湘教版数学七年级下册课课练：专题训练 因式分解的方法和应用（含解析）

专题训练 因式分解的方法和应用
　类型一　整体思想
1.小明是一个善于思考的同学,在做到多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4的因式分解时,观察发现两个括号中都含有x2-4x,于是他想到设x2-4x=y.
请你按照小明同学的思路尝试对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解.
　类型二　转化思想
2.因式分解:a2(x-y)+9b2(y-x).
3.因式分解:(y2-1)2+6(1-y2)+9.
　类型三　分组分解
4.小明同学把多项式x2-xy+4x-4y因式分解的过程如下:
x2-xy+4x-4y
=(x2-xy)+(4x-4y)(分成两组)
=x(x-y)+4(x-y)(直接提公因式)
=(x-y)(x+4).
请你在小明同学解法的启发下,把下列各式因式分解:
(1)m2-mn+mx-nx;
(2)x2-2xy+y2-9.
　类型四　十字相乘
5.阅读与思考:
整式乘法与因式分解是方向相反的变形.
由(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq,得x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q),利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解.
例如:将多项式x2+3x+2因式分解.
分析:这个多项式的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2,所以x2+3x+2=x2+(1+2)x+1×2.
解:x2+3x+2=(x+1)(x+2).
请仿照上面的方法,解答下列问题:
(1)因式分解:x2+7x+12=　　　　;
(2)因式分解:(x2-3)2+(x2-3)-2;
(3)填空:若x2+px-8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能的值是　　　　.
6.(2020雅安)若(x2+y2)2-5(x2+y2)-6=0,则x2+y2=　　　　.
7.把下列各式因式分解:
(1)x2+5x+6; (2)x2y2-3xy+2.
答案
1.解:设x2-4x=y,
则原式=(y+2)(y+6)+4=y2+8y+12+4=(y+4)2,
即原式=(x2-4x+4)2=(x-2)4.
2.解:原式=(x-y)(a2-9b2)
=(x-y)(a+3b)(a-3b).
3.解:原式=(y2-1)2-6(y2-1)+9=(y2-1-3)2=(y+2)2(y-2)2.
4.解:(1)m2-mn+mx-nx=(m2-mn)+(mx-nx)=m(m-n)+x(m-n)=(m-n)(m+x).
(2)x2-2xy+y2-9=(x2-2xy+y2)-9=(x-y)2-32=(x-y+3)(x-y-3).
5.解:(1)(x+3)(x+4)
(2)原式=(x2-3-1)(x2-3+2)
=(x2-4)(x2-1)
=(x+2)(x-2)(x+1)(x-1).
(3)±7,±2　 若x2+px-8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是-8+1=-7;-1+8=7;-2+4=2;-4+2=-2.
故答案为±7,±2.
6. 6
设x2+y2=z,则原方程转化为z2-5z-6=0,(z-6)(z+1)=0,所以z=6或z=-1,所以x2+y2=6或x2+y2=-1.
因为x2+y2≥0,
所以x2+y2=6.故答案为6.
7.解:(1)原式=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(2)原式=(xy)2-3xy+2=(xy)2-(1+2)xy+1×2=(xy-1)(xy-2).