所以∠BOC=2∠EOB=2α+60°.
因为∠BOC+∠BOD=180°,
所以2α+60°+α=180°,
解得α=40°,即∠AOC=40°.
3.解:因为∠1=∠2,
所以AD∥BE(内错角相等,两直线平行),
所以∠D=∠DBE(两直线平行,内错角相等).
又因为∠3=∠D,
所以∠3=∠DBE(等量代换),
所以BD∥CE(内错角相等,两直线平行).
4.解:因为CD∥FG,所以∠2=∠DCB.
又因为∠1=∠2,所以∠1=∠DCB,
所以DE∥BC.
因为AC⊥BC,所以DE⊥AC.
5.解:(1)设∠BOD=x,则∠AOD=2x+60°.因为∠AOD+∠BOD=180°,
所以2x+60°+x=180°,解得x=40°,
所以∠BOD=40°.
(2)如图.
由OE平分∠BOD,得∠BOE=∠BOD=×40°=20°,
所以∠BOF'=∠EOF'+∠BOE=90°+20°=110°,∠BOF=∠EOF-∠BOE=90°-20°=70°,所以∠BOF的度数为110°或70°.
6.解:(1)当∠PDA+∠PCB=∠DPC时,a∥b.
理由:如图,过点P作PM∥a,
所以∠PDA=∠DPM.
因为∠PDA+∠PCB=∠DPC,∠DPM+∠MPC=∠DPC,
所以∠PCB=∠MPC,所以PM∥b.
又因为PM∥a,所以a∥b.
(2)若点P在点A上方运动,则当∠PCB-∠PDA=∠DPC时,a∥b;若点P在点B下方运动,则当∠PDA-∠PCB=∠DPC时,a∥b.
7.解:(1)如图.因为BE平分∠ABC,
所以∠1=∠4=∠ABC.
因为CE平分∠ACD,
所以∠2=∠3=∠ACD.
因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
所以∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2∠1-∠ACB.
因为∠E+∠1+∠BCE=180°,
所以∠E=180°-∠1-∠BCE=180°-∠1-∠ACB-∠3=180°-∠1-∠ACB-∠ACD=180°-∠1-∠ACB-(180°-∠ACB)=180°-∠1-∠ACB-90°+∠ACB=90°-∠1-∠ACB,所以∠A=2∠E.
(2)由(1)可知∠A=2∠E.
因为∠A=∠ABC,∠ABC=2∠4,
所以2∠E=2∠4,所以∠E=∠4,
所以AB∥CE.
8.解:(1)①135°　②40°
(2)∠ACB+∠DCE=180°.
理由:因为∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB,
所以∠ACB+∠DCE=90°+∠DCB+∠DCE=90°+90°=180°.