有理数复习（3）[上学期]

【教学题目】有理数复习课（3）
【教学目标】
知识与技能
1、 使学生初步了解初中数学中常用数学思想方法；
2、 使学生能运用数形结合思想、转化思想和分类讨论思想解决有理数一章中的有关问题.
过程与方法
通过本节课的学习使学生在学习的过程中逐步领悟、掌握和学会运用数学思想方法解决数学问题，促进学生思维方法和思维能力的全面提高.
情感态度与价值观
提高学生的思维能力.
【教学重点】
能运用数形结合思想、转化思想和分类讨论思想解决有理数一章中的有关问题。
【教学难点】
能灵活准确的运用数形结合思想、转化思想和分类讨论思想解决问题。
【教学过程】
新课讲解
数学思想方法是指导学习数学，解决数学问题的思维方式、思维策略和指导原则。在教学中充分地运用数学思想方法，便于学生更好地理解知识，提高学习兴趣，并可培养学生的思维能力和学习方法。
在初中阶段，最常用的数学思想方法有四种——数形结合思想、转化思想、函数方程思想和分类讨论思想。在《有理数》一章中主要用到的数学思想方法有数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。
一、数形结合思想
“数形结合”是把比较抽象的代数问题与适当的图形结合起来借助形象思维去认识、处理问题的一种思想方法。
“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用数形结合，可以将问题化难为易，化繁为简，便于学生直观理解，并提高形象思维能力。
本章中，数轴上的点表示有理数就是最简的数形结合思想的运用，它对于学生理解有理数的相反数概念、绝对值概念，有理数大小的比较，以及有理数的加法，有理数的乘法等都有重要的帮助。
例如：对于相反数的概念，课本给出了定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由定义，学生只能从形式上强行记忆概念，但很难真正理解何为相反数。现在运用数轴，如图：
在数轴上画出-3与3，-1.5与1.5
所有对应的点，然后引导学生观察这 -3 -1.5 0 1.5 3
些点所在的位置特征，可以看到，表
示为相反数的两个点，分别位于原点的两旁，且它们离原点的距离相等，这样学生就有了形象的认识，不难理解了。
二、转化思想
所谓“转化”就是将所要解决的复杂问题转化为另一个较易解决的简单问题或已经解决的问题。具体地说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“复杂”转化为“简单”，这样学生学习时就容易理解和掌握了。
在本章的知识上，有许多地方都蕴藏着“转化”思想。而在有理数运算中体现的最为突出。有理数的运算都是先确定符号，再计算绝对值，在符号确定以后，绝对值的计算实际上就是小学所学过的数的运算问题。
例如：计算（1）-10+（-3），（2）-10-（-7），（3）（-3）÷1/2
解：（1）-10+（-3）
=-（10+3）（有理数加法转化小学所学的加法）
（2）-10-（-7）
=-10+7 （有理数减法转化为有理数加法）
=-（10-7）（有理数加法转化为小学所学的运算）
（3）（-3）÷1/2
=（-3）×2 （有理数除法转化为有理数乘法）
=-（3×2） （有理数乘法转化小学所学的乘法）
（1） 用绝对值将两个负数大小比较转化为两个算术数（即小学学的数）的大小比较。
与
（2） 用绝对值将有理数加法、乘法转化为两个算术数的加法、乘法
（-6）+（+3）+（-13）， （-6）×（）-
通过这样的转化，学生既对绝对值的作用、有理数的大小比较和运算有清晰的认识，而且对知识的发展与解决的方法也有一定的认识。
（3） 用相反数将有理数的减法转化为有理数的加法。
（-1）-（-1.4）-（-3.6）-（+4.3）
（4） 用倒数将有理数除法转化为有理数的乘法。
（5） 把有理数的乘方转化为有理数的乘法。
(-2)4
三、分类讨论思想
分类讨论思想是把数学对象划分为不同的情形，分别进行研究和求解的一种数学思想，由于很多数学问题存在一些“不确定因素”，很难用“统一的标准”去解决，因此，必须把数学问题划分成“块”，然后针对不同的“块”采取相应的解决办法。可以说，分类讨论的策略是“化整为零，各个击破”。
在本章中对相反数、绝对值的概念都是运用了分类讨论的思想方法研究的。
例如，有理数的绝对值概念是从正数，负数，零三个方面讨论的。
（1） 一个正数的绝对值是它本身。
（2） 一个负数的绝对值是它的相反数。
（3） 0的绝对值是0。
用数学式子表示为：
a a＞0
即： a = 0 a = 0
a a＜0
分类讨论思想不仅运用在本章的概念中，而且还多次运用在有理数的运算中。
例如，有理数的加法法则就是通过四种情形的讨论而概括出来的。
（1）同号两数相加，结果取相同的符号，并把绝对值相加（这里的同号又分为两加数同为正数或同为负数的情形）。
（2）绝对值不等的异号两数相加，结果取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
（3）绝对值相等的异号两数相加（即互为相反数的两数相加）结果为0。
（4）任何一个有理数与0相加结果仍得这个数。
另外，有理数的乘法、除法及乘方法则都是运用分类讨论思想概括的。
例题讲解:
例１ 已知a＞０，b＜０，a+b<0, 用＂<＂号把a，-a，b，-b连结起来．
【分析】此题如果单从“数”的观点来思考，不易做对，但若与“形”（数轴）结合起来，就容易得多。由题意，在同一数轴上，找出一组分别表示
【注意】借助数轴比较实数大小，直观，一目了然，且不易出错。
例2
　
解：讨论a≠0时的各种情况：
　 　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
例3
练习：
1、已知，则a的值为（ ）
A、5 B、-5 C、5 D、
2、平方得4的数的是（ ）
（A）2 （B）－2 （C）2或－2 （D）不存在
3、若ab＝|ab|，必有（ ）
（A）ab不小于0 （B）a，b符号不同 （C）ab＞0 （D）a＜0 ，b＜0
4、如果，，则的绝对值为（　　　）
（A）5（B）1（C）1或5（D）–1或–5
5、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（ ）
A 0 B －1 C 1 D 0或1
6、已知8.62＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（ ）
A 6.8 B ±0.68 C ±0.86 D ±86
7、已知x+y=0，|x|=3，计算|x-y|．
8、数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图．
　　
　　化简下列各式：
　　1.|ab|= ;
　　2.|a+b|= ;
　　3.|c-a|= ;
　　4.|a-b|+|b+c|-|a|= .
解：由图
　　
　　知a　　∵ab<0，a+b<0，c-a>0，
　　a-b<0，b+c>0，a<0.
　　∴1.|ab|=-ab;
　　2.|a+b|=-a-b;
　　3.|c-a|=c-a;
　　4.|a-b|+|b+c|-|a|=(b-a)+(b+c)-(-a)=2b+c
PAGE
1