1.2一定是直角三角形吗 课件（共25张PPT）

(共25张PPT)
如果直角三角形两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么
a2 + b2 = c2
勾股定理的内容是什么？
回顾旧知
古埃及人曾用下面的方法得到直角三角形：
打13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3段，4段，5段的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角三角形.
32 + 42 = 52
直角三角形
这种方法正确吗？满足这个条件的三角形是直角三角形吗？这就是我们这节课要研究的内容。
1.2 一定是直角三角形吗
第一章 勾股定理
学习目标
1.探索勾股定理的逆定理并熟悉一些常见的勾股数。(重点)
2. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形。(难点)
知识讲解一、直角三角形的判定
探究：下面有两组数分别是一个三角形的三边长a, b, c:
①3,4,5; ②6,8,10;
回答下列问题:
1.这两组数都满足 a2+b2=c2吗？
2.分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？
知识归纳1
直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）
(1)文字语言：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
A
B
C
a
b
c
在△ABC中，a2+b2=c2
(2)符号语言：
∴△ABC为直角三角形
(3)应用：用来判定三角形的形状。
1、下列各组线段中，能够围成直角三角形的是（ ）
A、1、2、3 B、15、20、25
C、4、5、6 D、18、9、10
B
针对训练1
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BD=9，
AD=12，AC=20，则△ABC是（ ）.
(A)等腰三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)直角三角形
3、一个三角形的三边的长分别是15cm,20cm,
25cm，则这个三角形的面积是（ ）cm2 .
(A)250 (B)150 (C)200 (D)不能确定
A
B
D
C
B
D
注意：判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方.
92+122=152
以上两组数有什么特点？
62+82=102
1、都是正整数；
(1) 9，12，15; (2) 6，8，10;
2、都满足a2+b2=c2。
知识讲解二、勾股数
“勾股数”的定义：
满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。
知识归纳2
常见勾股数：
3，4，5； 5，12，13； 6，8，10；
7，24，25； 8，15，17； 9，40，41；
　 　 　 2倍 3倍 3 4 5 6 8 10 9 12 15
5 12 13 10 24 26 15 36 39
8 15 17 16 30 34 24 45 51
7 24 25 14 48 50 21 72 75
4倍 10倍 12 16 20 30 40 50
20 48 52 50 120 130
32 60 68 80 150 170
28 96 100 70 240 250
勾股数扩大n (n为正整数)倍,还是勾股数
三边同时扩大或缩小相同的倍数，三角形形状不变。
1.下列几组数据:是直角三角形的三边的有几组？是勾股数的是哪组？
（1）9，12，15; （2）1.5，3.6，3.9;
（3）12，35，36 ; （4）12，18，22.
2.将直角三角形的三边长同时扩大3.5倍
后，得到的三角形是（ ）.
(A)直角三角形 (B)锐角三角形
(C)钝角三角形 (D)不能确定
解：直角三角形的三边的有（1）、（2）
勾股数的是（1）
A
易错点：勾股数必须是
正整数。
针对训练2
例1一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
三、直角三角形的判定的简单应用
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
练习：（课本P10随堂练习2）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1， 图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
4
1
2
2
4
3
解：图中共有4个直角三角形，分别为
Rt△ABE,Rt△BCF,Rt△DEF,Rt△BEF.理由：
∵在正方形ABCD中，∠A=∠C=∠D=90°
∴△ABE,△BCF,△DEF都为直角三角形
由勾股定理得：
BE =2 +4 =20，EF =2 +1 =5
BF =3 +4 =25，∴BE +EF =BF
∴△BEF是直角三角形。
点拨：判断一个三角形是否为直角三角形的方法：
（1）根据定义判断（找直角）；
（2）根据三边关系判断（直角三角形的判定方法）。
例2 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？
(1) a=15 ， b=8 ，c=17;
解：因为152+82=289，172=289，所以152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角.
(2) a=13 ， b=14 ， c=15;
解：因为132+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，所以这个三角形不是直角三角形.
(3) a:b: c=3:4:5;
解：设a=3k,b=4k,c=5k,
因为(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,
所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
根据勾股定理及直角三角形的判定方法，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方.
归纳
变式： 已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1(n为
大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，
哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1，
AC =(n +1) =n4 +2n +1，
∴AB +BC = AC .
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
先确定AB、BC、AC、
的大小
例3 在正方形ABCD中，F是CD的中点，E为BC上一点，且CE＝ CB，试判断AF与EF的
位置关系，并说明理由．
解：AF⊥EF.理由：设正方形的边长为4a,
则EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a.
在Rt△ABE中，得AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2.
在Rt△CEF中，得EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2.
在Rt△ADF中，得AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2.
在△AEF中，AE2＝EF2＋AF2，
∴△AEF为直角三角形，且AE为斜边．
∴∠AFE＝90°，即AF⊥EF.
一、直角三角形的判定（勾股定理的逆定理）：
文字语言：
如果三角形三边长a,b,c满足a +b =c ，
那么这个三角形是直角三角形
几何语言：
∵ a +b =c
∴ ∠C=90°(c为斜边)
a
b
c
应用：
用来判定三角形的形状。
1. 三个数满足a +b =c ，
2. 三个数都是正整数。
二、勾股数满足的条件是：
知识小结
2.如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
A.3:4:7 B.5:12:13 C.1:2:4 D.1:3:5
当堂训练
B
1.已知 ABC中， BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式 (a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是 ( )
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
A
直角
∠A
4、下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
5、如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30 cm2，DC＝12 cm，AB＝3 cm，BC＝4 cm，求△ABC的面积.
解: ∵ S△ACD=30 cm2，DC＝12 cm.
∴ AC=5 cm,
又∵
∴△ABC是直角三角形, ∠B是直角.
∴
D
C
B
A
①②④
6.若△ABC的三边长分别为a，b，c．下列条件：①∠A=∠B-∠C；②a2=（b+c）（b-c）；③∠A：∠B：∠C=3：4：5；④a：b：c=5：12：13．其中能判定△ABC是直角三角形的是_____________.（填序号）
7.如图，四边形ABCD中，已知AB=3,BC=4,CD=12,DA=13, 且∠ABC=900,求这个四边形的面积.
解：如图，连接AC.
在Rt△ABC中,由勾股定理,
得 AC2=AB2+BC2，∴AC=5，
又∵ CD=12cm，AD=13cm
∴ AD2=CD2+AC2，∴△ACD是直角三角形.
S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD= (3×4+5×12)÷2=36．
变式：如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD=3cm，AB=4cm，CD=12cm，BC=13cm，求四边形ABCD 的面积.
解：如图，连接BD.
在Rt△ABD中,由勾股定理,
得 BD2=AB2+AD2，∴BD=5m，
又∵ CD=12cm，BC=13cm
∴ BC2=CD2+BD2，∴△BDC是直角三角形， ∠CDB是直角.
S四边形ABCD=SRt△BCD－SRt△ABD= BD CD－ AB AD
= (5×12－3×4)=24 m2．
C
B
A
D
8、探索勾股数的规律：观察下列各组数：
（3,4,5），（5,12,13），（7,24，25),
(9,40,41)...可发现，
...请写出第五个数组：___________
（11,60,61）