第七章 平行线的证明综合测评题（含答案）

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第七章 平行线的证明综合测评
（本试卷满分100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1.下列语句中，是命题的是（　　）
两点确定一条直线吗 B．在线段AB上任取一点
C．作∠A的平分线AM D．两个锐角的和大于直角
2. 下列命题错误的是 （ ）
A. 所有的实数都可用数轴上的点表示 B. 等角的补角相等
C. 无理数包括正无理数，0，负无理数 D. 两点之间，线段最短
3.如图1，直线a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（　　）
A. 40° B. 50° C. 60° D. 120°
图1 图2 图3 图4
4. 如图2，在下列条件中，不能判定直线a与b平行的是 （ ）
A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠5 C. ∠2=∠3 D. ∠3+∠4=180°
5. 下列说法正确的是 （ ）
A. 过直线上一点有且只有一条直线与已知直线平行
B. 不相交的两条直线叫做平行线
C. 直线外一点到该直线的所有线段中垂线最短
D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
6. 如图3，已知a∥b，在Rt△ABC中，∠A=60°，∠C=90°.若∠1=50°，则∠2的度数为 （ ）
A. 100° B. 110° C. 120° D. 130°
7. 如图4，在△ABC中，∠B=32°，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是
（ ）
A. 32° B. 45° C. 60° D. 64°
8. 两本书按如图5所示的方式叠放在一起，则图中相等的角是 （ ）
A. ∠1与∠2 B. ∠2与∠3 C. ∠1与∠3 D. 三个角都相等
图5 图6
9.如图6，若AB∥DE，∠B=130°，∠D=35°，则∠C的度数为（　　）
A. 80° B. 85° C. 90° D.95°
10.学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图7-①～④，经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线.由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　）
① ② ③ ④
图7
①同位角相等，两直线平行；
②两直线平行，同位角相等；
③内错角相等，两直线平行；
④同旁内角互补，两直线平行．
A. ①③ B. ①②③ C. ③④ D. ①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 在△ABC中，∠A=20°，∠B=4∠C，则∠C= °.
12.如图8，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为 . （任意添加一个符合题意的条件即可）
图8 图9 图10 图11
13. 如图9，将木条a，b与c钉在一起，∠1=70°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是 .
14.（2021年湘潭）天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二地支，如下表：
天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸
4 5 6 7 8 9 0 1 2 3
地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戍 亥
4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3
算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支，如2018，尾数8为戊，2008除以12的余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年，2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立一百周年，则2021年是 年（用天干地支纪年法表示）.
15.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图10，当∠1=45°，∠2=122°时，∠3和∠4的度数分别是 ．
16. 如图11，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于点G，如果∠BDC=140°，∠BGC=110°，则∠A= .
三、解答题（本大题共6小题，共52分）
17.（6分）如图12，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D.若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数.
图12
18.（8分）如图13，BE∥GF，∠1=∠3，∠DBC=70°，求∠EDB的大小.
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）.
解：∵BE∥GF（已知），
∴∠2=∠3（ ）.
∵∠1=∠3（ ），
∴∠1=（ ）（ ）.
∴DE∥（ ）（ ）.
∴∠EDB+∠DBC=180°（ ）.
∴∠EDB=180°-∠DBC.（等式性质）
∵∠DBC=（ ）（已知）， 图13
∴∠EDB=180°-70°=110°
19.（8分）如图14，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，F为AC延长线上的一点，连接DF.
（1）求∠CBE的度数；
（2）若∠F=25°，求证：BE∥DF.
图14
20.（8分）现给出如下命题：两边及其一边上的高对应相等的两个三角形全等.
（1）请问这个命题是真命题还是假命题？若是假命题，请举出反例说明.
（2）请修改这个命题，使其成为真命题，用语言写出这个命题，不必写出已知、求证及其证明过程.
21.（10分）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．
（1）如图15，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射.若被b反射出的光线n与光线m平行，∠1=50°，则∠2= ，∠3= ；若∠1=35°，则∠3= ；
（2）请由（1）猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3= 时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a，b的两次反射后，反射光线n与入射光线m平行.请你写出推理过程.
图15
22.（12分）已知一角的两边与另一个角的两边平行，分别结合下图，试探索这两个角之间的关系，并证明你的结论.
（1）如图16-①，AB∥EF，BC∥DE，∠1与∠2的关系是： ；
（2）如图16-②，AB∥EF，BC∥DE，与的关系是： ；
（3）经过上述证明，我们可以得到一个真命题：如果 ，那么 ；
（4）若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少30°，则这两个角分别是多少度？
① ②
图16
附加题（共20分，不计入总分）
1.（6分）如图1，∠A=40°，将△ABC沿DE折叠，点A落在F处，则∠FDB+∠FEC的度数为 （　　）
A．80° B．100° C．110° D．140°
图1
2.（14分）问题情景：如图2，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角尺PMN的两条直角边PM，PN上，点A与点P在直线BC的同侧，若点P在△ABC内部，试问∠ABP，∠ACP与∠A的大小是否满足某种确定的数量关系？
（1）特殊探究：若∠A=55°，则∠ABC+∠ACB= °，∠PBC+∠PCB= °，∠ABP+∠ACP= °；
（2）类比探索：请猜想∠ABP+∠ACP与∠A的关系，并说明理由；
（3）类比延伸：改变点A的位置，使点P在△ABC外，其它条件都不变，判断（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出∠ABP，∠ACP与∠A满足的数量关系式.
① ②
图2
（河南 李东海）
第七章 平行线的证明综合测评
一、1.D 2.C 3.C 4. B 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B
10.D 提示：由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB，所以可以利用“同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行”判定CD∥a.
二、11. 32 12.∠A+∠ABC=180°（答案不唯一） 13.20° 14.辛丑 15.45°，58° 16.80°
三、17.解：因为∠1=∠2，所以AB∥CD.所以∠4=∠3=75°.
18.解：两直线平行，同位角相等 已知 ∠2 等量代换 BC 内错角相等，两直线平行
两直线平行，同旁内角互补 70
19.（1）解：因为∠ACB=90°，∠A=40°，所以∠CBD=∠A+∠ACB=130°.
因为BE是∠CBD的平分线，所以∠CBE=∠CBD=65°.
（2）证明：因为∠ACB=90°，∠CBE=65°，所以∠CEB=∠ACB﹣∠CBE=25°.
因为∠F=25°，所以∠F=∠CEB=25°.所以DF∥BE.
20.解：（1）假命题，反例如图所示，在△ABC和△A＇B＇C＇中，AC=A＇C＇，BC=B＇C＇，高AD=A＇D＇，但△ABC和△A＇B＇C＇不全等.
（2）两边及其一边上的高对应相等的两个锐角三角形（或钝角三角形）全等.
21.解：（1）100 90 90
提示：如图，根据平面镜发射光线的规律可知，∠1=∠5，∠4=∠6.
因为∠1=50°，所以∠5=∠1=50°.所以∠7=180°-（∠1+∠5）=180°-100°=80°.
因为m∥n，所以∠2=180°-∠7=180°-80°=100°.
因为∠4=∠6，所以∠4=（180°-∠2）=×80°=40°.
因为∠3+∠4+∠5=180°，所以∠3=180°-∠4-∠5=180°-40°-50°=90°.
若∠1=35°，同理可得∠3=90°.
（2）当∠3=90°时，m∥n.理由如下：
因为∠3=90°，所以∠4+∠5=90°.所以2∠4+2∠5=180°.
因为∠1=∠5，∠4=∠6，所以2∠4+2∠5+∠2+∠7=360°.所以∠2+∠7=180°.所以m∥n.
22.解：（1）∠1=∠2
提示：因为AB∥EF，所以∠1=∠BGE.
因为BC∥DE，所以∠2=∠BGE.所以∠1=∠2.
（2）∠1+∠2=180°.
提示：因为AB∥EF，所以∠1=∠BGE.
因为BC∥DE，所以∠2+∠BGE=180°.所以∠1=∠2=180°.
（3）如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.
（4）设其中一个角为x°.
根据题意，得x=2x-30或x+2x-30=180°，解得x1=30，x2=70.
所以2x-30=30或2x-30=110.
所以这两个角分别是30°，30°或70°，110°.
附加题
1.A
2.解：（1）125 90 35
提示：由题意，得∠ABC+∠ACB=125°，∠PBC+∠PCB=90°，∠ABP+∠ACP=35°.
（2）猜想：∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
理由：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A.
因为∠ABC=∠ABP+∠PBC，∠ACB=∠ACP+∠PCB，所以（∠ABP+∠PBC）+（∠ACP+∠PCB）=180°-∠A.所以（∠ABP+∠ACP）+（∠PBC+∠PCB）=180°-∠A.
在Rt△PBC中，∠P=90°，所以∠PBC+∠PCB=90°.所以（∠ABP+∠ACP）+90°=180°-∠A.所以∠ABP+∠ACP=90°-∠A.
（3）（2）中的结论不成立.
①如图1中，结论：∠A+∠ACP-∠ABP=90°.
理由：设AB交PN于点O.
因为∠AOC=∠BOP，所以∠A+∠ACP=90°+-∠ABP.所以∠A+∠ACP-∠ABP=90°.
②如图2中，结论：∠A+∠ABP-∠ACP=90°.
证明方法类似①.
③如图3中，结论：∠A-∠ABP-∠ACP=90°.
理由：因为∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠P+∠ABP+∠ACP+∠ACB=180°，所以∠A=∠P+∠ABP+∠ACP.所以∠A-∠ABP-∠ACP=90°.
图1 图2 图3
A
D
C
B
D＇
C＇
B＇
A＇
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