湖南省长沙市雅礼洋湖实验中学2022-2023学年高二上学期入学检测数学试题（PDF版无答案）

雅礼洋湖实验中学 2022 年下学期高二入学检测
数 学
时量：120 分钟 满分：150 分
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1.设集合 A x x2 2x 0 ， B 1,0,1,2,3 ，则 A B ( )
A. 1 B. 1,0 C. 0,1 D. 0,1, 2
2.如图，在平行四边形 ABCD中， E 是BC 的中点， AE 3AF ，则DF ( )
1 2
A. AB AD
3 3
1 2
B. AB AD
3 3
1 5
C. AB AD
3 6
1 3
D. AB AD
3 4
3.已知 1 2i z 4 3i ，则 z ( )
A.10 i B. 2 i C. 2 i D. 2 5i
4.命题“对任意实数 x 1,3 ，关于 x的不等式 x2 a 0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )
A. a 9 B. a 8 C. a 9 D. a 10
5.已知函数 f x 4x 4 x ln x 的图像大致为( )
A. B. C. D.
6.已知a log3 2，b 7
0.01，c log9 5 log5 3，则( )
A. c b a B.c a b
C.b c a D. a c b
7.已知三棱锥 D ABC 的顶点都在球O的球面上，底面△ABC 为等边三角形，且其所在圆O1的面积为
6 .若三棱锥D ABC 的体积的最大值为9 3 ，则球O的半径R 为( )
7 7 3
A. 4 2 B.3 3 C. D.
2 3
8.分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件M “至少有2 枚正面朝上”，则与事件M 相互独立的是( )
A.3枚硬币都正面朝上 B.有正面朝上的，也有反面朝上的
C.恰好有1枚反面朝上 D.至多有2 枚正面朝上
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有错选的得 0 分.
9.若a，b ，c为实数，则下列命题不正确的是( )
A.若a b，则ac2 bc2
B.若a b 0，则a2 ab b2
1 1
C.若a b 0，则
a b
b a
D.若a b 0，则
a b
10.已知平面向量a 1, 2 ，b 4, y ，则正确的是( )
A.若a / /b ，则 y 8
B.若a b ，则a在a b 方向上的投影向量是 1,0
9
C.若a与a b 的夹角为锐角，则 y 的取值范围为 ,
2
D.若a，b 的夹角为120 ，则 y 3
1 1
11.从甲袋中摸出一个红球的概率是 ，从乙袋中摸出一个红球的概率是 ，从两袋各摸出一个球，下列
3 2
结论正确的是( )
1
A. 2 个球都是红球的概率为
6
1
B. 2 个球中恰有1个红球的概率为
2
1
C.至少有1个红球的概率为
3
1
D. 2 个球不都是红球的概率为
3
12.如图，在棱长为2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E ，F 分别
为棱B1C1，BB1的中点，G 为面对角线 A1D上的一个动点，则( )
A.三棱锥B1 EFG的体积为定值
B.线段 A1D上存在点G ，使 A1C 平面EFG
C.线段 A1D上存在点G ，使平面EFG / / 平面 ACD1
2 2
D.设直线FG 与平面 ADD1A1所成角为 ，则sin 的最大值为
3
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.已知所函数 f x sin x 的部分图象如图所示，则 f x 的单调
递增区间为_________.
1 1 n
14.设a b c，n N ，且 恒成立，则n的最大值为_________.
a b b c a c
I5.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据
(记录数据都是自然数)作为一组样本，现有4 组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：
①平均数 x 4；②平均数 x 4且极差小于或等于3；
③平均数 x 4且标准差 s 4；④众数等于 5 且极差小于或等于 4 .
则 4 组样本中一定符合入冬指标的样本序号为_________.
16.某景区为拓展旅游业务，拟建一个观景台P (如图所示)，其中 AB ，
AC 为两条公路， BAC 120 ， M ， N 为公路上的两个景点，
测得 AM 2km ， AN 1km，为了获得最佳观景效果，要求P 对
的视角 MPN 60 .现需要从观景台P 到M ， N 建造两条观光路
线 PM ，PN ，且要求观光路线最长.若建造观光路线的宽为5米，每
平方造价为100元，则该景区预算需投入_______万元可完成改造.
7 2.65
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分(第 17 题满分 10 分，其余各题每小题满分 12 分).解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
17.已知圆柱高为4 ，母线与侧面展开图的对角线成60 角，求该圆柱的体积.
3
18.在△ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为a，b ，c，且bcos A a c .
2
(1)求 B 的大小；
(2)若c 3 ，a b 2，求△ABC 的面积.
19.已知函数 f x 2sin x sin x cos x .
(1)求 f x 的最小正周期和最小值；
3
(2)若 f ，求sin 2 的值.
2 2
20.书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年 4 月23日
为世界读书日.某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每
天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)求a；
(2)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均
数 x (单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)
(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方
法从每天阅读时间位于分组 50,60 ， 60,70 和 80,90 的年轻人中
抽取5人，再从中任选 2 人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间
位于 80,90 的概率.
21.如图，PO是三棱锥P ABC 的高，PA PB ， AB AC ，E 是 PB 的中点.
(1)求证：OE / / 平面PAC ；
(2)若 ABO CBO 30 ，PO 3，PA 5，求二面角C AE B 的正弦值.
22.已知定义在 R 上的偶函数 f x 和奇函数 g x ，且 f x g x ex .
(1)求函数 f x ， g x 的解析式；
1
g x
2 1 2 3 n 1 *
(2) 设函数 F x 1 ，记 H n F F F F n N ,
1 n n n n
f x
2
n 2 .探究是否存在正整数 n n 2 ，使得对任意的 x 0,1 ，不等式 g 2x H n g x 恒成立？
若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由.