5.1.1任意角 高中数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数
5.1.1任意角
【课程标准】
了意角的概念，能正确区分正角、负角和零角。
掌握象限角解任的概念，并会用集合表示象限角
掌握终边相同角的含义及其表示方法，并能解决有关问题
【知识要点归纳】
角的分类：
任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
正角:按逆时针方向旋转所形成的角.
负角:按顺时针方向旋转所形成的角.
零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角
角的加法
若角和角的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称。
设是任意两个角，把的终边旋转角，这时终边所对应的角是__________.
相反角：把射线OA绕端点O按不同方向旋转的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为-，
终边相同的角
终边相同的角为
注：(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(2)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
象限角
约定：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
常用的象限角
角的终边所在位置 角的集合
x轴正半轴
y轴正半轴
x轴负半轴
y轴负半轴
x轴
y轴
坐标轴
是第一象限角，所以
是第二象限角，所以
是第三象限角，所以
是第四象限角，所以
【经典例题】
例1．在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。
（1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。
【解析】（1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），
由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，
故所求的最大负角为=―50°
（2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°
例2．已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式。
（1）、的终边关于原点对称；
（2）、的终边关于x轴对称；
（3）、的终边关于y轴对称。
【解析】（1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），
于是（k∈Z）。
（2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）。
（3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），
故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z）
例3．若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。
【解析】解法一：因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。
（1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），
故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。
（2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。
（3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；
当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第二象限或第四象限的角。
【变式1】若是第三象限的角，则2，分别是第几象限的角？
【答案】一、二象限或轴的正半轴上；二、四象限
【变式2】集合，，则( )
A、 B、 C、 D、
【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4
(法二)在平面直角坐标系中，数形结合
(法三)集合M变形，
集合N变形，
是的奇数倍，是的整数倍，因此.
【当堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．已知是第一象限角，那么是　　
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
2．集合，，，，则　　
A． B． C． D．
3．若，，其中，则角与的终边　　
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于对称
4．与角终边相同的角是　　
A． B． C． D．
二．填空题（共2小题）
5．角是第　　象限角．
6．的取值范围是　　
三．解答题（共2小题）
7．已知．
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来．
8．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
当堂检测答案
一．选择题（共4小题）
1．已知是第一象限角，那么是　　
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角
【分析】由题意是第一象限角可知的取值范围，然后求出即可．
【解答】解：的取值范围，
的取值范围是，
分类讨论
①当 （其中时
的取值范围是，即属于第三象限角．
②当（其中时
的取值范围是，即属于第一象限角．
故选：．
【点评】此题考查象限角、轴线角以及半角的三角函数，角在直角坐标系的表示，属于基础题．
2．集合，，，，则　　
A． B． C． D．
【分析】根据即可得出或，，从而得出，从而可得出，从而选．
【解答】解：；
或，；
；
又；
．
故选：．
【点评】考查描述法表示集合的定义，整数可分为奇数和偶数，奇数表示为，，偶数表示为，．
3．若，，其中，则角与的终边　　
A．关于原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于对称
【分析】由已知可得，即可得到角与的终边的关系．
【解答】解：，，其中，
．
角与的终边关于轴对称．
故选：．
【点评】本题考查象限角以及对称性的判断，是基础题．
4．与角终边相同的角是　　
A． B． C． D．
【分析】利用终边相同的角相差的整数倍，判断选项即可．
【解答】解：与角终边相同的角是：，，
当时，与角终边相同的角是．
故选：．
【点评】本题考查终边相同角的表示，是基础题．
二．填空题（共2小题）
5．角是第　三　象限角．
【分析】根据终边相同的角化为，，，即可．
【解答】解：，是第三象限角．
故答案为：三．
【点评】本题考查了终边相同的角的定义与应用问题，是基础题．
6．的取值范围是　　
【分析】由的范围求得的范围，进一步得到的范围，再由不等式的可加性得答案．
【解答】解：，，则，
又，，
得．
故答案为：．
【点评】本题考查不等式的运算性质，是基础题．
三．解答题（共2小题）
7．已知．
（1）把写成的形式，并指出它是第几象限角
（2）写出与终边相同的角构成的集合，并把中适合不等式的元素写出来．
【分析】（1）利用终边相同的角的表示方法，把角写成的形式，然后指出它是第几象限的角；
（2）利用终边相同的角的表示方法，通过的取值，求出，且．
【解答】解：（1），，
把角写成的形式为：，
它是第四象限的角．
（2）与的终边相同，
令，，
，
当，0，满足题意，
得到，
【点评】本题考查终边相同角的表示方法，基本知识的考查．
8．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．
【分析】先由图象写出角在间的取值范围，再由终边相同的角的概念写出角的集合．
【解答】解：如图，终边落在阴影部分的角为：或，
终边落在阴影部分的角的集合为：
或，
，．
【点评】本题考查角的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意终边相同的角的概念的合理运用．