北师大版数学八年级上册 1.2一定是直角三角形吗　解答专项练习题 （含解析）

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《1.2一定是直角三角形吗》
解答专项练习题（附答案）
一．解答题
1．如图，在四边形ABCD中，AC⊥CD，△ADC的面积为30cm2，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm．
（1）试判断△ABC的形状；
（2）求四边形ABCD的面积．
2．如图，一根长度为120cm的木棒的两端A、B系着一根长度为180cm的绳子，现准备在绳子上找一点C，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，且AB为直角边，求这个点将绳子分成的两段各有多长？
3．在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明设计了如下表格：
n 2 3 4 5 6 …
a 4 6 8 10 12 …
b 3 8 15 24 35 …
c 5 10 17 26 37 …
请回答下列问题：
（1）当n＝7时，a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请你分别观察a，b，c与n之间的关系，并用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形是否为直角三角形？并对你的猜想加以证明．
4．如图，已知在△ABC中，AB＝25，BC＝14，BC边上的中线AD＝24．求证：AB＝AC．
5．如图，在△ABC中，AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，动点P从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度运动至点B，动点Q从点B出发沿BC方向以6cm/s的速度运动至点C，P、Q两点同时出发．
（1）求∠B的度数；
（2）连接PQ，若运动2s时，求P、Q两点之间的距离．
6．如图，在△ABC中，AD、AE分别是高和角平分线．
（1）若∠BAC＝86°，∠C＝32°，求∠DAE的度数；
（2）若AB＝15，AC＝20，AD＝12．
求证：∠BAC是直角；
7．如图，在三角形ABC中，AB＝5，BC＝6，AD为BC边上的中线，且AD＝4，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝10，点D是线段AB上一点，BD＝6，连接CD，CD＝8．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求△ABC的周长．
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，DE是△ABD的边AB上的高，E为垂足，且AD2＝20，BD2＝80．
（1）试判断△ABD的形状，并说明理由；
（2）求DE的长．
10．如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求DE的长．
11．为迎接十四运，西安某区强力推进“三改一通一落地”，加速城市更新步伐．某小区将对广场一块三角形空地进行绿化，如图，等腰三角形ABC的底边BC长为10，点D是AC上的一点，BD＝8，CD＝6．
（1）求证：BD⊥AC；
（2）求线段AB的长．
12．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上．
（1）请直接写出线段AB、AC的长度的平方；
（2）连结BC，请判断△ABC的形状，并说明理由．
13．如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝15，点D是BC边上一点，BD＝5，AD＝12．
（1）求证：△ADB是直角三角形；
（2）求BC的长度．
14．如图，已知等腰三角形ABC的底边BC＝13cm，D是腰AB上一点，且CD＝12cm，BD＝5cm．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求△ABC的面积．
15．如图，在△ABC中．D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2﹣CE2＝BC2，
（1）试说明：∠C＝90°；
（2）若DE＝6，BD＝8，求CE的长．
16．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点．
（1）求AB和BC；
（2）求∠ABC的度数．
17．在四边形ABCD中，已知AB＝10，BC＝6，AD＝8，CD2=128且AC⊥BC于点C．试求：（1）AC的长；
（2）∠BCD的度数．
18．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，其中AC＝12，AE＝5，BE＝13，证明：△ABC是直角三角形．
19．在△ABC中，D是BC边上的点，AB＝13，AD＝12，BD＝5，AC＝15．
（1）求证：△ABD是直角三角形；
（2）求DC的长．
20．如图，线段AB，BC，CD和BD都为5cm，动点P从点A出发沿A→B→D以2cm/s的速度运动到点D，动点Q从点D出发沿D→C→B→A以2.8cm/s的速度运动到点A．若两点同时开始运动5s时，P，Q相距3cm．试确定两点运动5s时，问△APQ的形状．
21．如图，在△ABC中，D是AB的中点，AC＝6，BC＝8，AB＝10，延长AC到E，使得CE＝CD，连接BE．
求证：∠ACB＝90°；
22．如图，四边形ABCD中，AB＝10，AC＝BC＝13，CD＝12，AD＝5，求四边形ABCD面积．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．
24．如图，已知等腰△ABC的底边BC＝13cm，D是腰BA延长线上一点，连接CD，且BD＝12cm，CD＝5cm．
（1）判断△BDC的形状，并说明理由；
（2）求△ABC的周长．
25．如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，且AD2﹣DC2＝BC2．
（1）求证：∠C＝90°；
（2）若AC＝16，CD：AD＝3：5，求BC的长．
26．已知，如图，等腰△ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm，求AB的长．
27．如图，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13，点E是AD的中点，求CE的长．
28．如图所示：三个村庄A、B、C之间的距离分别是AB＝5km，BC＝12km，AC＝13km，要从B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价2600万元/km，求修这条公路的最低造价是多少？
29．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？
30．△ABC为等腰三角形，AB＝AC．
（1）作BD⊥AC于D，若CD＝2，BD＝4，求AB的长度；
（2）若AB＝2，E为BC延长线上一点，且AE＝4．若BC：CE＝2：3，判断△ABE的形状，并证明结论．
31．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定的方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距10海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？
参考答案
1．解：（1）△ABC是直角三角形，
理由：∵S△ACD＝CD AC＝×12 AC＝30，
∴AC＝5，
∴AC2＝52＝25，
∵BC2+AB2＝42+32＝25，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，
∴S△ABC＝AB BC＝×3×4＝6（cm2），
∵△ADC的面积为30cm2，
∴四边形ABCD的面积＝△ADC的面积+△ABC的面积＝30+6＝36（cm2），
答：四边形ABCD的面积36cm2．
2．解：已知如图：设AC＝xcm，则BC＝（180﹣x）cm，
由勾股定理得：1202＝x2+（180﹣x）2，
方程无解；
解得：x＝40或30，
若AC为斜边，
则1202+（180﹣x）2＝x2，
解得：x＝130；
若BC为斜边，
则1202+x2＝（180﹣x）2，
解得：x＝50．
故这个点将绳子分成的两段各有50cm或130cm．
3．解：（1）当n＝7时，a＝2×7＝14，b＝72﹣1＝49﹣1＝48，c＝48+2＝50．
故答案为：14，48，50；
（2）观察a，b，c与n之间的关系，用含自然数n（n＞1）的代数式表示：
a＝2n，b＝n2﹣1，c＝n2+1．
故答案为：2n，n2﹣1，n2+1；
（3）猜想：以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．证明如下：
∵（2n）2+（n2﹣1）2＝4n2+n4﹣2n2+1＝n4+2n2+1＝（n2+1）2，
∴以a，b，c为边长的三角形为直角三角形．
4．证明：∵AD 是BC边上的中线
∴BD＝BC＝×14＝7，
在△ABD中，BD2+AD2＝72+242＝625＝252＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
∴AD 垂直平分BC，
∴AB＝AC．
5．解：（1）∵AB＝7cm，AC＝25cm，BC＝24cm，
∴AB2+BC2＝625＝AC2，
∴△ABC是直角三角形且∠B＝90°；
（2）运动2s时，AP＝1×2＝2（cm），BQ＝2×6＝12（cm），
∴BP＝AB﹣AP＝7﹣2＝5（cm），
Rt△BPQ中，PQ＝13（cm），
即P、Q两点之间的距离为13cm．
6．（1）解：∵AE平分∠ABC，
∴∠EAC＝∠BAC＝43°，
∵AD⊥BC，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝58°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝58°﹣43°＝15°．
（2）证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴BD＝9，CD＝16，
∴BC＝BD+DC＝9+16＝25，
∵AB2+AC2＝152+202＝625，BC2＝625，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°；
7．（1）证明：∵BC＝6，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝3，
∵AD＝4，AB＝5，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝5，
∴AC＝5，
∵△ADC的面积S＝＝，
∴×，
解得：DE＝2.4．
8．（1）证明：在△BDC中，BC＝10，BD＝6，CD＝8，
∵BD2+CD2＝62+82＝102＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴△ADC是直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，即AD2+82＝（AD+6）2，
解得AD＝2，
∴AC＝6+2＝8，
∴△ABC的周长是8+8+10＝26．
9．解：（1）△ABD是直角三角形，理由如下：
∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝10，
∵AD2+BD2＝100＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，
（2）∵△ABD是直角三角形，∠ADB＝90°，
∴△ABD的面积＝AB DE＝AD BD，
∴DE＝4．
10．（1）证明：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，
∴BD＝DC＝BC＝6，
∵AD＝8，AB＝10，
∴BD2+AD2＝AB2，
∴∠ADB＝90°，
即AD⊥BC；
（2）解：∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，
∴AB＝AC，
∵AB＝10，
∴AC＝10，
∵△ADC的面积S＝＝，
∴＝，
解得：DE＝4.8．
11．（1）证明：∵BC＝10，BD＝8，CD＝6，
∴BD2+CD2＝82+62＝102＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）解：设AB＝x，则AB＝AC＝x，
∵CD＝6，
∴AD＝x﹣6，
∵AB2＝BD2+AD2，
∴x2＝82+（x﹣6）2，
解得：x＝，
∴AB＝．
12．解：（1）由勾股定理可得AB2＝10，AC2＝20；
（2）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：
由（1）可知AB2＝10，AC2＝20，
又BC2＝32+12＝10，
∴AB2+BC2＝AC2．
∴△ABC是直角三角形．
又，
∴△ABC是等腰直角三角形．
13．解：（1）在△ABD中，
∵AB＝13，BD＝5，AD＝12，
∴BD2+AD2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，
∴BD2+AD2＝AB2
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
即△ADB是直角三角形；
（2）在Rt△ACD中，由勾股定理得，CD=9，
∴BC＝BD+CD＝5+9＝14．
14．证明：（1）∵BC＝13cm，CD＝12cm，BD＝5cm，
∴BC2＝BD2+CD2，
∴△BDC为直角三角形；
（2）设AB＝xcm，∵△ABC是等腰三角形，
∴AB＝AC＝xcm，
∵△BDC为直角三角形，
∴△ADC也为直角三角形，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴x2＝（x﹣5）2+122，
解得：，
∴＝＝．
15．解：（1）如图所示，连接BE，
∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
又∵AE2﹣CE2＝BC2，
∴BE2﹣CE2＝BC2，
∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°；
（2）Rt△BDE中，BE＝10，
∴AE＝10，
设CE＝x，则AC＝10+x，而AB＝2BD＝16，
Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝162﹣（10+x）2，
Rt△BCE中，BC2＝EB2﹣EC2＝102﹣x2，
∴162﹣（10+x）2＝102﹣x2，
解得x＝2.8，
∴CE＝2.8．
16．解：（1）连接AC．
根据勾股定理可以得到：AB2＝12+32＝10，BC2＝12+22＝5，
∴AB2＝10，BC2＝5；
（2）∵AB2＝12+32＝10，AC2＝BC2＝12+22＝5，
∵5+5＝10，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
17．解：（1）∵AB＝10，BC＝6，AC⊥BC，
∴AC＝8；
（2）∵AD＝8，AC＝8，CD2＝128，
∴CD2＝AD2+AC2，
∴∠CAD＝90°，
又∵AD＝AC＝8，
∴∠ACD＝∠ADC＝45°，
∴∠BCD＝90°+45°＝135°．
18．证明：∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE＝CE＝13，
∵AC＝12，AE＝5，
∴CE2＝AC2+AE2，
∴△AEC是直角三角形，
∴△ABC是直角三角形．
19．（1）证明：∵AB＝13，AD＝12，BD＝5，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴△ABD是直角三角形，即∠ADB＝90°；
（2）解：∵∠ADB＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
在Rt△ADC中，DC＝9．
20．解：5s时，动点P运动的路程为2×5＝10（cm），即点P运动到D点（点P与点D重合），
动点Q运动的路程为2.8×5＝14（cm），
因为DC＝BC＝BA＝5cm，
所以点Q在BA上，且BQ＝14﹣10＝4（cm）．
在△BPQ中，因为BP＝5cm，BQ＝4cm，PQ＝3cm，
所以BQ2+PQ2＝42+32＝25＝BP2，
所以△BPQ是直角三角形，且∠BQP＝90°，
所以∠AQP＝180°﹣90°＝90°，
所以两点运动5s时，△APQ是直角三角形．
21．（1）证明：在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴AC2＝36，BC2＝64，AB2＝100，
∴AC2+BC2＝AB2．
∴△ABC是直角三角形，AB是斜边，
∴∠ACB＝90°；
22．解：过点C作CE⊥AB于点E．
∵AC＝13，CD＝12，AD＝5，132＝122+52，
∴AC2＝CD2+AD2，
∴△ACD是直角三角形，
∵AC＝BC＝13，AB＝10，CE⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5．
在Rt△CAE中，
CE＝12．
∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC＝×5×12+×10×12＝30+60＝90．
即四边形ABCD面积为90．
23．（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
24．解：（1）△BDC是直角三角形，
理由是：∵BC＝13cm，BD＝12cm，CD＝5cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠D＝90°，
即△BDC是直角三角形；
（2）设AB＝AC＝xcm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，
即（12﹣x）2+52＝x2，
解得：x＝，
∴AB＝AC＝（cm），
∵BC＝13cm，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝++13＝（cm）．
25．（1）证明：连接BD，
∵AB的垂直平分线DE分别交AC、AB于点D、E，
∴AD＝BD，
∵AD2﹣DC2＝BC2，
∴BD2﹣DC2＝BC2，
即DC2+BC2＝BD2，
∴∠C＝90°；
（2）解：∵AC＝16，CD：AD＝3：5，
∴CD＝6，AD＝10，
∵AD＝BD，
∴BD＝10，
在Rt△DCB中，由勾股定理得：BC＝8．
26．解：设AB＝AC＝acm，
∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
即∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，
即a2＝（a﹣6）2+82，
解得：a＝，
即AB＝cm．
27．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
∵AB＝4，BC＝3，
∴AC=5，
∵CD＝12，AD＝13，
∵AC2+CD2＝52+122＝169，
AD2＝169，
∴AD2+CD2＝AC2，
∴∠C＝90°，
∴△ACD是直角三角形，
∵点E是AD的中点，
∴CE＝．
28．解：∵BC2+AB2＝122+52＝169，
AC2＝132＝169，
∴BC2+AB2＝AC2，
∴∠ABC＝90°，
当BD⊥AC时BD最短，造价最低．
∵S△ABC＝AB BC＝AC BD，
∴BD＝＝km．
×2600＝12000（万元）．
答：最低造价为12000万元．
29．解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，
∵BC+CD＝34，
∴CD＝34﹣x，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，
在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，
∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，
解得x＝8．
∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．
30．解：（1）∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD⊥AC，CD＝2，BD＝4，
∴AB2＝（AC﹣CD）2+BD2，
即AB2＝（AB﹣2）2+42，
解得：AB＝5．
（2）△ABE是直角三角形，理由如下：
过A作AD⊥BC，
∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴BD＝DC＝BC，
设BC＝2x，CE＝3x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝4﹣x2，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2﹣DE2＝16﹣16x2，
即16﹣16x2＝4﹣x2，
可得：，
∵，AB2＝4，AE2＝16，
即AB2+AE2＝BE2，
∴△ABE是直角三角形．
31．解：PQ＝16×＝8（海里），PR＝12×＝6（海里），QR＝10（海里）．
∵62+82＝102，即PQ2+PR2＝QR2，
∴∠QPR＝90°．
∵“远航”号沿东北方向航行，
∴∠QPS＝45°，
∴∠SPR＝45°，
∴“海天”号沿西北方向航行．