2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
北师大版九年级上册
第二章
一元二次方程
2.5 一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的求根公式
思考：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其它关系吗？
2用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？
对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0)
b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根.
一、复习导入
1.解下列方程：
(1) x2-2x+1=0;
二、探究新知
(3) 2x2 - 3x + 1 = 0
因式分解
配方法
公式法
方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2
x2 - 2x + 1 = 0
2x2 - 3x + 1 = 0
1
1
2
-1
-1
1
思考：如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么，你可以发现什么结论？
二、探究新知
思考：对于任何一个一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)都成立吗？
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
二、探究新知
二、探究新知
证明：已知一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，则
一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理）
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
1.满足上述关系的前提条件
b2-4ac≥0.
二、探究新知
2.注意符号问题
方 程 x1+x2 x1·x2
x2-3x+1=0
2x2-9x+5=0
1.不解方程，写出下列方程两个根的和与两个根的积：
3
1
巩固理解
巩固理解
2.判断方程的根是否正确
(1) x2-5x+4=0； 解得x1=1，x2 =4
(2) 2x2-3x-1=0； 解得x1= 3 ，x2 =
X
解:(1) x1+x2 =-5, x1 ● x2=4
(2) x1+x2 = , x1 ● x2=
X
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
（1）x2 + 7x + 6 = 0;
解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6.
Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0.
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6.
三、典例精析
（2）2x2 -3x -2 = 0.
解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2.
Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0,
∴方程有两个实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = , x1 x2 = -1 .
三、典例精析
例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.
例2：已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.
解：设方程 5x2+kx-6=0的两个根分别是x1、x2，
其中x1=2 .
∴ x1 · x2=2x2=
即：x2=
由于x1+x2=2+ =
得：k=-7.
答：方程的另一个根是 ，k=-7.
三、典例精析
例3：已知x1，x2是方程x2-4x+1=0的两根，
(1)求x12+x22的值
(2)求(x1-x2)2的值
三、典例精析
解： 由题意，得
x1 + x2= 4 ，x1·x2=1
∴ x12+x22 = (x1+x2 )2- 2 x1x2 = 16 - 2×1 =14
∴ (x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2 = 16 - 4×1 =12
总结常见的求值:
(2) (x1-x2)2
(3) (x1+1) (x2+1)
=x1x2+(x1+x2 )+1
= (x1+x2 )2-4x1x2
(1) x12 + x22
= (x1+x2 )2-2x1x2
求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.
四、课堂检测
1.若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是( )
A. -10 B. 10 C. -16 D. 16
A
四、课堂检测
2. 已知x1，x2是关于x的方程x2+ax-2b=0的两实数根，且x1+x2=-2，x1·x2=1，则ba的值是（ ）
A. 1/4 B. -1/4 C. 4 D. -1
A
3. 若方程x2-4x-1=0的两根分别是x1，x2，则x21+x22的值为（ ）
A. 6 B. -6 C. 18 D. -18
四、课堂检测
C
4.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.
解：(1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = -1.
Δ = b2 - 4ac = 32 - 4 × 1 × (-1) = 13 > 0
∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1 .
四、课堂检测
4.不解方程，求方程两根的和与两根的积：
（1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0.
解： (2) 这里 a = 2 , b = -4 , c = 1.
Δ = b2 - 4ac = ( -4 )2 - 4 × 1× 2 = 8 > 0
∴有实数根.
设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么
x1 + x2 = 2 , x1 x2 = .
四、课堂检测
5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
解：设方程 3x2-18x+m=0的两个根分别是x1、x2，
其中x1=1.
∴ x1 + x2=1+x2=6，
即：x2=5 .
由于x1·x2=1×5=
得：m=15.
答：方程的另一个根是5，m=15.
三、典例精析
6.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之间的关系,求下列各式的值.
(1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2)
解:根据根与系数的关系得：
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1=
（2）
四、课堂检测
7. 关于x的一元二次方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，且x21+x22=8，求m的值.
三、典例精析
解:(1)∵方程x2+2x+2m=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=22-4×1×2m=4-8m＞0，
解得m＜ .
∴m的取值范围为m＜ .
(2)∵x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m=0的两个根，
∴x1+x2= -2，x1·x2=2m.
∴x21+x22=（x1+x2)2-2x1·x2=4-4m=8，解得m=-1.
当m=-1时，Δ=4-8m=12＞0.
∴m的值为-1.
三、典例精析
如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么
常见变形
五、课堂小结
2. x12+x22 = (x1+x2 )2- 2x1x2
3.(x1-x2)2 = (x1+x2 )2-4x1x2
六、布置作业
课本P51 习题2.8 第1,2,3,4题
谢谢聆听