江西省新余市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试数学试题（Word版含答案）

新余市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.命题“，”的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.已知复数，其中是虚数单位，则复数等于（ ）
A.3 B. C.10 D.
3.若不等式的解集为，则的值为（ ）
A. B.5 C. D.6
4.如图所示，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
5.已知角的终边在直线上，则（ ）
A. B. C. D.
6.若，，，则正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在棱长为1的正方体中，、分别是棱、的中点，是侧面上一点，若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（ ）
A.无论、、如何，总是无解 B.无论、、如何，总有唯一解
C.存在、、，使之恰有两解 D.存在、、，使之有无穷多解
二、多选题（每小题5分，共20分）
9.定义在上的偶函数，当时，且单调递增，下列四个结论其中正确的结论是（ ）
A.当时，有 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递减
10.下列说法正确的是（ ）
A.能表示过点且斜率为的直线方程
B.在轴，轴上的截距分别为，的直线方程为
C.直线与轴的交点到原点的距离为
D.过两点，的直线方程为
11.已知函数的图象关于点对称，且在区间上是单调函数，则以下（ ）可能是的值.
A. B.4 C. D.
12.在正方体中，棱长为1，点为线段上的动点（包含线段端点），则下列结论正确的是（ ）
A.当时，平面
B.当为中点时，四棱锥的外接球表面积为
C.的最小值为
D.当时，点是的重心
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知直线：与：平行，则______.
14.过点，且在轴上的截距等于在轴上的截距的2倍的直线的一般方程是______.
15.已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，求的最小值______.
16.在平面直角坐标系内，为坐标原点，对于任意两点，，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为______.
四、解答题（共70分）
17.（本小题10分）在平面直角坐标系中，已知，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围
18.（本小题12分）已知的内角，，的对边分别为，，.若______.
（请从①；②；③这三个条件中任选一个填入上空）
（1）求角；
（2）若时，求周长的最大值.
19.（本小题12分）已知圆过点，，且圆心在直线：上.
（1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.
（2）若点在直线上运动，求的最小值.
20.（本小题12分）已知函数为奇函数，且当时，
（1）求的解析式；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，记方程在上的根从小到大依次为，，….试确定的值，并求的值.
21.（本小题12分）如图，已知四棱锥，底面是矩形，，.点是棱上一动点（不含端点）.
（1）求证：平面平面；
（2）当且时，若直线与平面所成的线面角，求点的运动轨迹的长度.
22.（本小题12分）在平面直角坐标系中，过点且互相垂直的两条直线分别与圆：交于点，，与圆：交于点，.
（1）若，求直线的一般方程；
（2）若的中点为，求面积的取值范围.
新余市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试卷参考答案
一、单选题 （每小题5分，共40分）
1. 【答案】D【详解】解：命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题即
2. 【答案】D【详解】，故
3.【答案】A【详解】解：不等式的解集为，
即方程的解为
由方程的根与系数的关系可得，解得，
4. 【答案】A【详解】因为点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，
所以，
5.【答案】B【详解】解：因为角的终边在直线上，所以，
所以
6.【答案】C
7.【答案】B
点的轨迹为线段．在中，．
在中，．同理，在中，可得，所以，为等腰三角形．设的中点为，连接．当点位于的中点处时，，此时最短；当点位于、处时，最长．易求得，
8.【答案】B【详解】由题意，点与是直线（为常数）上两个不同的点，直线的斜率存在，所以，即，且，所以，
由方程组，可得：，即，
所以方程组有唯一的解．
二、多选题（每小题5分，共20分）
9. 【答案】AC【详解】解： A偶函数的图象关于轴对称，，时，，所以当，时，有，故A正确；B偶函数的图象关于轴对称，，时，为增函数，所以在，上单调递减，故B错误；C函数是偶函数，．由B知在，上单调递减，故C正确；D的图象是将下方的图象，翻折到轴上方，由于在，上单调递减，所以在，上单调递增，故D错误.综上可知，正确的结论是AC故选：AC．
10．【答案】 C D【详解】＝k表示过点M（x1，y1）且斜率为k的直线去掉点，A错误；
在x轴，y轴上的截距分别为a，b，只有时，直线方程为，B错误；
直线y＝kx+b与y轴的交点坐标是，交点到原点的距离为，C正确；
过两点A（x1，y1）B（x2，y2）的直线，当时，直线方程为，变形为，当时，直线方程为，也适合方程，
所以D正确．
11. 【答案】ABC【详解】解：由已知，，则，，即，，
又函数在区间上是单调函数，可知，即，解得，所以当时，，当时，，当时，，满足题意，即或4或.
12. 【答案】ACD
【详解】解：对于A，连接，，
则，，，设点到平面的距离为，则，解得，
所以，则当时，为与平面的交点，
又，平面，平面，所以平面，同理可证平面，，平面，所以平面平面，平面，所以平面，故选项A正确；对于B，当点为的中点时，四棱锥为正四棱锥，
设平面的中心为，四棱锥的外接球半径为，
则，解得，所以四棱锥的外接球表面积为，
故选项B错误；对于C，连接，，则，所以，
由等面积法可得，的最小值为，所以的最小值为，
故选项C正确．对于D，由以上分析可得，当时，即三棱锥的高，
所以平面，又三棱锥为正三棱锥，所以点是的重心，
故选项D正确；
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 【答案】
14.解析：①当在x轴、y轴上的截距都是0时，设所求直线方程为，
将代入中，得，此时直线方程为，即.
②当在x轴、y轴上的截距都不是0时，设所求直线方程为，
将代入中，得，此时直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或
15、【详解】解：因为是幂函数， 所以，解得或．又在上单调递减，所以．可知，则，
当且仅当，时取等号．
16.解析：对于B选项，设点，则，当，时，则；当，时，则；当，时，则；当，时，则.
作出点的轨迹如下图所示：
由图可知，点的轨迹是边长为的正方形，故动点的轨迹长度为，
四、解答题（共70分）
17.【解析】（Ⅰ），，，
，
，，解得；…………（5分）
（Ⅱ），，
向量与向量的夹角为钝角，则，
解得.若，则，则实数的取值范围是…………（10分）
18. 【解析】【小问1详解】若选①，因为，所以，，因为，所以.
若选②，因为，所以，
因为，所以，即.
因为，所以，即.
若选③，因为，
所以，即，
所以，，所以.……………………………………（6分）
【小问2详解】由①或②或③可得，由余弦定理：，即 ，
所以，解得，当且仅当时取等号.
所以周长的最大值是.………………………………………………………………（12分）
19.解析：（1）圆过点，，因为圆心在直线：：上，
圆的圆心： …………………………………………………………………（2分）
点关于直线的对称点，
则，…………………………………………………………………（4分）
则反射光线必经过点和点，
可得，即：.…………………………………………………………………（6分）
（2）
设点，则，又
的最小值为20．…………………………………………………………………（12分）
20.解析：（1） ………………………………（2分）
因为时，
∴，∴，又为奇函数，
∴，即，∵，∴，
∴，………………………………………………………………………………（6分）
（2）由题意可得，，
令，则，∵，∴，
令，则，函数在上的图象如下图所示，
由图可知，与共有5个交点，
∴在上共有5个根，即，………………………………………（10分）
∵
∴…………………………（12分）
21.解：（I）证明：因为，，
故，又
所以平面
平面
所以平面平面
（II）首先，取中点，连接
在等腰中，①
由（I）知平面，得②
由①②得平面，即此时当与点重合时，
直线与平面所成的线面角为，
其次，由题意易得，存在点两侧各有两个点，如图分别记为，，
使得，的运动轨迹即为线段.
作于，又平面，得，故平面，
所以在平面的射影为，
即为直线与平面所成的线面角，
即
此时，，，此时与重合，
故
同理可得，，
解得
故的运动轨迹长度为
22..解（1）由题可知，直线斜率显然存在，设为，则直线.
因为点到直线的距离，∴，∴
由得.……………………………………………………………………（2分）
则直线AB的直线方程为或……………………………………（5分）
（2）当直线的斜率不存在时，的面积…………………………（7分）
当直线的斜率存在时，设为，则直线，，直线.
由得，所以.………………………………（8分）
因为，所以.
因为点到直线的距离即点到直线的距离…………（10分）
所以的面积.
令，则
∵∴∴.
综上，面积的取值范围是.………………………………………………（12分）