1.1探索勾股定理（1） 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
1.1 探索勾股定理
第一章 勾股定理
第1课时 认识勾股定理
1.了解勾股定理的内容，理解并掌握直角三角形三边之间的数量关系．（重点）
2.能够运用勾股定理进行简单的计算．（难点）
学习目标
B
A
C
图甲
A的面积
B的面积
C的面积
4
4
8
SA+SB=SC
C
图甲
1.观察图甲，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
　　结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
二、探索发现勾股定理
A
B
C
图乙
2.观察图乙，小方格
的边长为1.
⑴正方形A、B、C的
　面积各为多少？
9
16
25
SA+SB=SC
⑵正方形A、B、C的
面积有什么关系？
4
4
8
A
B
C
图甲
图甲 图乙
A的面积
B的面积
C的面积
C
SA+SB=SC
A
B
图乙
9
16
25
SA+SB=SC
4
4
8
A
B
C
图甲
图甲 图乙
A的面积
B的面积
C的面积
a
b
c
a
b
c
C
SA+SB=SC
结论2 以直角三角形两直角
边为边长的小正方形的面积
的和，等于以斜边为边长的正
方形的面积.
A
B
C
C
图乙
SA+SB=SC
SA+SB=SC
图甲
a
b
c
a
b
c
a2 +b2 =c2
　 （1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？　
　 （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
　 （3）分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
小结：
a
b
c
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
例题讲解
例1 求下图中字母所代表的正方形的面积。
225
400
A
81
225
B
400
225
400
225
400
225
400
225
400
81
225
400
225
81
225
400
B
225
81
225
400
B
225
81
225
400
B
225
81
225
400
B
225
81
225
400
B
225
81
225
A
400
625
144
1.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
625
576
144
169
练一练
答案：15 5 7
例2 求出下列直角三角形中未知边的长度
6
8
x
5
x
13
例题讲解
A
B
C
比一比看看谁算得快！
1.求下列直角三角形中未知边的长:
可用勾股定理直接计算.
方法小结:
8
x
17
16
20
x
12
5
x
练一练
已知直角三角形两边长，求第三边长.
变式：在Rt△ABC中，a,b,c分别表示直角边和斜边
1、如果a=6,b:c=4:5,求b,c
2、如果a=5,斜边c比另一直角边b多1，求b和c
答案：1、b=8 ,c=10
2、c=13 ,b=12
2、如图，正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,请你根据所学的知识
求AC、AB、BC的平方
3、如图，三条大路交于点
A、B、C，且∠A =90°，
AB=3 km,AC=4 km，求交汇
点A到大路BC的最近距离是多少？
A
B
C
D
练习：
答案：AC的平方为65，AB的平方为13
BC的平方为52
答案：2.8
三、简单应用
例 3 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10 m处折断倒下，树顶落在离树根24 m处. 大树在折断之前高多少米？
解：∵△ABC是直角三角形，AB=10 m，AC=24 m，
由勾股定理得
即
∴大树的高度=AB+BC=10+26=36（m）．
例4 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长.
、利用勾股定理进行计算
四
典例精析
解：由勾股定理可得，
AB2=AC2+BC2=25，
即 AB=5.
根据三角形面积公式，
得 AC×BC= AB×CD.
∴ CD= .
A
D
B
C
3
4
25或 7
1、已知：Rt△ＡBC中，AB＝４，AC＝３,则BC的平方为___________ .
4
3
A
C
B
4
3
C
A
B
提高训练
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AB=2，求
答案：8
A
B
C
D
7cm
3、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形
都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则
正方形A，B，C，D的面积之和为___________cm2。
49
提高训练
4、如图，一块直角三角形的纸片，两直
角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC
沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，
且与AE重合，则CD等于多少？
解：由折叠的性质知CD=DE，
AC=AE．
根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．
由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，
DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB-AE=10-6=4.
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
即
，解得CD=3cm．
5、如图，在△ABC中，AB=15㎝，
AC=13㎝，BC=14㎝，求△ABC的面积
D
解：当高AD在△ABC内部时，如图①.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴BD＝16；
在Rt△ACD中，由勾股定理，
得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9.
∴BC＝BD＋CD＝25.
∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.
6. 在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．
思维拓展
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
当高AD在△ABC外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴BC＝BD－CD＝7.
∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结
解析：因为AE＝BE，
所以S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.
又因为AE2＋BE2＝AB2，
所以2AE2＝AB2，
所以S△ABE＝ AB2＝ ；
同理可得S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.
又因为AC2＋BC2＝AB2，
所以阴影部分的面积为 AB2＝ .
7. 如图，以Rt△ABC的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中△ABE的面积为________，阴影部分的面积为________．
a
b
c
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
勾股定理