第一章《空间向量与立体几何》单元测试--2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册（含答案）

2022-2023学年新人教A版选择性必修第一册
第一章《空间向量与立体几何》单元测试
一、单项选择题（每小题5分，共40分）
1、已知平面，的法向量分别为，，且//，则
A、 B、1
C、 D、
2、已知，记M到x轴的距离为a，到y轴的距离为b，到z轴的距离为c，则（ ）
A． B．
C． D．
3、如图，在平行六面体中，等于
A、 B、 C、 D、
4、在四面体中，点G是的重心，设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
5、在长方体中，，，点分别在棱上，//，，则
A、1 B、
C、2 D、
6、如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为
A、 B. C. D.
7、如图，正方体中，是的中点，则
A、直线与直线垂直，直线//平面
B、直线与直线平行，直线平面
C、直线与直线异面，直线平面
D、直线与直线相交，直线平面
8、如图，在正方体中，过的平面分别交于点．给出
下列结论：
（1）四边形一定是平行四边形 （2）四边形可能是正方形；
（3）四边形为菱形时，其面积最小 （4）四边形为矩形时，其面积最大．
正确的个数有（ ）
A、4 B、3 C、2 D、1
二、多项选择题（每小题5分，共20分，有多项符合要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分）
9、若平面，平面的法向量为，则平面的一个法向量可以是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、如图，在棱长都为1的平行六面体中，，，两两夹角均为，则有（ ）
A、1 B、⊥平面A1BD
C、⊥平面B1D1C D、｜｜=
11、如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，连接BM，设BM的中点为E，动点N在底面正方形ABCD内（含边界）运动，则下列结论中正确的是（ ）
A．存在无数个点N满足
B．若，则，E，N三点共线
C．
D．存在无数个点N满足MN与平面ABCD所成的角为
12、如图, 在矩形中, , 将沿所在的直线进行翻折, 得到
空间四边形.
给出下面4个结论，其中正确的是（ ）
A、在翻折过程中, 存在某个位置, 使得；
B、在翻折过程中, 三棱锥的体积不大于；
C、在翻折过程中, 存在某个位置, 使得异面直线与所成角为45°
D、设BC中点为O，在翻折过程中, 存在某个位置,，使得A1O⊥平面BCD
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知向量，，，若共面，则等于
14、已知点，平面过，，三点，则点到平面的距离为________．
15、如图，正方体的棱长为，，分别是棱，上的点，如果⊥平面，则与长度之和为 .
16、《九章算术·商功》：“斜解立方，得两壍堵（qiàn dǔ）．斜解壍堵，其一为阳马，一为鳖臑（biē nào）．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”文中所述可用下图表示：
则几何体“鳖臑”的四个面中，直角三角形的个数为 ；若上图中的“立方”是棱长为1的正方体，则的中点到直线的距离等于 ．
三 解答题（共6小题，共计70分）
17、（10分）如图, 在直三棱柱中,,. M为侧棱的中点,连接.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）求二面角的大小.
18．（12分）如图，正方体的棱长为，点为的中点．
（I）求证：平面；
（Ⅱ）求点到平面的距离；
（III）判断的中点是否在平面上？说明理由.
19．（12分）如图，四棱锥中，底面为正方形，底面，，点分别为的中点，平面棱．
（Ⅰ）试确定的值，并证明你的结论；
（Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值．
20、（12分）如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，．点在上，且平面．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
21、（12分）如图，在多面体中，为正方形，平面，， .
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小.
22、（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，，，且.现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF，然后沿边AD将正方形ADEF折起，使，M为线段DE上的动点，如图
（Ⅰ）求二面角的大小；
（Ⅱ）设，若所在直线与平面相交，求的取值范围.
参考答案
1、D 2、C 3、C 4、B 5、D 6、C 7、A 8、B
9、AC 10、BCD 11、ABD 12、BC
13、9 14、 15、1
16、4 ，
17、解法一：
（Ⅰ）在直三棱中，侧面为平行四边形.
所以.
因为平面,平面,
所以.
（Ⅱ）在直三棱柱中, 侧棱平面.
所以.
因为, 且，，所以.
因为, 所以.
又因为，所以.
因为,, 所以.
同理, 所以.
即.
因为, 所以.
（Ⅲ）由题意可知两两垂直, 故以为
原点，以所在的直线分别为轴，轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
由题得
.
所以, , .
由（Ⅱ）知，所以平面的
一个法向量为.
设平面的一个法向量为.
得,即.
得.
令，得，所以.
可得.
又因为二面角的平面角为锐角,
所以二面角的大小为.
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）由题意可知两两垂直, 故以为原点，
以所在的直线分别为轴，轴，轴，建
立如图所示的空间直角坐标系.
由题得.
所以，，
设平面的一个法向量为.
得,即.
得.
则，令，得，所以,
因为，所以.
（Ⅲ）设平面的一个法向量为.
得,即.
得.
令，得，所以.
由（Ⅱ）可知，平面的一个法向量为.
可得.
又因为二面角的平面角为锐角,
所以二面角的大小为.
18、解：
（Ⅰ）正方体中，且，
所以，四边形为平行四边形，， ------2分 或向量，点积为零
平面，平面，
平面； ------1分
（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别
为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
------1分
则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，------1分
令，则，，则. ------1分
，
. ------2分
因此，点到平面的距离为.
（Ⅲ）方法一：
如图，连结.
分别是的中点，
. ------1分
由（Ⅰ）可知，，------1分
. ------1分
共面. 即点在平面上. ------1分
方法二：
，所以. ------1分
又因为平面的法向量为，------1分
所以点到平面的距离：
------1分
点在平面上. ------1分
方法三：
，------1分
平面的法向量为------1分
.
. ------1分
又平面，点在平面上. ------1分
19、解：（Ⅰ）. ........................1分
证明如下：
在△中，因为点分别为的中点，
所以//.
又平面，平面，
所以//平面.
因为平面，平面平面，
所以//
所以//.
在△中，因为点为的中点，
所以点为的中点， 即 . ........................5分
（Ⅱ）因为底面为正方形，所以.
因为底面，
所以，.
如图，建立空间直角坐标系，则，，.
因为分别为的中点，
所以.
所以，.
设平面的法向量为，则
即
令，于是.
又因为平面的法向量为，
所以
所以平面与平面夹角的余弦值为. ........................12分
20、解：（Ⅰ）因为平面，
所以．
因为平面，
所以．
所以平面．
所以．
（Ⅱ）取中点，连接．
由（Ⅰ）得四边形为菱形，
所以．
因为，
所以．
因为两两互相垂直，
以为原点，的方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图
所示的空间直角坐标系．
则，，，．
所以．
设，其中．
所以．
因为平面，
所以，即．
所以．
解得，即．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得．
因为，．
设平面的法向量为，则
　即
令，则，于是．
所以点到平面的距离为．
21、解：（Ⅰ）方法1：设G为DE的中点，连接FG，AG，
由已知，且，
所以四边形CFGD是平行四边形，…………1分
又ABCD为正方形，
所以ABFG为平行四边形， …………2分
所以， …………3分
又平面，平面，…………4分
所以. …………5分
方法2：因为，所以平面，
又，所以平面，
，
所以平面平面，
所以.
（Ⅱ）因为为正方形，平面，
以D为坐标原点建立空间直角坐标系（如图） …………1分
所以 ，，…………2分
，，，…………3分
设平面的一个法向量为，
则 …………4分
即
令，得.
于是. …………5分
设直线与平面所成角为，则
，
即，
所以直线与平面所成的角为. …………7分
22、解：因为，所以，易得 两两垂直，以D为坐标原点，方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图 所示空间直角坐标系，
则，，，.
（Ⅰ），，，
设平面的法向量
，
，
令，得.
所以平面的法向量.
设平面的法向量
令，得.
所以平面的法向量.
二面角为钝角，所以二面角的大小为.
（Ⅱ）因为，所以且,
，
因为所在直线与平面相交，
所以，解得，
所以的取值范围为.