第一章 勾股定理综合测评题（含答案）

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第一章 勾股定理综合测评
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.在直角三角形中，若勾长为3，股长为4，则弦长为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.在△ABC中，∠B=90°，则（　　）
A．AC=AB+BC B．AC2=AB2+BC2
C．AB2=AC2+BC2 D．BC2=AB2+AC2
3.下列各组数中是勾股数的是（　　）
A.0.3，0.4，0.5 B.5，12，13
C.，， D. 32，42，52
4.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若AB=15 cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为（　　）
A．150 cm2 B．200 cm2 C．225 cm2 D．无法计算
图1 图2
5. 两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边长都是c的直角三角形拼成图2所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为 （ ）
A.（a+b）2=c2 B. （a-b）2=c2 C. a2-b2=c2 D. a2+b2=c2
6. 如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8 cm，BC=15 cm，其斜边AB上的高CD为 （　　）
A. 17 cm B. 8.5 cm C. cm D. cm
图3 图4 图5
7. △ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是 （ ）
A. ∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 B. a=6，b=8，c=10 C. ∠A=∠B+∠C D. a2+b2=c2
8. 如图4，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则图中所有正方形的面积之和为（ ）
A. 49 cm2 B. 100 cm2 C.147 cm2 D. 149 cm2
9. 如图5，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则旗杆的高度是（　　）
A. 24米 B. 15米 C. 13米 D. 12米
10.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图6所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则（a+b）2的值为 （　 ）
A. 25 B. 19 C. 13 D. 169
图6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 已知△ABC的三边长分别是AB=5，BC=4，AC=3，那么∠C=　 °.
12. 已知直角三角形的两条边长分别为5，6，则第三边长的平方为 .
13.如图7，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以20 km/h的速度向东航行，船B以15 km/h的速度向北航行，则A，B两船离开港口2 h后相距 km.
图7 图8 图9 图10
14. 如图8，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），则最短路线长为　 　.
15. 如图9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D在AB边上，AD=AC，AE⊥CD，垂足为F，与BC交于点E，连接DE，则BE的长是　 　.
16.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图10所示，把枯木看作一个柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则葛藤的最短长度是　 　尺.
三、解答题（本大题共6个小题，满分52分）
17.（6分）如图11，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求△ABC的周长．
图11
18.（6分）如图12，在四边形ABCD中，AB=13，BC=5，CD=15，AD=9，对角线AC⊥BC．
（1）求AC的长；
（2）求∠CAD的度数．
图12
19.（8分）如图13，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1 m，将它往前推送6 m（水平距离BC=6 m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=3 m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长.
图13
20.（10分）在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积.
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程.
图14
21.（10分）如图15，在某地的一次抗洪救灾中，某受灾学校A到直线公路BD的距离AB为3千米，且与该公路上一个车站D相距5千米，为了便于运输救灾物资，现要在公路边上建一个救灾物资存储中心C，使之与学校A与车站D的距离相等．
（1）用尺规作图的方法，找出存储中心C的位置（不写作法，保留痕迹）．
（2）求储存中心C与车站D的距离．
图15
22.（12分）课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…；学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3开始就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决.
（1）请你根据上述规律写出下一组勾股数：11， ， ；
（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别如何表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4=，12=，24=，…，于是他很快表示了第二个数为，则用含a的代数式表示第三个数为 ；
（3）用所学知识加以说明.
附加题（共20分，不计入总分）
1.（6分）如图1，正方形纸片ABCD的边长为15，E，F分别是CD，AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF折叠，使点A落在AE上点G处.若CE=7，则GE的长为　 　.
2.（14分）数学实验室：
制作4张全等的直角三角形纸片（如图2-①），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2-②），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．
图2
探索研究：
（1）小明将“弦图”2-②中部分三角形进行了旋转，得到图2-③，请利用图2-③验证勾股定理；
数学思考：
（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．
（广东 刘明）
第一章 勾股定理综合测评
一、1. A 2. B 3. B 4. C 5. D 6. D 7. A 8. C 9.D
10. A 提示：因为a2+b2=13，（a-b）2=a2+b2-2ab=1，所以2ab=12. 所以（a+b）2=a2+b2+2ab=25.
二、11. 90 12. 11或61 13. 50 14.5
15. 2.5 提示：连接DE，由勾股定理，得AB=5，BD=2.因为AD=AC，AE⊥CD，所以CF=DF.所以CE=DE.可证△ACE≌△ADE.所以△BDE为直角三角形.设BE=x，则CE=DE=4-x.所以22+（4-x）2=x2，解得x=2.5.
16. 25 提示：如图1，一条直角边（即枯木的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此，葛藤长的平方为202+152=625=252，所以葛藤长为25尺．
图1
三、17.解：在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理，得AB2=AD2+BD2=400，AC2=AD2+CD2=169，
所以AB=20，AC=13.
所以△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．
18.解：（1）因为AB=13，BC=5，AC⊥BC，所以AC2= AB2 BC2=132 52=144，所以AC=12.
（2）因为AC=12，CD=15，AD=9，所以CD2=AC2+AD2.所以△ADC是直角三角形，∠CAD=90°.
19.解：设绳索AD的长为x m，则AB=x m，AC=x+1-3=（x-2）m.
根据题意，得x2=62+（x-2）2，解得x=10.
答：绳索AD的长为10 m.
20.解：设BD=x，则CD=14﹣x.
在Rt△ADB和Rt△ADC中，由勾股定理，得AD2=AB2-BD2=152-x2，AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2，所以152-x2=132-（14-x）2，解得x=9.所以BD=9.所以AD=12.所以S△ABC=BC AD＝×14×12＝84.
21.解：（1）作出的点C如图2所示；
图2
由题意知，AD=5千米，AB=3千米，∠B=90°.
在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2=AD2-AB2=16，所以BD=4千米.
设C，D之间的距离为x千米，则AC=x千米，BC=（4-x）千米.
在Rt△ABC中，，即32+（4-x）2=x2，解得.
即储存中心C与车站D的距离是千米．
22.解：（1）60 61
（2）
（3）因为a2+=，=，所以a2+=.
因为a为奇数，且a≥3，所以由a，，都是正整数.所以这三个数组成的数是勾股数.
附加题
1. 提示：设AG与BF交于点H.
因为CE=7，所以DE=15-7=8.
由已知可得△ABF≌△DAE，所以AF=DE=8.所以BF=AE=17.所以AH==.
由折叠，得AH=△GH.所以AG=2AH=.所以GE=AE-AG=.
解：（1）如图1，连接AD.因为图形的面积可表示为（a+b）（a+b）+c2，也可表示为c2+2×ab，
所以（a+b）（a+b）+c2+2×ab.所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
（2）如图2所示，因为大正方形的面积可以表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，所以（a+b）2=c2+4×ab.所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
如图14，作AD⊥BC于点D，设BD=x，用含x的代数式表示CD
根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x
根据勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积
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