12.3 角平分线的性质（1） 课件（共29张PPT）

(共29张PPT)
12.3 角平分线的性质（1）
人教版八年级上册
知识回顾
角平分线的定义:
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
O
A
B
C
如图，OC是∠AOB的平分线.
∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
教学目标
1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.
2.探究并证明角平分线的性质.
3.会用角平分线的性质解决实际问题.
新知导入
在生产、生活中我们经常需要平分一个角，已到达美观、实用的目的，所以我们今天的学习就从如何准确的平分一个角开始。
新知探究
知识点 1
角平分线的画法
问题1：在纸上画一个角，你能得到这个角的平分线吗？
用量角器度量，也可用折纸的方法．　　
很明显这些方法都一些不足，例如量角器度数的误差，书本上的角折叠不方便等，其实使用我们的直尺和圆规就能够画出任意角的平分线。按照下面的步骤我们一起来做一遍吧
新知讲解
作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交
OA于点M，交OB于点N.
（2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半 径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
C
B
N
O
M
A
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
作已知角的平分线
已知∠AOB，求作射线OC平分∠AOB
按照上面的步骤作图，为什么OC就可以平分∠AOB呢？
新知探究
作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交
OA于点M，交OB于点N.
C
B
N
O
M
A
OM=ON
（2）分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半 径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
CM=CN
（3）画射线OC，射线OC即为所求.
OC=OC
在△OCM和△OCN中
OM=ON
CM=CN
OC=OC
∴△OCM≌△OCN（SSS）
∴∠AOC=∠BOC
即OC平分∠AOB
｛
新知探究
王明同学按照上述方法，想为木匠爸爸制作一个能够快速平分角的仪器，利用四边形的 ，选择制作了四边形ABCD，且使AB= ， = .
使用时，将点A放在 ，调整AB、AD的位置，使AB、AD能够沿着 ，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.
不稳定性
AD
BC
DC
角的顶点处
角的两边放下
A
B
C
D
A
B
C
D
E
新知小结
注意：（1）以“适当长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短.
C
B
N
O
M
A
（3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部.
（4）“画射线OC ”不能说成“连接OC ”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线.
（2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作.
新知探究
角平分线的性质
知识点 2
在刚才我们一起画的∠AOB的平分线OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，分别记垂足为D，E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
经过测量发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论.
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
新知探究
已知：如图， ∠AOC= ∠BOC，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
已知
求证
新知小结
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP 是∠AOB的平分线，
∴PD = PE
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
PD⊥OA， PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
角的平分线的性质
新知小结
证明几何命题的一般步骤：
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
当题目需要自主画图时，注意：
（1）所画图形应符合题意，并具有一般性和代表性.在画图的时候要考虑是否存在不同的情形，若存在，则要分别画出图形，再分别进行证明；
（2）证明过程中的每一步推理都要有依据，依据可以是已知条件、定义、定理等.
新知典例
例1 求证：三角形的一边的两端点到这条边上的中线所在直线的距离相等.
解：已知：如图所示，AD为△ABC的中线，且CF⊥AD于点F，BE⊥AD交AD的延长线于点E.
求证：BE=CF.
可先将命题改写成“如果……那么……”的形式，然后确定已知和求证
如果 ，那么
三角形的一边有一条中线
这条边的两个端点到中线的距离相等
新知典例
证明：∵AD为△ABC的中线，∴BD=CD.
∵BE⊥AD交AD的延长线于点E，CF⊥AD，
∴∠BED=∠CFD=90°.
在△BED和△CFD中
∠BED=∠CFD，
∠BDE=∠CDF，
BD=CD，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF.
课堂练习
1.判一判：（1）∵ 如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
(2)∵ 如上右图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ，
( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
缺少“垂直距离”这一条件
缺少“角平分线”这一条件
新知典例
例2、如图，BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB＝6，BC＝8，若S△ABC＝28，求DE的长．
解：∵BD平分∠ABC交AC于点D，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE＝DF，
∵AB＝6，BC＝8，S△ABC＝28，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCD＝ AB DE+ BC DF
＝ DE （AB+BC）＝28
即DE（6+8）＝28，
∴DE＝4．
课堂练习
2．如图，CD是Rt△ABC的角平分线，∠A＝90°，AD＝4，BC＝7，则△BCD的面积为 　 　．
14
解：过D作DE⊥BC于E，
∵CD是Rt△ABC的角平分线，∠A＝90°，AD＝4，
∴DE＝AD＝4，
∵BC＝7，
∴△BCD的面积＝ BC DE＝ 7×4＝14
新知典例
例3 如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝8，CD＝4，则四边形ABCD的面积是 　 　．
28
解：过点D作DE⊥BA的延长线于点E，如图所示．
∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DC＝4，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，
＝ AB DE+ BC CD，
＝ ×6×4+ ×8×4，
＝28．
┐
E
课堂练习
A
B
C
P
3.如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4， AB=14.
则点P到AB的距离为_______.
D
4
此垂线为角平分线性质相关题目常见辅助线
课堂练习
1．如图，△ABC的三边AC、BC、AB的长分别是8、12、16，点O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB：S△OBC：S△OAC的值为（　　）
A．4：3：2 B．1：2：3
C．2：3：4 D．3：4：5
A
课堂练习
2．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）
A．仅有一处 B．有四处
C．有七处 D．有无数处
A
课堂练习
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AB=8cm，则△DEB的周长为（ ）
A.10cm B.7cm C.8cm D.不能确定
课堂练习
解析：在△ABC中，∠C=90°， ∴DC⊥AC.
∵DE⊥AB，AD平分∠CAB， ∴DC=DE.
在Rt△ACD和Rt△AED中, AD=AD，
DC=DE，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AC=AE.
∵AC=BC，∴AE=BC，
∴△DEB的周长=DE+DB+ EB=DC+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB=8cm.
课堂练习
4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
课堂总结
角的平分线的性质
会用尺规作图法画出一个已知角的平分线
性质
应用
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
利用角的平分线的性质解决实际问题
作业布置
谢谢
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