人教版九年级上册22.1.4 用待定系数法求二次函数的解析式 （第2课时）课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
第二十二章 二次函数
22.1.4 第2课时 用待定系数法求二次函数的解析式
知识回顾
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2个
2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
待定系数法
(1)设： （表达式）
(2)代： （坐标代入）
(3)解： 方程（组）
(4)还原：（写表达式）
类型一： 利用一般式求二次函数表达式
问题 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
3个
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确
定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同
一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）如果一个二次函数的图象经过（-1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
获取新知
解：设所求二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c.由函数图象经过
(－1，10)，(1，4)，(2，7)三 点，得关于a，b，c的三元一次方程组
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.
解得
1.设一般式
2.点代入
一般式
3.解得方程组
4.写出解
析式
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
归纳总结
用一般式法求二次函数表达式的方法
例题讲解
例1 一个二次函数的图象经过 (0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c，由于这个函数经过点(0，1)、 (2，4)、(3，10) 可得
∴所求的二次函数的表达式是
解得
4a+2b+1=4，
9a+3b+1=10，
c=1，
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
问题 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点
(0，3)，求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)代入得3=a(0-4)2-1,解得a= ，
∴这条抛物线的表达式为：y= (x-4)2-1.
类型二 用顶点式求二次函数的表达式
获取新知
归纳总结
用顶点式求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点式法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例题讲解
例2 一个二次函数的图象经点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： ∵这个二次函数的图象的顶点坐标为(8，9)，因此，可以设函数表达式为y=a(x-8)2+9.
又∵它的图像经过点（0，1），可得1=a(0-8)2+9.
解得 a=
∴所求的二次函数的表达式是y=(x-8)2+9.
类型三 用交点式法求二次函数的表达式
思考： 选取（-3，0），（-1，0），（0，-3）三点，
试求出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点式法求函数表达式的关键是掌握函数的交点表达式
y＝a(x-x1) (x-x2)(a≠0)，其中x1和x2是图象与x轴交点的横坐标
获取新知
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).
(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是
y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
归纳总结
用交点式法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点式法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②把两交点的横坐标x1， x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将第三个点的坐标代入上面的方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例题讲解
例3 二次函数图象经过点A(1，0)，B(0，-3)，对称轴是直线x=2．求出这个的二次函数的解析式
解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，
∴图象经过另一点(3，0).
∴设该二次函数的解析式为y=a(x-1)(x-3).
将点(0，-3)代入，得
-3=a·(-1)(-3)
解得
a=-1.
∴该二次函数的解析式为y=-(x-1)(x-3)=-x2+4x-3.
随堂演练
1. 已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解:∵该图象经过点（-2,8）和（-1,5），
8=4a-2b，
5=a-b，
∴
解得
∴ y=-x2-6x.
{
{
a=-1,
b=-6.
2. 如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点坐标为
M(0，－1)，与x轴交于A，B两点．求抛物线的函数表达式．
解：∵抛物线的函数表达式中二次项系数为1，
且顶点为M(0，－1)，
∴其函数表达式为y＝x2－1.
3. 已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，
∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又∵抛物线过点M(0，1)，
∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
课堂小结
①已知三点坐标
(三点是否有两交点)
②已知顶点坐标或对称轴或最值
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式