第5节 有理数的应用与综合
目标层级图
课前检测：
若,且,则 -4 ; ___3或-3______
2.(1)若，则求的值．
答：4
3. 如图，A，B两点在数轴上表示的数分别是，，则：
______，______．
若，则的取值范围是
5.已知，化简:.
答：-1
课中讲解
一．计算类：分配率、裂项相消法、连续自然数的加减、整体思想
内容讲解
（1）分配律：
例1.计算下面各题，能简算的要简算．
（1）75×60%+24×+0.6 （2）（﹣）×
（3）19× （4）×+÷10
解：（1）75×60%+24×+0.6
＝（75+24+1）×0.6
＝100×0.6
＝60；
（2）（﹣）×
＝×
＝；
（3）19×
＝（20﹣1）×
＝20×﹣
＝17﹣
＝16；
（4）×+÷10
＝×+×
＝×（+） ＝×1 ＝．
过关检测
1. 计算：﹣8×（﹣2）4﹣（﹣）2×（﹣2）4+×（﹣3）2
解：﹣8×（﹣2）4﹣（﹣）2×（﹣2）4+×（﹣3）2
＝﹣8×16﹣×16+×9
＝﹣128﹣4+4
＝﹣128．
2．计算：
（1）（﹣﹣）×24；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1﹣）
解：（1）（﹣﹣）×24
＝16﹣6﹣4
＝6；
（2）﹣12﹣|2﹣5|÷（﹣3）×（1﹣）
＝﹣1﹣3×（﹣）×
＝﹣1+
＝﹣．
3．计算题：
（1）（+﹣）÷
（2）（﹣1）2020×|1|﹣（0.5）÷（﹣）
解：（1）（+﹣）÷ ＝（+﹣）×24 ＝6+9﹣14 ＝1；
（2）（﹣1）2020×|1|﹣（0.5）÷（﹣）
＝1×﹣×（﹣3）
＝+
＝3
4．计算：
（1）2﹣（﹣4）+6÷（﹣2）+（﹣3）×2
（2）﹣12+（﹣3）2﹣24×（）
解：（1）2﹣（﹣4）+6÷（﹣2）+（﹣3）×2
＝2+4+（﹣3）+（﹣6）
＝﹣3；
（2）﹣12+（﹣3）2﹣24×（）
＝﹣1+9﹣6+9+2
＝13．
5．计算：
（1）﹣14+16÷（﹣2）3×（﹣3﹣1）
（2）（﹣+）×（﹣36）
（3）
解：（1）﹣14+16÷（﹣2）3×（﹣3﹣1）
＝﹣1+16÷（﹣8）×（﹣4）
＝﹣1+8
＝7；
（2）（﹣+）×（﹣36）
＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）
＝（﹣8）+9+（﹣2）
＝1+（﹣2）
＝﹣1；
（3）
＝（﹣1）﹣（2﹣9）×（﹣2）
＝（﹣1）﹣（﹣7）×（﹣2）
＝（﹣1）﹣14 ＝﹣15．
6．计算下列各题
（1）9+（﹣5）﹣（﹣8）﹣（+10）；
（2）（﹣2）÷5×；
（3）；
（4）﹣12020+（﹣2）3×．
解：（1）原式＝9﹣5+8﹣10
＝4+8﹣10
＝12﹣10
＝2；
（2）原式＝﹣2×× ＝﹣；
（3）原式＝（﹣+）×（﹣18）
＝×（﹣18）﹣×（﹣18）+×（﹣18）
＝﹣4+3﹣1
＝﹣2；
（4）原式＝﹣1﹣8×（﹣）﹣6
＝﹣1+4﹣6
＝﹣3．
7.计算：
（1）（﹣+﹣）×（﹣24）
（2）﹣23﹣|﹣3|+4﹣（﹣）×（﹣3）
解：（1）（﹣+﹣）×（﹣24）
＝18﹣14+15
＝19；
（2）﹣23﹣|﹣3|+4﹣（﹣）×（﹣3）
＝﹣8﹣3+4﹣ ＝﹣8．
(二)裂项相消
+
例2.阅读下面计算+++…+的过程，然后填空．
解：∵＝（﹣），＝（﹣），…，＝（﹣），
∴+++…+
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）
＝（﹣）
＝．
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1）+＝ ；
（2）当+++…+x＝时，最后一项x＝ ．
解：（1）+
＝×（﹣）+×（﹣）
＝×（﹣+﹣）
＝×（﹣）
＝× ＝， 故答案为：；
（2）设x＝，
则+++…+＝，
×（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝，
×（1﹣）＝，
1﹣＝，
＝，则2n+1＝13，解得：n＝6，∴x＝，故答案为：．
过关检测
1.阅读下列计算过程，然后根据你发现的规律解答问题
1+2＝＝3；
1+2+3＝＝6；
1+2+3+4＝＝10；
…
1+2+3+…+n＝．
将从1开始的n个连续自然数之和的计算规律用语言叙述出来： 首项与末项的和乘以项数的积的一半 ．
解；∵1+2+3+…+n＝，其中首项为1，末项为n，项数为n，
∴用语言叙述出来为：首项与末项的和乘以项数的积的一半．
2.请你观察：
＝﹣，＝﹣；＝﹣；…
+＝﹣+﹣＝1﹣＝；
++＝﹣+﹣+﹣＝1﹣＝；…
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1）+++＝ ；
（2）++++…+＝ ．
（3）计算：++++的值．
解：（1）原式＝﹣+﹣+﹣+﹣＝1﹣＝，故答案为：；
（2）原式＝﹣+﹣+﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝，
故答案为：；
（3）原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）
＝（1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣）
＝×（1﹣）
＝×
＝．
(三)连续自然数的加减
例3．阅读下面计算过程，发现规律，然后利用规律计算
1+2＝＝3，1+2+3＝＝6，1+2+3+4＝，1+2+…+n＝
（1）n个连续自然数之和的计算规律用语言叙述是 首项与末项的和乘以项数的积的一半
（2）计算：1+2+…+99+100
（3）求1+++…+的值．
解：（1）∵1+2+3+…+n＝，其中首项为1，末项为n，项数为n，
∴用语言叙述出来为：首项与末项的和乘以项数的积的一半．
故答案为：首项与末项的和乘以项数的积的一半；
（2）1+2+…+99+100
＝
＝5050；
（3）1+++…+
＝1+2（﹣+…+﹣）
＝1+2（﹣）
＝1．
过关检测
1．探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：
分母中加数的个数（n） 和的倒数
2
3
4
5
… …
（1）根据表中规律，求．＝ ；
（2）根据表中规律，则．＝ ；
（3）求的值．
解：（1）＝2（﹣）＝；
（2）＝2（﹣）＝；
（3）＝2（﹣+﹣+…+﹣）＝．
故答案为：，．
（四） 整体思想
-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10= 5
过关检测
1.-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12= 9
2. -12
二．授课内容2：实际应用
内容讲解
（一）直接加减
例1.规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（ D ）
A．向北走了15米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向南走了5米
解：∵5+（﹣10）＝﹣5km，∴实际上向南走了5米． 故选：D．
例2.某工厂某周计划每日生产自行车100辆，由于每日上班人数不一定相等，由于工人实行轮休，实际每日生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数），则本周是增加还是减少？ 减少 ，实际生产总量为 696 辆．
星期 一 二 三 四 五 六 七
增加/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
解：﹣1+3+（﹣2）+4+7+（﹣5）+（﹣10）＝﹣4，
本周减少了，本周生产量为700﹣4＝696辆， 故答案为：减少，696．
过关检测
1.规定向东为正，某人走了+6米，又继续走了﹣22米，那么，他实际上（ A ）
A．向西走了16米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向东走了5米
解：∵6+（﹣22）＝﹣16m，∴实际上向西走了16米． 故选：A．
2. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．求收工时的位置；
解：﹣4+（+7）+（﹣9）+（+8）+（+5）+（﹣3）+（+1）+（﹣5）
＝﹣4+7﹣9+8+5﹣3+1﹣5＝0km． 答：收工时回到出发地A地．
（二）绝对值后加减
例3. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．
若每km耗油量为0.5升，则从出发到收工共耗油多少升？
解： （|﹣4|+|+7|+|﹣9|+|+8|+|+5|+|﹣3|+|+1|+|﹣5|）×0.5
＝（4+7+9+8+5+3+1+5）×0.5
＝42×0.5＝21（升）．答：从出发到收工共耗油21升．
例4. 小王在一条南北路上往返跑．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午跑步情况如下：（单位：千米）
﹣2.4，+2.5，﹣1.8，+1.7，﹣2.4，+2，﹣2.4，+2.2
请回答：小王这天下午一共跑了多少千米？
解：|﹣2.4|+2.5+|﹣1.8|+1.7+|﹣2.4|+2+|﹣2.4|+2.2
＝17.4
答：小王这天下午一共跑了17.4千米．
过关检测
1.一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
蚂蚁在爬行过程中，如果每爬行2cm就1粒芝麻，那么最后它共得到多少粒芝麻？
小蚂蚁从离开出发点开始走的路程：|﹣3|+|+10|+|﹣8|+|+5|+|﹣6|+|12|+|﹣10|＝54厘米
在爬行过程中，小蚂蚁得到的奖励是：54÷2＝27（粒）
答：在爬行过程中，最后它共得到27粒芝麻．
2.出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6
请回答：
若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？
解：（|﹣2|+5+|﹣1|+10+|﹣3|+|﹣2|+|﹣5|+6）×0.3×6
＝34×0.3×6
＝61.2（元），
108﹣61.2＝46.8（元）
答：小王这天下午是盈利，盈利46.8元．
（三）后一天与前一天的比较
例5.“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为 4.9 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 4.3 万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
解：（1）根据题意列得：4.2+（1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）＝4.2+0.7＝4.9（万人）；
（2）根据表格得：七天中旅客最多的是1日为6万人，最少的是7日为1.7万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多6﹣1.7＝4.3（万人）；
（3）根据表格得：每天旅客人数分别为6万人、5.4万人、5.6万人、4.9万人、3.6万人、4.1万人、1.7万人，
则黄金周七天的旅游总收入约为（6+5.4+5.6+4.9+3.6+4.1+1.7）×100＝3130（万元）．
例6．股民小万上周五以每股13元的价格买进某种股票10000股，该股票这周内与前一天相比的涨跌情况如下表（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
（1）本周内哪一天把股票抛出比较合算？为什么？
（2）已知小万买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额3‰的手续费和2‰的交易税，如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
解：（1）星期一的股票价格为元，星期二的股票价格为元，星期三的股票价格为元，星期四的股票价格为元，
星期五的股票价格为元，
本周内星期五股票价格最高，这天把股票抛出比较合算；
（2）小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收入‰‰‰（元．
过关检测
1.一位病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 降1.0 降0.8 降1.0 降0.6 升0.4 降0.2 降0.2 降0
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．
问：（1）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
（2）病人中午12点时体温多高？
（3）病人几点后体温稳定正常？（正常体温是37℃）
解：（1）早上7：00，最高达40.4℃；
（2）病人中午12点时体温为：40.2+0.2﹣1﹣0.8﹣1﹣0.6+0.4＝37.4℃；
（3）14：00以后．
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 40.4 降1.0 39.4 降0.8 38.6 降1.0 37.6 降0.6 37 升0.4 37.4 降0.2 37.2 降0.2 37 降0 37
2．小红爸爸上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌
（1）通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？
（2）本周内每股最高是多少？最低是多少元？
（3）已知小红爸爸买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额，1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果小红爸爸在星期六收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？
解：（1），
则星期三收盘时，每股是元；
（2）本周内最高价是元；最低价是元；
（3）买入时，‰元，
卖出时每股：元，
所以卖出时的总钱数为‰‰元，
所以小红爸爸的收益为元，故赚了889.5元．
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三．授课内容3：数轴动点问题
内容讲解
例1. ．点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时中点所表示的数是 A
A．0 B．6 C． D．
解：点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，点表示的数是，，
即点最终的位置在数轴上对应的数是0， 故选：．
例2.（1）在数轴上标出数，，1，3.5所对应的点，，，；
（2），两点间距离 2.5 ；，两点间距离 ；
（3）数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离 ；
（4）若动点，分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，问①为何值时，两点重合？②为何值时，两点之间的距离为1？
解：（1）如图所示：
（2），；
（3）；
（4）①依题意有，解得．故为3秒时，两点重合；
②依题意有，解得；或，解得．
故为2秒或4秒时，两点之间的距离为1．
故答案为：2.5，3；．
例3． 已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题：
（1）运动前线段的长为 6 ； 运动1秒后线段的长为 4 ；
（2）运动秒后，点，点运动的距离分别为 和 ；
（3）求为何值时，点与点恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
解：（1），运动1秒后，表示，表示，
． 故答案为6，4．
（2）运动秒后，点，点运动的距离分别为，，故答案为，．
（3）由题意：，．
（4）由题意：或，解得或，
的值为或秒时，线段的长为5．
过关检测
1. 点在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧．若一个点从点向右移动4个单位长度，再向左移动1个长度单位，此时终点所表示的数是 0 ．
解：点在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧，点表示的数为；
从点向右移动4个单位长度，此时点表示的数为；
再向左移动1个长度单位，此时点所在终点所表示的数是．故答案为：0．
2. 在数轴上把表示的点沿数轴移动6个单位后得到点，则所表示的数为 1或 ．
解：将表示的点沿数轴向右移动6个单位后得到点所表示的数为1；
将表示的点沿数轴向左移动6个单位后得到点所表示的数为，故答案为：1或
3． 已知点在数轴上对应的有理数为，将点向左移动6个单位长度，再向右移动2个单位长度与点重合，点对应的有理数为．
（1）求；
（2）如果数轴上的点在数轴上移动3个单位长度后，距点8个单位长度，那么移动前的点距离原点有几个单位长度？
解：（1）依题意有，解得．
（2）点在数轴上向左移动3个单位长度是或；
点在数轴上向右移动3个单位长度是或．
故移动前的点距离原点有29或13或35或19个单位长度．
学习任务
1. 下列各数中3，﹣7，﹣，5.6，0，﹣8，15，，非正数有（ D ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：由题意可知负数有3个，加上0，非正数有4个，故选：D．
2. 把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为 D
A．5 B．1 C．5或1 D．5或
解：把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为5或．故选：．
3.已知是数轴上的一点，把点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么点表示的数是 ．
解：根据题意，把点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，
实际将向左平移2个单位，则点表示的数是，故答案为．
4.股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌情况 ﹣0.1 +0.4 ﹣0.2 ﹣0.4 +0.5
注：表中正数表示股价比前一天上涨，负数表示股价比前一天下跌．
（1）星期四收盘时，每股多少元？
（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？
（3）股民小王本周末将该股票全部售出（不记交易税），小王在本次交易中获利多少元？
（4）股民在本周哪一天将股票全部售出获利最多？（不计交易税）
解：（1）25.2﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4＝24.9（元）；
（2）周一：25.2﹣0.1＝25.1（元），周二：25.1+0.4＝25.5（元），
周三：25.5﹣0.2＝25.3（元），周四：25.3﹣0.4＝24.9（元），
周五：24.9+0.5＝25.4（元），所以本周内周二股价最高，是25.5元；
（3）（25.4﹣25.2）×10000＝0.2×10000＝2000（元）；
（4）由（2），得到周二股价最高，所以股民在本周二天将股票全部售出获利最多．
5. 一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
（1）问这只蚂蚁最后是否回到了出发点M？
（2）蚂蚁离出发点M最远时是多少厘米？是在出发点的左边还是右边？
解：（1）根据题意可得：向右爬行的路程记为“+”，向左爬行的路程记为“﹣”．
则小蚂蚁最后离开出发点的距离是：﹣3+10﹣8+5﹣6+12﹣10＝0．
答：小蚂蚁最后回到了出发点M．
（2）﹣3+10＝7，7﹣8＝﹣1，﹣1+5＝4，4﹣6＝﹣2，﹣2+12＝10，10﹣10＝0，
小蚂蚁在爬行过程中离出发点M最远时在右边，离开出发点M相距10厘米；
6．2018年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：
高度变化 记作
上升4.5km +4.5km
下降3.2km ﹣3.2km
上升1.1km +1.1km
下降1.4km ﹣1.4km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
解：（1）4.5﹣3.2+1.1﹣1.4＝1，所以升了1千米；
（2）4.5×2+3.2×2+1.1×2+1.4×2＝20.4升；
（3）∵3.8﹣2.9+1.6＝2.5，
∴第4个动作是下降，下降的距离＝2.5﹣1＝1.5千米．所以下降了1.5千米．
7. 如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
解：（1）点对应的数是；
（2）它们的相遇时间是（秒，
即相同时间点运动路程为：（个单位），
即从数向右运动48个单位到数28；
（3）相遇前：（秒，
相遇后：（秒．
故当它们运动50秒或70秒时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度．
8.计算题：
（1）8+（﹣3）2×（﹣2）﹣（﹣3） （2）﹣12﹣24×（﹣+﹣）
解：（1）原式＝8+9×（﹣2）+3
＝8﹣18+3
＝﹣10+3
＝﹣7；
（2）原式＝﹣1﹣24×（﹣）﹣24×﹣24×（﹣）
＝﹣1+4﹣16+18
＝3﹣16+18
＝﹣13+18 ＝5．
9.（1）；
（2）．
解：（1）原式＝﹣×（﹣24）+×（﹣24）﹣×（﹣24）
＝8﹣20+9
＝﹣3；
（2）原式＝﹣1+25×（﹣）﹣|﹣|
＝﹣1﹣﹣
＝﹣43．
10.某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…，当将这些页码相加时，某人把其中一个页码加了两次，结果和为2006，加了两次的是第（ ）页．
A．10 B．20 C．43 D．53
解：设书的页数到n页，重复加了第x页，
+x＝2006，
n（n+1）＝4012﹣2x，
62×63＜4012＜63×64，∴n＝62，∴x＝53．故选：D．
11.计算+++…+
解：因为＝（﹣），＝（﹣）…＝（﹣）
所以+++…+
＝（﹣）+（﹣）+（﹣）…+（﹣）
＝（﹣+﹣+﹣…+﹣）＝（﹣）＝第5节 有理数的应用与综合
目标层级图
课中讲解
一．计算类：分配律、裂项相消法、连续自然数的加减、整体思想
内容讲解
（一）分配律
例.计算下面各题，能简算的要简算．
（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1. 计算：
2．计算：
（1）； （2）
3．计算题：
（1） （2）
4．计算：
（1） （2）
5．计算：
（1） （2）
（3）
6．计算下列各题
（1）； （2）；
（3）； （4）．
7．计算：
（1） （2）
(二)裂项相消法
+
例2.阅读下面计算的过程，然后填空．
解：，，，，
．
以上方法为裂项求和法，请参考以上做法完成：
（1） ；
（2）当时，最后一项 ．
过关检测
1.阅读下列计算过程，然后根据你发现的规律解答问题
；
；
；
．
将从1开始的个连续自然数之和的计算规律用语言叙述出来： ．
2．请你观察：
，；；
；
；
以上方法称为“裂项相消求和法”
请类比完成：
（1） ；
（2） ．
（3）计算：的值．
(三)连续自然数的加减
例3．阅读下面计算过程，发现规律，然后利用规律计算
，，，
（1）个连续自然数之和的计算规律用语言叙述是
（2）计算：
（3）求的值．
过关检测
探索规律：从1开始，连续的自然数相加，它们的和的倒数情况如下表：
分母中加数的个数 和的倒数
2
3
4
5
（1）根据表中规律，求． ；
（2）根据表中规律，则． ；
（3）求的值．
（四） 整体思想
例1.-1+2-3+4-5+6-7+8-9+10=
过关检测
1．-1-2+3+4-5-6+7+8-9-10+11+12=
二．实际应用
内容讲解
（一）直接加减
例1. 规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（ ）
A．向北走了15米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向南走了5米
例2．某工厂某周计划每日生产自行车100辆，由于每日上班人数不一定相等，由于工人实行轮休，实际每日生产量与计划量相比情况如表（增加的为正数，减少的为负数），则本周是增加还是减少？ ，实际生产总量为 辆．
星期 一 二 三 四 五 六 七
增加/辆 ﹣1 +3 ﹣2 +4 +7 ﹣5 ﹣10
过关检测
1．规定向东为正，某人走了+6米，又继续走了﹣22米，那么，他实际上（ ）
A．向西走了16米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向东走了5米
2. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．求收工时的位置；
（二）绝对值后加减
例3. 某检修小组从A地出发，在东西方向的线路上检修线路，如果规定向东方向行驶为正，向西方向行驶为负，一天行驶记录如下（单位：km）：﹣4，+7，﹣9，+8，+5，﹣3，+1，﹣5．
例4. 小王在一条南北路上往返跑．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午跑步情况如下：（单位：千米）
﹣2.4，+2.5，﹣1.8，+1.7，﹣2.4，+2，﹣2.4，+2.2
请回答：小王这天下午一共跑了多少千米？
过关检测
1．一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
蚂蚁在爬行过程中，如果每爬行2cm就1粒芝麻，那么最后它共得到多少粒芝麻？
2．出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“﹣”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米；每次行车都有乘客）
﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，﹣5，+6
请回答：
若小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午是盈利还是亏损了？盈利（或亏损）多少钱？
（三）后一天与前一天的比较
例5.“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
例6．股民小万上周五以每股13元的价格买进某种股票10000股，该股票这周内与前一天相比的涨跌情况如下表（单位：元）
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌
（1）本周内哪一天把股票抛出比较合算？为什么？
（2）已知小万买进股票时付了3‰的手续费，卖出时需付成交额3‰的手续费和2‰的交易税，如果小万在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何？
过关检测
1．一位病人发高烧进医院进行治疗，医生给他开了药并挂了水，同时护士每隔1小时对病人测体温，及时了解病人的好转情况，现护士对病人测体温的变化数据如下表：
时间 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 12：00 13：00 14：00 15：00
体温（与前一次比较） 升0.2 降1.0 降0.8 降1.0 降0.6 升0.4 降0.2 降0.2 降0
注：病人早晨进院时医生测得病人体温是40.2℃．
问：（1）病人什么时候体温达到最高，最高体温是多少？
（2）病人中午12点时体温多高？
（3）病人几点后体温稳定正常？（正常体温是37℃）
2．小红爸爸上星期六买进某公司股票1000股，每股27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况．（单位：元）
星期 一 二 三 四 五 六
每股涨跌
（1）通过上表你认为星期三收盘时，每股是多少？
（2）本周内每股最高是多少？最低是多少元？
（3）已知小红爸爸买进股票时付了1.5‰的手续费，卖出时还需付成交额，1.5‰的手续费和1‰的交易税，如果小红爸爸在星期六收盘时将全部股票卖出，你对他的收益情况怎样评价？
三．数轴动点问题
内容讲解
例1. 点在数轴上距离原点3个单位长度，且位于原点左侧．若一个点从点处向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时中点所表示的数是
A．0 B．6 C． D．
例2.（1）在数轴上标出数，，1，3.5所对应的点，，，；
（2），两点间距离 ；，两点间距离 ；
（3）数轴上有两点，，点对应的数为，点对应的数为，那么，两点之间的距离 ；
（4）若动点，分别从点，同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒1个单位长度，点的速度是每秒2个单位长度，
问 ①为何值时，两点重合？
②为何值时，两点之间的距离为1？
例3． 已知如图，在数轴上有，两点，所表示的数分别为，，点以每秒5个单位长度的速度向右运动，同时点以每秒3个单位长度的速度也向右运动，如果设运动时间为秒，解答下列问题：
（1）运动前线段的长为 ； 运动1秒后线段的长为 ；
（2）运动秒后，点，点运动的距离分别为 和 ；
（3）求为何值时，点与点恰好重合；
（4）在上述运动的过程中，是否存在某一时刻，使得线段的长为5，若存在，求的值； 若不存在，请说明理由．
过关检测
1. 点在数轴上距原点3个长度单位，且位于原点左侧．若一个点从点向右移动4个单位长度，再向左移动1个长度单位，此时终点所表示的数是 ．
2. 在数轴上把表示的点沿数轴移动6个单位后得到点，则所表示的数为 ．
3． 已知点在数轴上对应的有理数为，将点向左移动6个单位长度，再向右移动2个单位长度与点重合，点对应的有理数为．
（1）求；
（2）如果数轴上的点在数轴上移动3个单位长度后，距点8个单位长度，那么移动前的点距离原点有几个单位长度？
学习任务
1. 下列各数中3，﹣7，﹣，5.6，0，﹣8，15，，非正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 把数轴上表示数2的点移动3个单位后，表示的数为
A．5 B．1 C．5或1 D．5或
3．已知是数轴上的一点，把点向左移动3个单位后再向右移1个单位长度，那么点表示的数是 __________________________ ．
4．股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的价格买进某公司股票10000股，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：
星期 一 二 三 四 五
每股涨跌情况 ﹣0.1 +0.4 ﹣0.2 ﹣0.4 +0.5
注：表中正数表示股价比前一天上涨，负数表示股价比前一天下跌．
（1）星期四收盘时，每股多少元？
（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？
（3）股民小王本周末将该股票全部售出（不记交易税），小王在本次交易中获利多少元？
（4）股民在本周哪一天将股票全部售出获利最多？（不计交易税）
5. 一只蚂蚁从某点M出发，在一条直线上来回爬行，把它向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则它爬过的各段路程依次为：﹣3cm，+10cm，﹣8cm，+5cm，﹣6cm，+12cm，﹣10cm．
（1）问这只蚂蚁最后是否回到了出发点M？
（2）蚂蚁离出发点M最远时是多少厘米？是在出发点的左边还是右边？
6．2018年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：
高度变化 记作
上升4.5km +4.5km
下降3.2km ﹣3.2km
上升1.1km +1.1km
下降1.4km ﹣1.4km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
7. 如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．
（1）请写出与、两点距离相等的点所对应的数；
（2）现有一只电子蚂蚁从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，你知道点对应的数是多少吗？
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以6个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以4个单位秒的速度也向左运动，请问：当它们运动多少时间时，两只蚂蚁间的距离为20个单位长度？
8．计算题：
（1） （2）
9.（1）； （2）．
10．某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…，当将这些页码相加时，某人把其中一个页码加了两次，结果和为2006，加了两次的是第（ ）页．
A．10 B．20 C．43 D．53
11．计算
1
