第1节 有理数的相关概念
目标层级图
课前检测
1．圆锥由 2 个面围成，其中 1 个平面， 1 个曲面．
2．如图，将长方形绕边旋转一周，得到的几何体是 圆柱 ．
3．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为
A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
4．下列立体图形中，从上面观察你所看到的形状图不是圆的是
A． B． C． D．
5．下列各图中，经过折叠能围成一个正方体的是
A． B．
C． D．
课中讲解
一．授课内容1：有理数的概念
内容讲解
①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上___正_号，把另一个数前面加上___负___号来进行区分；前面带____正______号的数叫做正数，前面的__正_____号经常可以省略不写，前面带_____负______号的数叫做负数;
②_____0_____既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；
③_______正数___大于零，__负数_______小于零，正数___大于____一切负数.
例1．某地气象资料表明，高度每增加1000米，气温就下降大约，现在5 000米高空的气温是，则地面气温约是 7 ．
例2．纽约与北京的时差为小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
例3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
A． B． C． D．
过关检测
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记为，则表示气温为 零下 ．
2．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，适合储存这种食品的是
A． B． C． D．
3．巴黎与北京的时差为小时，李阳在北京乘坐8点的航班飞行10小时到达巴黎，那么李阳到达巴黎时间是 11 点．
二．授课内容2：有理数的分类
内容讲解
有理数：整数与分数统称为有理数
整数：正整数、负整数和0统称为整数
分数：正分数、负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数
有理数的分类：
1.按符号分类: 2.按定义分类：
(
正整数
零（
0
）
负整数
正分数
负分数
) (
整数
分数
) (
正整数
正分数
负整数
负分数
) (
0
)
注：非负数：0和正数、非正数：0和负数、非负整数：0和正整数、自然数：0和正整数.
例1．把下列各数填到相对应的括号里面：； 49；； 3.1415；； 0.62； 18； 0；；
整数 49，，18，0 负数 分数
小数 非正数集合 非负数集合 ．
【解答】解：整数有49，，18，0；
负数有，，，；
分数有，3.1415，，0.62，，；
小数有，3.1415，，0.62，，；
非正数集合，，0，，，；
非负数集合，49，3.1415，0.62，0，；
过关检测
1. 、45、、0、、、、
解：正整数集： 45、；
负分数集：、；
非负数集： 45、0、、．
2 .把下列各数分别填在相应的大括号内
7，，，，106，，，31.25，， ，0 ， 2.1 ， 10% ，，，，
正整数集合{ 7， 106， }；
负整数集合{ ， }；
整数集合{ 7，106，，0 ， ， }；
正分数集合{，，31.25 ，2.1 ， 10% }；
负分数集合{，， ， }；
非负整数集合{ 7，106， 0 ，， }。
有理数集合{7，，，，106，，，31.25，， ，0 ， 2.1 ， 10% ，，， }
三．授课内容3：数轴
内容讲解
1、数轴三要素：单位长度、原点、正方向
2、任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
3、数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0；负数小于0；正数大于负数。
例1. 下列图形中，数轴画正确是
A． B．
C． D．
例2. 如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为 ，，0，1 ．
例3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
例4．一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 ．
过关检测
1.下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
2. 下列图形中，属于数轴的是
A． B．
C． D．
3．若数轴上表示和3的两点分别是点和，则点和点之间的距离是
A． B． C．1 D．5
4．在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“”号连接．
【解答】解：
．
5．一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位；．
（1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数是 3 ；
（2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数是 4 ；
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是 7 ；
（4）第次移动后这个点在数轴上表示的数是 ．
四．授课内容4：相反数、倒数
内容讲解
1、倒数的定义：乘积为 1 的两个有理数互为倒数。（注意：0没有倒数）
2、相反数定义： 指绝对值相等, 符号相反 的两个数互为相反数。
例如:-2 与 +2 互为相反数。用字母表示a与 -a 是相反数, 0的相反数是 0 。
例1.下面两个数中互为相反数的是
A．和0.5 B．和 C．和0.333 D．和
例2. 如图所示，数轴上点所表示的数的相反数是
A．2 B． C．3 D．
例3．和互为相反数，并且，那么 3 ， -3 ．
例4．2020的倒数是
A． B．2020 C． D．
例5．若和互为倒数，则 1 ．
过关检测
1．绝对值等于它本身的数是 非负数 ；倒数等于它本身的数是 ．
2. 有这样四句话：（1）是相反数；（2）和4都是相反数；（3）是4的相反数，同样4也是的相反数；（4）与4互为相反数，其中说得对的是
A．（1）与（2） B．（2）与（3） C．（1）与（4） D．（3）与（4）
3．已知，若、互为相反数，则 ，2007．
4．的倒数是
A． B． C． D．3
5．若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
6．若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是
A．和 B．和 C．和 D．和
7．若的相反数是3，那么的值是
A． B． C． D．
五．授课内容5：绝对值
内容讲解
1.绝对值的几何意义:数轴上，一个数所对应的点到原点的叫做这个数的绝对值.例如，数的绝对值记作 .
2.绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它的 本身 ；一个负数的绝对值是它的 相反数；0的绝对值是 0 .
3.两个负数比较大小绝对值大的反而小
例1. 数轴上点与数轴上表示3的点相距6个单位，点表示的数是
A．3 B． C．9 D．或9
例2．当，，且，则的值为
A． B．或 C．2 D．
例3．如果，那么
A． B． C． D．
例4．已知，则的值为
A．4 B． C． D．
过关检测
1．，则是
A．2 B． C． D．2或
2．下列说法正确的是
A．0是最小的整数
B．若，则
C．互为相反数的两数之和为零
D．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远
3．的值是
A．0 B． C．或0 D．不能确定
4．已知，则的相反数为
A． B．1 C．3 D．
5. 的倒数是 ；的相反数是 -2 ；的绝对值是 9 ．
6．在数轴上，若点表示，则距点3个单位长的点表示的数是 或1 ．
六．授课内容6：科学计数法
内容讲解
一般地，一个大于 10 的数可以表示成 a × 10n 的形式，其中 1 a < 10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
1万= ，1亿= ，1米= 纳米 ，1吨=
例1. 钓鱼岛是中国的固有领土，其渔业资源十分丰富，年捕鱼量达16万吨，数据16万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
过关检测
1. 火星到地球的最远距离约为4.01亿千米，4.01亿千米用科学记数法表示为
A． 千米 B． 千米
C． 千米 D． 千米
2．2020年5月6日，成都市又添一座崭新的、面向世界、面向未来的成渝地区双城经济圈新兴城市一成都东部新区．新区规划到2035年，地区生产总值达到3200亿元，3200亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．2016年四川省高考报名人数约为532000人，其中数据532000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
学习任务
1．同舟共济克时艰，众志成城战疫魔，全国广大共产党员为支持新冠肺炎疫情防控工作踊跃捐款，他们的善心和爱意汇聚成汩汩暖流，在春天的神州大地奔涌流淌．据统计，截止到2020年3月10日，全国党员自愿捐款共计76.8亿元，将数据76.8亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．7680000000
2．下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．下面图形是数轴的是
A． B．
C． D．
4．相反数不大于它本身的数是
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
5．的相反数
A． B． C． D．
6．如果，，那么的值为
A．1 B．3 C．1或3 D．或
7．某种零件，标明加工要求是表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 不合格 （填“合格”或“不合格” ．
8．把下列各数按要求分类
① ② ③ ④0 ⑤ ⑥ ⑦0.6 ⑧ ⑨ ⑩
负整数： ①⑥ ；分数：②③⑤⑦⑧⑨；非正整数：①④⑥．
9．若与互为相反数，则 ．
10．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2．
（1）直接写出，，的值；
（2）求的值．
【解答】解：（1）、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2，
，，．
（2）当时，；
当时，．
11．已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边，距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
【解答】解：（1）根据题意得：点所对应的数是；对应的数是20；
（2）设经过秒点、相遇，
根据题意得：，
解得：，
则点对应的数为；
12．根据给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 1， ．
（2）观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是： 5和 ．
（3）若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，则：①点与哪个数表示的点重合？②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数分别是多少？
、两点表示的数分别是，1005
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
家长签字：____________第2讲 有理数的相关概念
目标层级图
课中讲解
一．有理数的概念
内容讲解
①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上号，把另一个数前面加上______号来进行区分；前面带_______号的数叫做正数，前面的______号经常可以省略不写，前面带_________号的数叫做负数;
②_______既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点；
③________大于零，______小于零，正数______一切负数.
例1．某地气象资料表明，高度每增加1000米，气温就下降大约，现在5 000米高空的气温是，则地面气温约是 ．
例2．纽约与北京的时差为小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京时间1月7日8时时，纽约的时间是
A．1月6日21时 B．1月7日21时 C．1月6日19时 D．1月6日20时
例3．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有“、、”的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差
A． B． C． D．
过关检测
1.《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数，若其意义相反，则分别叫做正数与负数，若气温为零上记为，则表示气温为 ．
2．某种食品保存的温度是，以下几个温度中，适合储存这种食品的是
A． B． C． D．
3．巴黎与北京的时差为小时，李阳在北京乘坐8点的航班飞行10小时到达巴黎，那么李阳到达巴黎时间是 点．
二．有理数的分类
内容讲解
有理数：与统称为有理数
整数：、和统称为整数
分数：、统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数
有理数的分类：
1.按符号分类: 2.按定义分类：
(
整数
分数
)
注：非负数： 、非正数： 、非负整数： 、自然数： .
例1．把下列各数填到相对应的括号里面：； 49；； 3.1415；； 0.62； 18； 0；；
整数{ }
负数{ }
分数{ }
小数{ }
非正数集合{ }
非负数集合{ }．
过关检测
1．、45、、0、、、、
解：正整数集：{ }
负分数集：{ }
非负数集：{ }
2．把下列各数分别填在相应的大括号内
7，，，，106，，，31.25，， ，0 ， 2.1 ， 10% ，，，，
正整数集合{ }
负整数集合{ }
整数集合{ }
正分数集合{ }
负分数集合{ }
非负整数集合{ }
有理数集合{ }
三．数轴
内容讲解
1．数轴三要素： 、 、
2．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示．
3．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。
正数 ；负数 ；正数 负数。
例1. 下列图形中，数轴画正确是
A． B．
C． D．
例2．如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数为．
例3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是
A． B． C． D．
例4．一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 ．
过关检测
1.下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是
A．①②③④ B．②③④ C．③④ D．④
2. 下列图形中，属于数轴的是
A． B．
C． D．
3．若数轴上表示和3的两点分别是点和，则点和点之间的距离是
A． B． C．1 D．5
4．在数轴上表示下列各数：0，，，，，，并用“”号连接．
5．一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动1个单位，再向右移动2个单位；第二次先向左移动3个单位，再向右移动4个单位；第三次先向左移动5个单位，再向右移动6个单位；．
（1）第一次移动后这个点在数轴上表示的数是 ；
（2）第二次移动后这个点在数轴上表示的数是 ；
（3）第五次移动后这个点在数轴上表示的数是 ；
（4）第次移动后这个点在数轴上表示的数是 ．
四．相反数、倒数
内容讲解
1．倒数的定义：的两个有理数互为倒数。（注意：0没有倒数）
2．相反数定义： 相等, 相反的两个数互为相反数。
例如:-2与 互为相反数。用字母表示a与 是相反数,0的相反数是 。
例1．下面两个数中互为相反数的是
A．和0.5 B．和 C．和0.333 D．和
例2．如图所示，数轴上点所表示的数的相反数是
A．2 B． C．3 D．
例3．和互为相反数，并且，那么 ， ．
例4．2020的倒数是
A． B．2020 C． D．
例5．若和互为倒数，则 ．
过关检测
1．绝对值等于它本身的数是 ；倒数等于它本身的数是 ．
2. 有这样四句话：（1）是相反数；（2）和4都是相反数；（3）是4的相反数，同样4也是的相反数；（4）与4互为相反数，其中说得对的是
A．（1）与（2） B．（2）与（3） C．（1）与（4） D．（3）与（4）
3．已知，若、互为相反数，则 ，2007．
4．的倒数是
A． B． C． D．3
5．若，互为相反数，则下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
6．若，互为相反数，则下列各对数中不是互为相反数的是
A．和 B．和 C．和 D．和
7．若的相反数是3，那么的值是
A． B． C． D．
五．绝对值
内容讲解
1．绝对值的几何意义:数轴上，一个数所对应的点到原点的 叫做这个数的绝对值.例如，数的绝对值记作 .
2．绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它的 ；一个负数的绝对值是它的 ；0的绝对值是 .
3．两个负数比较大小绝对值大的反而小
例1. 数轴上点与数轴上表示3的点相距6个单位，点表示的数是
A．3 B． C．9 D．或9
例2．当，，且，则的值为
A． B．或 C．2 D．
例3．如果，那么
A． B． C． D．
例4．已知，则的值为
A．4 B． C． D．
过关检测
1．，则是
A．2 B． C． D．2或
2．下列说法正确的是
A．0是最小的整数
B．若，则
C．互为相反数的两数之和为零
D．数轴上两个有理数，较大的数离原点较远
3．的值是
A．0 B． C．或0 D．不能确定
4．已知，则的相反数为
A． B．1 C．3 D．
5.的倒数是 ；的相反数是 ；的绝对值是 ．
6．在数轴上，若点表示，则距点3个单位长的点表示的数是 ．
六．科学计数法
内容讲解
一般地，一个大于 10 的数可以表示成a × 10n的形式，其中a的取值范围是：
n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。
1万= ，1亿= ，1米=纳米 ，1吨=
例1. 钓鱼岛是中国的固有领土，其渔业资源十分丰富，年捕鱼量达16万吨，数据16万用科学记数法表示为
A． B． C． D．
过关检测
1. 火星到地球的最远距离约为4.01亿千米，4.01亿千米用科学记数法表示为
A．千米 B．千米
C．千米 D．千米
2．2020年5月6日，成都市又添一座崭新的、面向世界、面向未来的成渝地区双城经济圈新兴城市一成都东部新区．新区规划到2035年，地区生产总值达到3200亿元，3200亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．
3．2016年四川省高考报名人数约为532000人，其中数据532000用科学记数法表示为
A． B． C． D．
学习任务
同舟共济克时艰，众志成城战疫魔，全国广大共产党员为支持新冠肺炎疫情防控工作踊跃捐款，他们的善心和爱意汇聚成汩汩暖流，在春天的神州大地奔涌流淌．据统计，截止到2020年3月10日，全国党员自愿捐款共计76.8亿元，将数据76.8亿用科学记数法表示为
A． B． C． D．7680000000
2．下列说法中：
①0是最小的整数；
②有理数不是正数就是负数；
③正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；
④非负数就是正数；
⑤不仅是有理数，而且是分数；
⑥是无限不循环小数，所以不是有理数；
⑦无限小数不都是有理数；
⑧正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．
其中错误的说法的个数为
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
3．下面图形是数轴的是
A．B．
C． D．
4．相反数不大于它本身的数是
A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数
5．的相反数
A． B． C． D．
6．如果，，那么的值为
A．1 B．3 C．1或3 D．或
7．某种零件，标明加工要求是表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 （填“合格”或“不合格”．
8．把下列各数按要求分类
① ② ③ ④0 ⑤ ⑥ ⑦0.6 ⑧ ⑨⑩
负整数：{ }；
分数：{ }；
非正整数：{ }．
9．若与互为相反数，则 ．
10．若、互为相反数，、互为倒数，的绝对值为2．
（1）直接写出，，的值；
（2）求的值．
11．已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边，距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
12．根据给出的数轴，解答下面的问题：
（1）请你根据图中、两点的位置，分别写出它们所表示的有理数 ， ．
（2）观察数轴，与点的距离为4的点表示的数是： ．
（3）若将数轴折叠，使得点与表示的点重合，
则：①点与哪个数表示的点重合？
②若数轴上、两点之间的距离为在的左侧），且、两点经过折叠后互相重合，求、两点表示的数分别是多少？
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