第6节 整式的相关概念
目标层级图
课前检测
1.= .
2.计算：
【答案】
3.若 的值为，求 的值
【答案】17
【解析】原式
所以
4.已知数轴上三点M,O,N对应的数分别为-3，0，1，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x。数轴上是否存在点P，使点P到点M，点N的距离之和是5？若存在，直接写出x的值;若不存在，请说明理由。
x=-3.5或1.5
课中讲解
授课内容1：用字母表示数
内容讲解
1.在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
2.用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
3.注意书写格式的规范：
①表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；
②数和字母相乘时，数字应写在字母前面；
③带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；
④除法运算写成分数形式 ，分数线具 “÷ ”号和“括号”的双重作用；
⑤在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。
例1．矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S2．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝4，S2﹣S3＝16．设AD﹣AB＝m．下列值确定的是（ ）
A．m B．ma C．mb D．a+b
【解答】解：由，
可得：S2﹣S1＝12，
由图得：S1+S4＝S2+S3，
∴S4﹣S3＝S2﹣S1＝12，
∴b DE﹣b BF＝12，
b（DE﹣BF）＝12，
b（AD﹣AB）＝12，
mb＝12．
故选：C．
例2.填空：
（1）如果a（a不为0）表示一个有理数，那么它的相反数是 -a ，倒数是 ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长
是 (4a+4) cm；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达（2n+500） 元；
（4）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为
11a﹣2 。
例3.一个三位数，百位数字是a，十位数字比百位数字大3，个位数字比百位数字小5，用代数式表示这个三位数。
111a-470
过关检测
1．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）
A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣am
C．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn
【解答】解：由题意可得a+2b＝m，即2b﹣m＝﹣a，b＝（m﹣a），
可得左边阴影部分的长为2b，宽为n﹣a，右边阴影部分的长为m﹣2b，宽为n﹣2b，
图中阴影部分的面积为
2b（n﹣a）+（m﹣2b）（n﹣2b）
＝2bn﹣2ab+mn﹣2bm﹣2bn+4b2
＝﹣2ab+mn﹣2bm+4b2
＝mn﹣2ab+2b（2b﹣m）
＝mn﹣2ab+2b（﹣a）
＝mn﹣4ab，
mn﹣4ab
＝（a+2b）n﹣4ab
＝an+2bn﹣4ab，
mn﹣4ab
＝mn﹣2ab﹣2a×（m﹣a）
＝a2﹣2ab﹣am+mn．
无法得到B选项．
故选：B．
1.某商场举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（）元出售，则下列说法中，能正确反映该商场的促销方法的是（ B ）
A．原价打8折后再减10元 B．原价减10元后再打8折
C．原价减10元后再打2折 D．原价打2折后再减10元
2.通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是（ A ）
A．（）元 B．（）元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元
3.填空：
（1）校园里刚栽下1.8m高的小树苗，以后每年长0.3m，则n年后是 (1.8+0.3n) m；
（2）某种电脑原来是a元钱，“五一”搞促销活动，每台下降10%，则“五一”期间这种电脑的售价为 0.9a 元；
（3）有一个两位数，个位数字是n，十位数字是m，则这个两位数可表示为 10m+n 。
5.全校一共有人，其中男生占25%，则女生的人数为____0.75x_____人。
6.已知a是两位数，b是一位数，把a接写在b的后面，就成为一个三位数.这个三位数可表示成10b+a。
7．某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数会比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班同学共有 (2m+3) 人（用含有m的代数式表示）
授课内容2：代数式
内容讲解
（一）代数式的概念
用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子 叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac，（单独一个数或字母也是代数式）
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。
例1.下列各式符合书写要求的是（ ）
A． B．n 2 C．a÷b D．2πr2
【解答】解：A、中的带分数要写成假分数，故不符合书写要求；
B、中的2应写在字母的前面且省略乘号，故不符合书写要求；
C、应写成分数的形式，故不符合书写要求；
D、符合书写要求．
故选：D．
例2.用文字语言叙述代数式﹣b，不正确的是（ ）
A．比a的倒数小b的数 B．1除以a的商与b的差
C．1除以a与b的差的商 D．a的倒数与b的差
【解答】解：用文字语言叙述代数式﹣b，
A、比a的倒数小b的数，正确，不合题意；
B、1除以a的商与b的差，正确，不合题意；
C、1除以a与b的差的商，错误，符合题意；
D、a的倒数与b的差，正确，不合题意；
故选：C．
过关检测
1.下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A． B． C． D．2y÷z
【解答】解：A、符合代数式书写规则．
B、不符合代数式书写规则，应该为；
C、不符合代数式书写规则，应该为﹣；
D、不符合代数式书写规则，应改为；
故选：A．
2．代数式的意义是（ ）
A．a与b的平方和除c的商
B．a与b的平方和除以c的商
C．a与b的和的平方除c的商
D．a与b的和的平方除以c的商
【解答】解：代数式的意义是a与b的和的平方除以c的商，
故选：D．
（二）代数式的值
代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值。
例1.当，代数式的值为 。
例2.已知x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
【解答】解：∵x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，
∴a2+4a+4b2＝﹣4，
∴（a+2）2+4b2＝0，
∴a＝﹣2，b＝0，
∴x＝﹣a＝2时，22+4×2+0＝12．
∴该多项式的值为12．
故选：C．
过关检测
1.当代数式的的值为 5 。
2.已知整式的值为6，则的值为___12_____。
3.当时，求代数式的值。
授课内容3：整式
内容讲解
（一）单项式和多项式
1.单项式： 由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式 。单项式的系数是指 单项式中的数字因数 。单项式的次数是指 单项式中所有字母的指数和 。
2.多项式： 几个单项式的和叫做多项式 。在多项式中， 每个单项式 叫做多项式的项。在多项式中， 不含字母的项 叫做常数项。 多项式中次数最高的项的次数 ，就是这个多项式的次数。多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式。
例1.单项式﹣5x4y2的系数是 ﹣5 。
例2.若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 0 。
例3.已知多项式是六次多项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求．
【解答】解：由题意得：，，
解得：，．
过关检测
1.单项式的次数是 5 ，系数是 ﹣ ．
【解答】解：单项式的次数是5，系数是﹣，
故答案为：5；﹣．
2.写出一个系数是2，且含有字母a，b的3次单项式 2a2b （答案不唯一）．
【解答】解：单项式的系数已确定，字母a、b的次数可按照3＝1+2＝2+1的方式分配，故所求单项式为：2a2b或2ab2．
3.多项式是关于的三次三项式，则的值是 -3 ．
【解答】解：多项式是关于的三次三项式，
，
，
但，
即，
综上所述．
故答案为：．
（二）整式
整式的概念： 单项式多项式统称为整式 。
3．某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：代数式包括整式和分式，整式包括多项式和单项式，故正确是选项D，
故选：D．
4．代数式：①；②πr2；③；④﹣3a2b；⑤．其中整式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：①a；②πr2；③x2+1；④﹣3a2b，都是整式，
⑤，分母中含有字母，不是整式，
故选：C．
过关检测
1．下列式子中，是整式的是（ ）
A．x+1 B． C．1÷x D．
【解答】解：A、x+1是整式；
B、，分母中含有字母，不属于整式；
C、1÷x，分母中含有字母，不属于整式；
D、，分母中含有字母，不属于整式；
故选：A．
2．下列代数式中整式有（ ）
，，，，（x2﹣2xy+1），0，
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【解答】解：2x+y，a2b，，（x2﹣2xy+1），0，πx+y是整式，共有6个，
故选：C．
3．若多项式m（m﹣1）x3+（m﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则m需满足的条件是 m＝0 ．
【解答】解：∵多项式m（m﹣1）x3+（m﹣1）x+2是关于x的一次多项式，
∴m（m﹣1）＝0，且m﹣1≠0，
则m＝0．
故答案为：m＝0．
学习任务
1.已知（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．不能确定
【解答】解：把x＝1代入（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，
得a+b+c+d＝0．
故选：B．
2.甲、乙两个商家对标价相同的同一件商品进行价格调整，甲的方案是先提价10%，再打九折；乙的方案是先打九折，再提价10%；则甲、乙两个商家对这件商品的最终定价（ ）
A．甲比乙多 B．乙比甲多
C．甲、乙一样多 D．无法确定
【解答】解：甲：把原来的价格看作单位“1”，则1×（1+10%）×90%＝99%；
乙：把原来的价格看作单位“1”，则1×90%×（1+10%）＝99%；
则甲、乙两个商家对这件商品的最终定价一样多．
故选：C．
3.某商场举办促销活动，将原价x元的衣服改为（+1）元出售．下列叙述可作为此商场的促销标语的是（ ）
A．原价打三四折再加一元 B．原价打四三折再加一元
C．原价加一元再打三四折 D．原价打七五折再加一元
4．下列单项式，是2次单项式的是（ ）
A．xy B．2x C．x2y D．x2y2
【解答】解：A、xy的次数为2，是2次单项式；
B、2x的次数为1，不是2次单项式；
C、x2y的次数为3，不是2次单项式；
D．x2y2的次数是4，不是2次单项式；
故选：A．
5.某企业今年5月份产值为a（1﹣10%）（1+15%）万元，比4月份增加了15%，4月份比3月份减少了10%，则3月份的产值是 万元。
6.九年级某班同学，每人都会游泳或滑冰，其中会游泳的人数比会滑冰的人数多10人，两种都会的有5人．设会游泳的有a人，则该班同学共有 人（用含a的代数式表示）．
7．在下列各式：①π﹣3；②ab＝ba；③x；④2m﹣1＞0；⑤；⑥8（x2+y2）中，整式有 ①、③、⑥ ．
【解答】解：①π﹣3，是整式；
②ab＝ba，不是整式，是等式；
③x，是整式；
④2m﹣1＞0，不是整式，是不等式；
⑤，不是整式，是分式；
⑥8（x2+y2），是整式
整式有①、③、⑥．
故答案为：①、③、⑥．
8．若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值．
【解答】解：∵﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，
∴m＝﹣8，且2+|n﹣3|＝10，
解得：n＝11或﹣5，
则m+n＝3或m+n＝﹣13．
9．观察下面一列单项式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…
（1）写出第99个，第2006个单项式；
（2）写出第n个单项式．
【解答】解：（1）∵﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…
∴第99个单项式为：﹣99x99，第2006个单项式为：2006x2006；
（2）由已知可得：第n个单项式为：（﹣1）nnxn．
10.已知多项式﹣是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2+n2的值．
【解答】解：∵多项式﹣是六次四项式，
∴2+m+1＝6，
解得m＝3，
又∵单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，
∴2n+2＝6，
解得：n＝2，
∴m2+n2＝32+22＝13．
家长签字：____________第6节 整式的相关概念
目标层级图
课中讲解
一．用字母表示数
内容讲解
1．在同一问题中，同一字母只能表示同一数量，不同的数量要用不同的字母表示。
2．用字母表示实际问题中某一数量时，字母的取值必须使这个问题有意义，并且符合实际。
3．注意书写格式的规范：
①表示数与字母或字母与字母相乘时乘号，乘号可以写成“·”，但通常省略不写；数字与数字相乘必须写乘号；
②数和字母相乘时，数字应写在字母前面；
③带分数与字母相乘时，应把带分数化成假分数；
④除法运算写成分数形式 ，分数线具 “÷ ”号和“括号”的双重作用；
⑤在代数式的运算结果中，如有单位时，结果是积或商直接写单位；结果是和差加括号后再写单位。
例1．矩形ABCD内放入两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为S1；按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S2．按图③放置，矩形纸片没有被两个正方形覆盖的部分的面积为S3，已知S1﹣S3＝4，S2﹣S3＝16．设AD﹣AB＝m．下列值确定的是（ ）
A．m B．ma C．mb D．a+b
例2．填空：
（1）如果a（a不为0）表示一个有理数，那么它的相反数是 ，倒数是 ；
（2）一个正方形的边长是a cm，把这个正方形的边长增加1cm后所得到的正方形的周长
是 cm；
（3）某城市5年前人均收入为n元，预计今年收入是五年前的2倍多500元，那么今年人均收入将达 元；
（4）一个两位数，十位上的数字为a，个位上的数字比十位上的数字少2，则这个两位数为
。
例3．一个三位数，百位数字是a，十位数字比百位数字大3，个位数字比百位数字小5，用代数式表示这个三位数。
过关检测
1．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（ ）
A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣am
C．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn
2．某商场举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以（）元出售，则下列说法中，能正确反映该商场的促销方法的是（ ）
A．原价打8折后再减10元 B．原价减10元后再打8折
C．原价减10元后再打2折 D．原价打2折后再减10元
3．通信市场竞争日益激烈，某通信公司的手机本地话费标准按原标准每分钟降低a元后，再次下调了20%，现在收费标准是每分钟b元，则原收费标准每分钟是（ ）
A．（）元 B．（）元 C．（a+5b）元 D．（a﹣5b）元
4．填空：
（1）校园里刚栽下1.8m高的小树苗，以后每年长0.3m，则n年后是 m；
（2）某种电脑原来是a元钱，“五一”搞促销活动，每台下降10%，则“五一”期间这种电脑的售价为 元；
（3）有一个两位数，个位数字是n，十位数字是m，则这个两位数可表示为 。
5．全校一共有人，其中男生占25%，则女生的人数为_____________。
6．已知a是两位数，b是一位数，把a接写在b的后面，就成为一个三位数.这个三位数可表示成______________。
7．某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数会比会弹古筝的人数多10人，两种都会的有7人．设会弹古筝的有m人，则该班同学共有 人（用含有m的代数式表示）
二．代数式
内容讲解
（一）代数式的概念
叫代数式。如： n-2 、 0.8a、2n +500、abc、2ab+2bc +2ac，（单独一个数或字母也是代数式）
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；
②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；
③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：
①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；
②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；
③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如应写作；
④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；
⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作；
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如平方米。
例1．下列各式符合书写要求的是（ ）
A． B．n 2 C．a÷b D．2πr2
例2．用文字语言叙述代数式，不正确的是（ ）
A．比a的倒数小b的数 B．1除以a的商与b的差
C．1除以a与b的差的商 D．a的倒数与b的差
过关检测
1．下列各式中，符合代数式书写规则的是（ ）
A． B． C． D．2y÷z
2．代数式的意义是（ ）
A．a与b的平方和除c的商
B．a与b的平方和除以c的商
C．a与b的和的平方除c的商
D．a与b的和的平方除以c的商
（二）代数式的值
代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值。
例1．当，代数式的值为 。
例2．已知x＝a时，多项式x2+4x+4b2的值为﹣4，则x＝﹣a时，该多项式的值为（ ）
A．0 B．6 C．12 D．18
过关检测
1．当代数式的的值为 。
2．已知整式的值为6，则的值为 。
3．当时，求代数式的值。
三．整式
内容讲解
（一）单项式和多项式
1．单项式： 。单项式的系数是指 。
单项式的次数是指 。
2．多项式： 。在多项式中， 叫做多项式的项。在多项式中， 叫做常数项。 ，就是这个多项式的次数。多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式。
例1．单项式﹣5x4y2的系数是 。
例2．若单项式﹣x3yn+5的系数是m，次数是9，则m+n的值为 。
例3．已知多项式是六次多项式，单项式的次数与多项式的次数相同，求。
过关检测
1．单项式的次数是 ，系数是 。
2．写出一个系数是2，且含有字母a，b的3次单项式 （答案不唯一）。
3．多项式是关于的三次三项式，则的值是 。
（二）整式
整式的概念： 。
例1．某九年级学生复习了整式有关概念后，他用一个圆代表所有代数式，画了下列图形来表示整式，多项式，单项式的关系，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．代数式：①；②πr2；③；④﹣3a2b；⑤．其中整式的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
过关检测
1．下列式子中，是整式的是（ ）
A．x+1 B． C．1÷x D．
2．下列代数式中整式有（ ）
，，，，（x2﹣2xy+1），0，
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．若多项式m（m﹣1）x3+（m﹣1）x+2是关于x的一次多项式，则m需满足的条件是 。
学习任务
1．已知（x﹣1）3＝ax3+bx2+cx+d，则a+b+c+d的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．不能确定
2．甲、乙两个商家对标价相同的同一件商品进行价格调整，甲的方案是先提价10%，再打九折；乙的方案是先打九折，再提价10%；则甲、乙两个商家对这件商品的最终定价（ ）
A．甲比乙多 B．乙比甲多
C．甲、乙一样多 D．无法确定
3．某商场举办促销活动，将原价x元的衣服改为（）元出售．下列叙述可作为此商场的促销标语的是（ ）
A．原价打三四折再加一元 B．原价打四三折再加一元
C．原价加一元再打三四折 D．原价打七五折再加一元
4．下列单项式，是2次单项式的是（ ）
A．xy B．2x C．x2y D．x2y2
5．某企业今年5月份产值为a（1﹣10%）（1+15%）万元，比4月份增加了15%，4月份比3月份减少了10%，则3月份的产值是 万元。
6．九年级某班同学，每人都会游泳或滑冰，其中会游泳的人数比会滑冰的人数多10人，两种都会的有5人．设会游泳的有a人，则该班同学共有 人（用含a的代数式表示）．
7．在下列各式：①π﹣3；②ab＝ba；③x；④2m﹣1＞0；⑤；⑥8（x2+y2）中，整式有 。
8．若﹣mx2y|n﹣3|是关于x、y的10次单项式，且系数是8，求m+n的值。
9．观察下面一列单项式：﹣x，2x2，﹣3x3，4x4，…，﹣19x19，20x20，…
（1）写出第99个，第2006个单项式；
（2）写出第n个单项式。
10．已知多项式是六次四项式，单项式3x2ny2的次数与这个多项式的次数相同，求m2+n2的值。
