人教版数学八年级下册 第十九章 一次函数与最短路径 综合教案（表格式）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册 第十九章 一次函数与最短路径 综合教案（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 133.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-13 17:06:15 | ||
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文档简介
《一次函数与最短路径综合》教案
学习目标：
1、能用一次函数的知识解决最短路径问题，体会数形结合思想。
2、能够从复杂问题中抽象出“最短路径”的基本数学模型。
3、提高数学建模能力，感受数学学习乐趣。
教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞和〝垂线段最短〞的问题.
教学难点：能够从复杂问题中抽象出“最短路径”的基本数学模型。
教学过程
一、知识储备任务
1、点M (4,-1)关于x轴对称点的坐标为 ，关于y轴对称点的坐标为 .
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为： . 它与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为
3、直线y=x和直线y=的交点坐标为
【设计意图】让学生回顾旧知：一次函数的相关知识，为后期解决综合问题作准备.
二、自学任务一
4.小明家住在B地，小明带着牛在A地吃完草后到小溪m中饮水，然后再回家，请问小明带着牛到小溪m的什么地方喝水能使所走的路径最短？
变式一、如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A (2,—3）B (4, 1），若点P是x 轴上的一个动点，
则当P点坐标为 时，AP+BP的值最小
.
【设计意图】让学生回顾旧知〝两点之间，线段最短〞基本模型一，为后期作准备.
【知识点】两点之间线段最短
【思路点拨】依据〝两点(直线异侧)一线型〞，和 〝两点之间，线段最短〞，那么 AP+PB的最小值为线段AB的值.
【解题过程】连接AB交于直线l于点P，那么点P就是所求的点.
三、自学任务二
5.小明家搬到了小溪对面的B处，他带着牛在A处吃完草后先到小溪喝水，再回家，请问这次小明带着牛到小溪的什么地方喝水能使所走路径最短？
变式二：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A (2,—3）B (4,—1），若点P是x 轴
上的一个动点，则当P点坐标为 时，
AP+BP的值最小.
【知识点】两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质
【思路点拨】将〝A，B在直线l的同侧〞利用轴对称转化为〝A，B在直线l的异侧〞， 又根据〝两点之间线段最短〞可得出只有唯一的点P.
【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受〝两点之间，线段最短〞，为新课中〝同侧的两点〞转化为〝异侧的两点〞做铺垫．
四、问题探究 实际问题转化为数学问题
探究一 〝两点一线〞的最短路径问题（定直线为坐标轴或者平行于坐标轴的直线）
今天我们借助〝轴对称的知识〞和〝两点之间线段最短〞一起来解决一次函数背景下的〝最短路径问题〞.
变式三：（10年天津中考 ）
在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3，OB=4，
D为边OB的中点.若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标.
练习1：矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3,4），点 D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当△CDE的周长最小时，点 E 的坐标为( )
你能将这个问题抽象为最短路径模型吗？
【知识点】两点之间线段最短
【解题过程】做D点关于线段AB的对称点F，连接AF，与AB交点E即为所求。
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为〝线段和最小问题〞.
探究二 〝两点一线〞的最短路径问题(对称轴为一次函数k=±1的直线)
变式四：如图，平面直角坐标系中有正方形OABC,B(6,6), D为OC中点，在直线OB:y=x上有一动点P,当P点坐标为 时，△CDP周长最小。
练习2：在如图所示的平面直角坐标系中，P 是直线 y=x 上的动点，A(1,0)，B(2,0)是 x 轴上的两点，求 PA+PB 的最小值．
【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供〝脚手架〞，将〝同侧〞难于解决的问题转化为〝异侧〞容易解决的问题，渗透转化思想.让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.
追问：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的〝桥梁〞作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
五、反思总结，归纳新知
【方法归纳】
1、〝两点(直线同侧)一线型〞在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.
2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.
【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短
3. 课堂总结
知识梳理
1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据〝两点之间线段最短〞和〝垂线段最短〞；
2、运用轴对称的知识将〝不在同一条直线上的两条线段〞转化到〝同一条直线上〞，然后用〝两点之间线段最短〞解决问题.
重难点归纳：最短路径问题的主要类型▲
问题 作法 图形 原理
类型一 直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小 连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P. PA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短
类型二 直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小. ⑴作点B 关于直线l 的对称点B′； ⑵连接AB′，与直线l 相交于点P． 那么点P 即为所求． 〔同样可作点A的对称点〕 PA+PB的最小值为AB′的值，PB =PB′，两点之间，线段最短
类型三 两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小. ⑴分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P′、P′′； ⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．那么点E、F为所求的点． PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF= FP′′，两点之间，线段最短.
类型四 两条相交直线所成的角内有两点P、Q：分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小. ⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB 的对称点P′、Q′； ⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．那么点M、N为所求的点． PM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.
学习目标：
1、能用一次函数的知识解决最短路径问题，体会数形结合思想。
2、能够从复杂问题中抽象出“最短路径”的基本数学模型。
3、提高数学建模能力，感受数学学习乐趣。
教学重点：利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为〝两点之间，线段最短〞和〝垂线段最短〞的问题.
教学难点：能够从复杂问题中抽象出“最短路径”的基本数学模型。
教学过程
一、知识储备任务
1、点M (4,-1)关于x轴对称点的坐标为 ，关于y轴对称点的坐标为 .
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为： . 它与x轴交点坐标为 ，与y轴交点坐标为
3、直线y=x和直线y=的交点坐标为
【设计意图】让学生回顾旧知：一次函数的相关知识，为后期解决综合问题作准备.
二、自学任务一
4.小明家住在B地，小明带着牛在A地吃完草后到小溪m中饮水，然后再回家，请问小明带着牛到小溪m的什么地方喝水能使所走的路径最短？
变式一、如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A (2,—3）B (4, 1），若点P是x 轴上的一个动点，
则当P点坐标为 时，AP+BP的值最小
.
【设计意图】让学生回顾旧知〝两点之间，线段最短〞基本模型一，为后期作准备.
【知识点】两点之间线段最短
【思路点拨】依据〝两点(直线异侧)一线型〞，和 〝两点之间，线段最短〞，那么 AP+PB的最小值为线段AB的值.
【解题过程】连接AB交于直线l于点P，那么点P就是所求的点.
三、自学任务二
5.小明家搬到了小溪对面的B处，他带着牛在A处吃完草后先到小溪喝水，再回家，请问这次小明带着牛到小溪的什么地方喝水能使所走路径最短？
变式二：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A (2,—3）B (4,—1），若点P是x 轴
上的一个动点，则当P点坐标为 时，
AP+BP的值最小.
【知识点】两点之间线段最短
【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质
【思路点拨】将〝A，B在直线l的同侧〞利用轴对称转化为〝A，B在直线l的异侧〞， 又根据〝两点之间线段最短〞可得出只有唯一的点P.
【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受〝两点之间，线段最短〞，为新课中〝同侧的两点〞转化为〝异侧的两点〞做铺垫．
四、问题探究 实际问题转化为数学问题
探究一 〝两点一线〞的最短路径问题（定直线为坐标轴或者平行于坐标轴的直线）
今天我们借助〝轴对称的知识〞和〝两点之间线段最短〞一起来解决一次函数背景下的〝最短路径问题〞.
变式三：（10年天津中考 ）
在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，0A=3，OB=4，
D为边OB的中点.若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标.
练习1：矩形 OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点 B 的坐标为（3,4），点 D 是 OA 的中点，点 E 在 AB 上，当△CDE的周长最小时，点 E 的坐标为( )
你能将这个问题抽象为最短路径模型吗？
【知识点】两点之间线段最短
【解题过程】做D点关于线段AB的对称点F，连接AF，与AB交点E即为所求。
【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为〝线段和最小问题〞.
探究二 〝两点一线〞的最短路径问题(对称轴为一次函数k=±1的直线)
变式四：如图，平面直角坐标系中有正方形OABC,B(6,6), D为OC中点，在直线OB:y=x上有一动点P,当P点坐标为 时，△CDP周长最小。
练习2：在如图所示的平面直角坐标系中，P 是直线 y=x 上的动点，A(1,0)，B(2,0)是 x 轴上的两点，求 PA+PB 的最小值．
【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路. 通过搭建台阶，为学生探究问题提供〝脚手架〞，将〝同侧〞难于解决的问题转化为〝异侧〞容易解决的问题，渗透转化思想.让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.
追问：回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？
师生活动：学生回答，相互补充.
【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的〝桥梁〞作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.
五、反思总结，归纳新知
【方法归纳】
1、〝两点(直线同侧)一线型〞在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.
2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.
【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短
3. 课堂总结
知识梳理
1、利用轴对称知识解决最短路径问题，主要依据〝两点之间线段最短〞和〝垂线段最短〞；
2、运用轴对称的知识将〝不在同一条直线上的两条线段〞转化到〝同一条直线上〞，然后用〝两点之间线段最短〞解决问题.
重难点归纳：最短路径问题的主要类型▲
问题 作法 图形 原理
类型一 直线异侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小 连接AB，线段AB与直线l的交点就是点P. PA+PB的最小值为AB的值，两点之间，线段最短
类型二 直线同侧有两点：在l上求一点P，使得PA+PB最小. ⑴作点B 关于直线l 的对称点B′； ⑵连接AB′，与直线l 相交于点P． 那么点P 即为所求． 〔同样可作点A的对称点〕 PA+PB的最小值为AB′的值，PB =PB′，两点之间，线段最短
类型三 两条相交直线所成的角内有一点P：分别在边OA、OB上求一点E、F，使△EFP的周长最小. ⑴分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P′、P′′； ⑵连接P′P′′，与直线OA、OB分别交于点E、F．那么点E、F为所求的点． PE+EF+PF的最小值为P′P′′的值，PE=P′E，PF= FP′′，两点之间，线段最短.
类型四 两条相交直线所成的角内有两点P、Q：分别在边OA、OB上求一点M、N，使得四边形MNPQ的周长最小. ⑴作点P、Q分别关于直线OA、OB 的对称点P′、Q′； ⑵连接P′Q′，与直线OA、OB分别交于点M、N．那么点M、N为所求的点． PM+MN+MQ的最小值为P′Q′的值，PM=P′M，NQ=NQ′，两点之间，线段最短.