第1讲 视图、表面积、几何体关系
目标层级图
课中讲解
一．生活中的立体图形
内容讲解
1.几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和几何图形。
2.点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线与线相交得到点，它是几何图形中最基本图形。
线：面与面相交交到线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体简称体。
（2）点动成线、线动成面、面动成体。
面动成体可以通过平移和旋转实现。例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿竖直方向平移形成，圆柱又可以看作是长方形绕着一边旋转一周形成。
3.生活中的立体图形
圆柱（圆柱的侧面是曲面，底面是圆）
柱
棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱 （棱
生活中的立体图形 柱的侧面是若干个小构成，底面是多边形）
（按名称分） 球
圆锥（圆锥的侧面是曲面，底面是圆）
锥
棱锥（棱锥的侧面是若干个三角形构成，底面是多边形）
4.棱柱及其有关概念
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫棱。
侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
棱柱的所有侧棱长都相等；棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。直棱柱的各个侧面都是长方形。长方体和正方体都是四棱柱。
棱柱有两个底面，个侧面，共个面，条棱，条侧棱；个顶点。
棱锥有一个底面，个侧面，共个面，条棱，条侧棱；个顶点。
例1.（1）已知三棱柱有 个面、 个顶点、 条棱，四棱柱有 个面、 个顶点、 条棱，五棱柱有 个面、 个顶点、 条棱，……，由此可以推测n棱柱有_____个面，____个顶点，_____条棱。
（2）已知三棱锥有 个面、 个顶点、 条棱，四棱锥有 个面、 个顶点、 条棱，五棱锥有 个面、 个顶点、 条棱，……，由此可以推测n棱锥有_____个面，____个顶点，_____条棱。
例2.欧拉公式 V（顶点数）、F（面数）、E（棱数）
根据上面多面体模型，完成下表
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4
正方体 8 12
八面体 8 12
你发现V、F、E之间存在的关系是 。
一个多面体的面数比顶点大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 。
例3.如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．
【解析】
过关检测
1.（1）三棱锥有 条棱，四棱锥有 条棱，十棱锥有 条棱；
（2）_____棱锥有30条棱，______棱锥有60条棱，一个棱锥的棱数是18，则它的面数是______；
（3）三棱柱有 条棱，四棱柱有 条棱，十棱柱有 条棱；
（4）______棱柱有15条棱，______棱柱有60条棱，一个棱柱的棱数是18，则它的面数是______。
【解析】
2.观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出（ ）
A. B. C. D.
二．图形展开与折叠
内容讲解
1.正方体的平面展开图：11种
1-4-1
1-3-2 2-2-2 3-3
2.正方形展开图的识别方法：
（1）排除法：
①由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图；
②有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图。
（2）对比法：对照上面的四种规则进行对照；
从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。
3.其他常见图形的展开图：
圆柱 圆锥 正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱展开图
侧面张开成长方形的有：圆柱、棱柱；
侧面展开成扇形的是：圆锥。
例1.（武侯区期末）下面四幅图中，不能作为无盖的正方体盒子的展开图的是（ ）
【解析】
例2.（嘉祥半期）如图为某正方体的展开图，已知该正方体上的与分别和它对面上的数字互为相反数，则的值为_________．
【解析】
例3.（青羊区期末）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
【解析】B
三棱柱展开后，侧面是三个长方形，上下底各是一个三角形。
过关检测
1.（金牛区期末）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“都”字相对的字是（ ）
A．金 B．牛 C．区 D．市
【解析】B
2.下列各平面图形中，不是三棱柱的表面展开图是（ ）
【解析】F
3.图1的正方形和图2中的正方形大小一样，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【解析】A
4.如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
【解析】B
5.将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C
展开图形黑圆与正方形应上下相邻，与五角星应左右相邻。
6.如图，是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则 ．
【分析】根据相对面上的两个数互为相反数，可得出，，的值，再代入即可求解．
【解答】解：由图可知，，，的对面分别是1，，2，
相对面上的两个数互为相反数，
，，所表示的数分别是，4，．
．
故答案为：．
【点评】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．
授课内容3：截几何体
内容讲解
截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是 三角形，也可能是正方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得 边形。
可能出现：锐角三角形，等边、等腰三角形；
正方形，长方形，平行四边形，菱形，不等腰梯形，等腰梯形；
五边形；六边形，正六边形。
不可能出现：钝角、直角三角形，直角梯形，正五边形，七边形或更多变形
用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，梯形、圆或椭圆。
用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角、圆、抛物线形或椭圆。
三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。
截面的形状多为圆和多边形，也可能是不规则图形，一般与下面两点有关：
（1）几何体的形状；
（2）切截的方向和角度
一般的，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面与平面相交就得到几边形;截面与曲面相交，得到曲线，截面是圆或不规则图形。
例1. 用平面截一个几何体，如果截面的形状是长方形（或正方形），那么该几何体不可能是
A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．正方体
【解答】解：、圆柱的轴截面是长方形，不符合题意；
、棱柱的轴截面是长方形，不符合题意；
、圆锥的截面为与圆有关的或与三角形有关的形状，符合题意；
、正方体的轴截面是正方形，不符合题意；
故选：．
例2. 一个几何体被一个平面所截后，得到一个七边形截面，则原几何体可能是
A．圆锥 B．长方体 C．八棱柱 D．正方体
【解答】解：圆锥有一个平面和一个曲面，长方体和正方体有6个面，八棱柱有10个面，
只有八棱柱可能得到一个七边形截面．
故选：．
过关检测
1. 用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．圆
【解答】解：用平面截圆柱，
横切就是圆，
竖切就是长方形，如果底面圆的直径等于高时，是正方形，
不论怎么切不可能是三角形．
故选：．
2. 用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体
【解答】解：、圆柱的截面可能是圆，长方形，符合题意；
、圆锥的截面可能是圆，三角形，不符合题意；
、三棱柱的截面可能是三角形，长方形，不符合题意；
、正方体的截面可能是三角形，或四边形，或五边形，或六边形，不符合题意；
故选：．
授课内容4：三视图
内容讲解
我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，
从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。
小结：几何体和三视图转化
1.由小方块搭成的几何体画它的主视图、左视图、俯视图时，关键是确定它们有几列，以及每列方块的个数。
2.由小方块搭成的几何体的俯视图画它的主视图和左视图方法：
（1）先摆出几何图形，再画主视图和左视图。
（2）先由俯视图确定主视图、左视图的列及每列方块的个数，再画出主视图、左视图。
例1．如图，是由几个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是
A． B． C． D．
例2．如图所示，几何体由若干个小正方体组成，请画出它的三视图．
【解答】解：三视图如下：
例3． 用小立方块搭一几何体，它的主视图和左视图如图所示，这个几何体最少要几个立方块？画出这种情况下的俯视图．
【解答】解：根据主视图和左视图可得：这个几何体最少要6个立方块．
俯视图如下：
过关检测
1.如图所示该几何体从正面看的主视图是
A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可．
【解答】解：从正面看的主视图是，
故选：．
2．如图，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图与左视图．
【解答】解：主视图与左视图如图所示：
3．已知一个由一些小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方体的个数是 B
A．5 B．6 C．7 D．8
4．仓库里堆积着正方体的货箱若干，它们的三视图如图所示，根据三视图，这些正方体货箱的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：在俯视图上标出对应的层数，
如图
所以这些正方体货箱的个数为8．
故选：．
学习任务
1.如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱
【解析】D
2.如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“设”字对面的字是（ ）
A．美 B．丽 C．学 D．校
【解析】C
3.已知一些多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】
4.如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
【解析】
5.如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是___________．
【解析】7和11
6.如图是一个正方体纸盒的展开图，如果这个正方体纸盒相对2个面上的代数式的值相等，求的值．
【解析】
7. （3分）下列的说法中：①棱锥的侧面为三角形；②棱柱侧面的形状可能是一个三角形；③长方体的截面形状可能是三角形；④棱柱的每条棱长都相等 ． 其中正确的有
A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④
【解答】解：①棱锥的侧面为三角形是正确的；
②棱柱侧面的形状不可能是一个三角形， 原来的说法是错误的；
③长方体的截面形状可能是三角形是正确的；
④棱柱的每条棱长不一定相等， 原来的说法是错误的 ．
故选：．
8.如下左图中的俯视图是
A． B． C． D．
9. 从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
【解答】解：如图所示：
10．（3分）几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
A．4 B．5 C．6 D．7
解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层应该有个小正方体，
第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是个，
所以这个几何体的体积是5．
故选：．第1讲 视图、表面积、几何体关系
目标层级图
课中讲解
一．生活中的立体图形
内容讲解
1．几何图形：从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和几何图形。
2．点、线、面、体
（1）几何图形的组成
点：线与线相交得到点，它是几何图形中最基本图形。
线：面与面相交交到线，分为直线和曲线。
面：包围着体的是面，分为平面和曲面。
体：几何体简称体。
（2）点动成线、线动成面、面动成体。
面动成体可以通过平移和旋转实现。例如：五棱柱、圆柱分别可以看作是由五边形或圆沿竖直方向平移形成，圆柱又可以看作是长方形绕着一边旋转一周形成。
3．生活中的立体图形
圆柱（圆柱的侧面是曲面，底面是圆）
柱
棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱
生活中的立体图形 棱柱的侧面是若干个小长方体构成，底面是多边形）
（按名称分） 球
圆锥（圆锥的侧面是曲面，底面是圆）
锥
棱锥（棱锥的侧面是若干个三角形构成，底面是多边形）
4．棱柱及其有关概念
棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫棱。 侧棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。
棱柱的所有侧棱长都相等；棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是平行四边形。直棱柱的各个侧面都是长方形。长方体和正方体都是四棱柱。
棱柱有两个底面，个侧面，共个面，条棱，条侧棱；个顶点。
棱锥有一个底面，个侧面，共个面，条棱，条侧棱；个顶点。
例1．（1）已知三棱柱有 个面、 个顶点、 条棱，四棱柱有 个面、 个顶点、 条棱，五棱柱有 个面、 个顶点、 条棱，……，由此可以推测n棱柱有_____个面，____个顶点，_____条棱。
（2）已知三棱锥有 个面、 个顶点、 条棱，四棱锥有 个面、 个顶点、 条棱，五棱锥有 个面、 个顶点、 条棱，……，由此可以推测n棱锥有_____个面，____个顶点，_____条棱。
例2．欧拉公式 V（顶点数）、F（面数）、E（棱数）
根据上面多面体模型，完成下表
多面体 顶点数 面数 棱数
四面体 4 4
正方体 8 12
八面体 8 12
你发现V、F、E之间存在的关系是 。
一个多面体的面数比顶点大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是 。
例3．如图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得出下面的立方图形，请你把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来．
过关检测
1．（1）三棱锥有 条棱，四棱锥有 条棱，十棱锥有 条棱；
（2）_____棱锥有30条棱，______棱锥有60条棱，一个棱锥的棱数是18，则它的面数是______；
（3）三棱柱有 条棱，四棱柱有 条棱，十棱柱有 条棱；
（4）______棱柱有15条棱，______棱柱有60条棱，一个棱柱的棱数是18，则它的面数是______。
2．观察下图，请把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的几何体选出（ ）
A． B． C． D．
二．图形展开与折叠
内容讲解
1．正方体的平面展开图：11种
1-4-1
1-3-2 2-2-2 3-3
2．正方形展开图的识别方法：
（1）排除法：
①由少于或多于6个的正方形组成的图形不是正方形的平面展开图；
②有“凹”字型或“田”字型部分的平面图形不是正方体的展开图。
（2）对比法：对照上面的四种规则进行对照；
从展开图可以看出，在正方形的展开图中不会出现如下图所示的“凹”字型和“田”字型结构。
3．其他常见图形的展开图：
圆柱 圆锥 正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥、正三棱柱展开图
侧面张开成长方形的有：圆柱、棱柱；
侧面展开成扇形的是：圆锥。
例1．（武侯区期末）下面四幅图中，不能作为无盖的正方体盒子的展开图的是（ ）
例2．（嘉祥半期）如图为某正方体的展开图，已知该正方体上的与分别和它对面上的数字互为相反数，则的值为_________．
例3．（青羊区期末）下列图形中可以作为一个三棱柱的展开图的是（ ）
过关检测
1．（金牛区期末）如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，与“都”字相对的字是（ ）
A．金 B．牛 C．区 D．市
2．下列各平面图形中，不是三棱柱的表面展开图是（ ）
3． 图1的正方形和图2中的正方形大小一样，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
4．如图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、B、C均是棱的中点，现将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是（ ）
5．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（ ）
6. 如图，是一个正方体纸盒的展开图，按虚线折成正方体后，相对面上的两个数互为相反数，则 ．
三．截几何体
内容讲解
截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
1．用一个截面去截长方体或正方体，截面可能是等腰三角形、等边三角形、但不可能是 三角形，也可能是正方形，长方形，梯形，五边形等，最多可截得 边形。
可能出现：锐角三角形，等边、等腰三角形；
正方形，长方形，平行四边形，菱形，不等腰梯形，等腰梯形；
五边形；六边形，正六边形。
不可能出现：钝角、直角三角形，直角梯形，正五边形，七边形或更多变形
2．用一个截面去截圆柱，截面可能是正方形，长方形，梯形、圆或椭圆。
3．用一个截面去截圆锥，截面可能是等腰三角、圆、抛物线形或椭圆。
4．三棱锥的截面可以是三角形、长方形、四边形。其中四边形可以是特殊的矩形、梯形。
截面的形状多为圆和多边形，也可能是不规则图形，一般与下面两点有关：
（1）几何体的形状；
（2）切截的方向和角度
一般的，截面与几何体的几个面相交，就得到几条交线，截面与平面相交就得到几边形;截面与曲面相交，得到曲线，截面是圆或不规则图形。
例1． 用平面截一个几何体，如果截面的形状是长方形（或正方形），那么该几何体不可能是
A．圆柱 B．棱柱 C．圆锥 D．正方体
例2．一个几何体被一个平面所截后，得到一个七边形截面，则原几何体可能是
A．圆锥 B．长方体 C．八棱柱 D．正方体
过关检测
1． 用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是
A．正方形 B．三角形 C．长方形 D．圆
2． 用一个平面去截一个几何体，不能截得三角形截面的几何体是
A．圆柱 B．圆锥 C．三棱柱 D．正方体
四．三视图
内容讲解
我们从不同方向观察物体时，从正面看到的图形叫做主视图，
从左边看到的图形叫做左视图，从上面看到的视图叫做俯视图。
小结：几何体和三视图转化
1．由小方块搭成的几何体画它的主视图、左视图、俯视图时，关键是确定它们有几列，以及每列方块的个数。
2．由小方块搭成的几何体的俯视图画它的主视图和左视图方法：
（1）先摆出几何图形，再画主视图和左视图。
（2）先由俯视图确定主视图、左视图的列及每列方块的个数，再画出主视图、左视图。
例1．如图，是由几个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是
A． B． C． D．
例2．如图所示，几何体由若干个小正方体组成，请画出它的三视图．
例3． 用小立方块搭一几何体，它的主视图和左视图如图所示，这个几何体最少要几个立方块？画出这种情况下的俯视图．
过关检测
1．如图所示该几何体从正面看的主视图是
A． B． C． D．
2．如图，这是一个由小立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请你画出它的主视图与左视图．
3．已知一个由一些小立方体搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小立方体的个数是
A．5 B．6 C．7 D．8
4．仓库里堆积着正方体的货箱若干，它们的三视图如图所示，根据三视图，这些正方体货箱的个数为
A．5 B．6 C．7 D．8
学习任务
1．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱
2．如图是一个正方体的展开图，将它折叠成正方体后，“设”字对面的字是（ ）
A．美 B．丽 C．学 D．校
3．已知一些多面体的平面展开图如图所示，其中是三棱柱的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（ ）
5．如图是一个正方体纸盒的展开图，当折成纸盒时，与点1重合的点是___________．
6．如图是一个正方体纸盒的展开图，如果这个正方体纸盒相对2个面上的代数式的值相等，求的值．
7． （3分）下列的说法中：①棱锥的侧面为三角形；②棱柱侧面的形状可能是一个三角形；③长方体的截面形状可能是三角形；④棱柱的每条棱长都相等 ． 其中正确的有
A ．①② B ．①③ C ．②④ D ．③④
8．如下左图中的俯视图是
A． B． C． D．
9．从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出你所看到的几何体的形状图．
)
10．几个棱长为1的正方体组成的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 )
A．4 B．5 C．6 D．7
家长签字：
1
