福建省三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试数学试题（Word版含答案）
文档属性
| 名称 | 福建省三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试数学试题（Word版含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 893.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-12 15:05:53 | ||
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文档简介
三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试
数学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．已知点），向量，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量），则与同向共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四面体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知平面，，，则等于（ ）
A． B．6 C．12 D．144
7．已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体D的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为
B．点关于点B对称的点为
C．点A关于直线对称的点为
D．点C关于平面对称的点为
10．已知点P是平行四边形所在平面外的一点，若，，，则（ ）
A． B．是平面的一个法向量
C D．直线与平面所成角的余弦值为
11．在三棱锥中，以下说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，M，N分别为，的中点，则
D．若T为的重心，则
12．已知正方体的棱长为2，点P满，则下列选项正确的为（ ）
A．若，，，则二面角为30°
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，，，且直线与平面所成的角为45°，则点P的轨迹长度为
D．若，则点P的轨迹与正方体表面交线的总长度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知，，则__________ ．
14．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则__________．
15．点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为__________ ．
16．如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在平行六面体中，设，，，E，F分别是，的中点．
（1）用向量，，表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
18．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
19．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
（1）求，为邻边的平行四边形的面积S；
（2）求，夹角的余弦值．
20．如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，O，M分别为，的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，E为的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点F，使得点到平面的距高为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22．已知梯形和矩形．在平面图形中，，．现将矩形沿进行如图所示的翻折．
（1）当二面角的大小为时，求的长；
（2）设M是中点．
①当二面角的大小为时，若，且点H在平面内，求实数的值；
②求在翻折的过程中，直线与平面所成最大角的正弦值．
三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试
数学 （答案）
1．A 2．B 3．C 4．D 5．C
6．C 7．C 8．A 9．ACD 10．AD
11．BD 12．BCD
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）如图，，
；
（2）
，∴，，．
18．解：（1）若，则存在实数，使，即，
所以，解得，所以．
所以，所以．
（2）因为，所以，解得．
因为，所以，所以．
当时，，，所以．
当时，，，
所以．
19．解：（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴；
20．解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
∵，∴平面．
如图所示，以C为坐标原点，分别以，所在直线为x，y轴，以过点C且与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵，∴，，，，
∴，，∴，
∴异面直线与所成角的大小为．
（2）由（1）知，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
则由，可得，令，则，，
∴．设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
21．解：（1）因为四边形为正方形，则，，
由，，，PB，平面PAB，所以平面，
因为平面，所以，
又由，，，PD，平面PAD，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且BC，平面ABCD，所以平面，
由平面，且，不妨以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，可得，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，，所以，
易得平面的法向量为，
则，
由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值．
（2）设点，可得，，
设平面的法向量为，
则
取，，可得，，所以，
所以点E到平面的距离为，
解得，即或，因为，所以．
故当点F为线段的靠近B点的三等分点时，点到平面的距离．
22．解：∵，∴，即，，且面，
∴为二面角的平面角．
（1）由题意得，
∵
∴．
（2）①由题意得，
以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，，，，，，
设点，∴，，
∵，∴，即．
∵点H在平面内，
∴，其中，
∴ ，
②设直线与平面所成角为，设点，则．
当时，直线与平面所成角的正弦值为，
当时，直线与平面所成角的正弦值为0，
当且时，
由题意得，故，
∵，∴，取直线的方向向量，
设平面法向量为，，，
由，，
得，即，则．
则
令，则且，
则，
当且仅当，即时，取等号．
故，
∵，∴．
数学
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1．下列命题中为真命题的是（ ）
A．空间向量与的长度相等
B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆
C．空间向量就是空间中的一条有向线段
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
2．已知点），向量，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量），则与同向共线的单位向量（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在四面体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．在棱长为1的正方体中，E为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知平面，，，则等于（ ）
A． B．6 C．12 D．144
7．已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．正四面体D的棱长为1，点P是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，点P到的距离为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分．在每小题有多项符合题目要求）
9．如图，在长方体中，，，，以直线，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（ ）
A．点的坐标为
B．点关于点B对称的点为
C．点A关于直线对称的点为
D．点C关于平面对称的点为
10．已知点P是平行四边形所在平面外的一点，若，，，则（ ）
A． B．是平面的一个法向量
C D．直线与平面所成角的余弦值为
11．在三棱锥中，以下说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，则
C．若，，M，N分别为，的中点，则
D．若T为的重心，则
12．已知正方体的棱长为2，点P满，则下列选项正确的为（ ）
A．若，，，则二面角为30°
B．若，则三棱锥的体积为定值
C．若，，，且直线与平面所成的角为45°，则点P的轨迹长度为
D．若，则点P的轨迹与正方体表面交线的总长度为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．已知，，则__________ ．
14．设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则__________．
15．点，，，若，的夹角为锐角，则的取值范围为__________ ．
16．如图，在棱长为1的正方体中，P，Q分别是线段，上的点，满足平面，则与平面所成角的范围是__________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在平行六面体中，设，，，E，F分别是，的中点．
（1）用向量，，表示，；
（2）若，求实数x，y，z的值．
18．已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的值．
19．已知空间向量与夹角的余弦值为，且，，令，．
（1）求，为邻边的平行四边形的面积S；
（2）求，夹角的余弦值．
20．如图，平面平面，是等腰直角三角形，，四边形是直角梯形，，，，O，M分别为，的中点．
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，且，E为的中点．
（1）求平面与平面夹角的余弦值；
（2）在线段上是否存在点F，使得点到平面的距高为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
22．已知梯形和矩形．在平面图形中，，．现将矩形沿进行如图所示的翻折．
（1）当二面角的大小为时，求的长；
（2）设M是中点．
①当二面角的大小为时，若，且点H在平面内，求实数的值；
②求在翻折的过程中，直线与平面所成最大角的正弦值．
三明市重点中学2022-2023学年高二上学期9月开学适应性考试
数学 （答案）
1．A 2．B 3．C 4．D 5．C
6．C 7．C 8．A 9．ACD 10．AD
11．BD 12．BCD
13． 14． 15． 16．
17．解：（1）如图，，
；
（2）
，∴，，．
18．解：（1）若，则存在实数，使，即，
所以，解得，所以．
所以，所以．
（2）因为，所以，解得．
因为，所以，所以．
当时，，，所以．
当时，，，
所以．
19．解：（1）根据条件，，∴；
∴；
（2）
；
，
；
∴；
20．解：（1）∵，平面平面，平面平面，平面，
∴平面．
∵，∴平面．
如图所示，以C为坐标原点，分别以，所在直线为x，y轴，以过点C且与平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵，∴，，，，
∴，，∴，
∴异面直线与所成角的大小为．
（2）由（1）知，，，
∴，，，
设平面的法向量为，
则由，可得，令，则，，
∴．设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为．
21．解：（1）因为四边形为正方形，则，，
由，，，PB，平面PAB，所以平面，
因为平面，所以，
又由，，，PD，平面PAD，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，且BC，平面ABCD，所以平面，
由平面，且，不妨以点A为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，可得，，
设平面的法向量为，
则，
取，可得，，所以，
易得平面的法向量为，
则，
由平面与平面夹角为锐角，所以平面与平面夹角的余弦值．
（2）设点，可得，，
设平面的法向量为，
则
取，，可得，，所以，
所以点E到平面的距离为，
解得，即或，因为，所以．
故当点F为线段的靠近B点的三等分点时，点到平面的距离．
22．解：∵，∴，即，，且面，
∴为二面角的平面角．
（1）由题意得，
∵
∴．
（2）①由题意得，
以D为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，，，，，，
设点，∴，，
∵，∴，即．
∵点H在平面内，
∴，其中，
∴ ，
②设直线与平面所成角为，设点，则．
当时，直线与平面所成角的正弦值为，
当时，直线与平面所成角的正弦值为0，
当且时，
由题意得，故，
∵，∴，取直线的方向向量，
设平面法向量为，，，
由，，
得，即，则．
则
令，则且，
则，
当且仅当，即时，取等号．
故，
∵，∴．
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