第8节 线段的和差及中点问题
目标层级图
课前检测
1．下列说法中正确的个数为
①射线和射线是同一条射线；②连接两点的线段叫两点间的距离；③两点确定一条直线；④若，则是线段的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①射线端点是，从向无限延伸，射线端点是，从向无限延伸，所以不是同一条射线，故①错误；
②连接两点间的线段的长度，叫两点间的距离，故②错误；
③根据直线的性质知：两点确定一条直线，故③正确；
④当、、三点共线时，若，则是线段的中点．故④错误．
综上所述，正确的个数是1．
故选：．
2．如图，以为端点的射线共有多少条？
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解答】解：以为端点的射线有射线、、，共3条．
故选：．
3．如图，点、、、在同一直线上，那么这条直线上共有线段
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
【解答】解：点、、、在同一直线上，那么这条直线上有线段：，，，，，，共6条．
故选：．
4．下列各选项中直线的表示方法正确的是
A． 直线 B． 直线
C． 直线 D． 直线
【解答】解：点用大写字母表示，
直线可以用这条直线上的两个点表示，即两个大写字母表示，
也可以用一个小写字母表示，但不能大小写混用．
故选：．
5．下列四种情况的直线、射线或线段能相交的是
A． B．
C． D．
【解答】解：两条射线能相交；、、不能相交．
故选：．
课中讲解
一．授课内容1：线段的中点的定义及应用
内容讲解
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
关于线段的等分点:
①线段的中点是指在线段上把线段分成两条相等线段的点，线段中点只有一个，而线段的三等分点有两个，四等分点有三个．
②线段中点表示方法有三种：
若点C是AB中点，则①；②；③．
中点问题
模型一
P为线段AB上任意一点，其中E为AP中点，F为PB中点，则
模型二
E为AM中点，F为BN中点，则
例1． 如图所示，、是线段上两点，若，为中点且，则
A． B． C． D．
【解答】解：点为的中点，，
．
，，
．
故选：．
例2．如图，点是线段上的点，其中不能说明点是线段中点的是
A． B． C． D．
【解答】解：、若，则是线段中点；
、若，则是线段中点；
、，可是线段是任意一点；
、若，则是线段中点．
故选：．
例3．如图：已知线段，在上取一点，是的中点，是中点，若，求线段的长．
【解答】解：，是的中点，
，
，
，
是中点，
．
例4．（1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上任意一点，且，，点、分别是、的中点，请直接写出线段的长度；（用、的代数式表示）
【解答】解：（1），点是的中点
，点是的中点
线段的长度为．（4分）
（2）．（6分）
过关检测
1． 下列说法不正确的是
A．因为是线段的中点，所以
B．在线段延长线上取一点，如果，那么点是线段的中点
C．因为，，在同一直线上，且，所以是线段的中点
D．因为，所以点是的中点
【解答】解：、因为是线段的中点，所以，故本选项正确；
、如图，由，得；故本选项正确；
、根据线段中点的定义判断，故本选项正确；
、如图，当点不在线段时，
因为，所以点不一定是的中点，故本选项错误；
故选：．
2．如图所示，、是线段上任意两点，是的中点，是的中点，若，，则的长为 10 ．
【解答】解：，
，，
，
．
答：的长为10．
故答案为：10．
3．如图1，已知线段，点为线段上的一点，点、分别是和的中点．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，求的长；
【解答】解：（1），，
，
点、分别是和的中点，
，，
，即的长是12；
故答案为：12；
（2），，
，
点、分别是和的中点，
，，
，即的长是12；
4．如图，点在线段上，点、分别是、的中点．
（1）若，，求线段的长；
（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：（1），点是的中点，
，
，点是的中点，
，
，
线段的长度为，
（2），
当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在，
（3）当点在线段的延长线时，如图：
则，
是的中点，
，
点是的中点，
，
．
二．授课内容2：线段和差倍分问题
内容讲解
例1． 已知线段，延长线段到使，延长线段到使，则线段的长为
A． B． C． D．
【解答】解：由线段的和差，得
，
由线段中点的性质，得，
故选：．
例2． 如图，点、为线段上两点，，且，则等于
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
，
故选：．
例3．已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则 或 ．
【解答】解：如图1，
设，则，，
点为的中点，
，
，
，
，
解得：，
；
如图2，设，则，，
点为的中点，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：或．
例4．如图，直线1上有，两点，，点是线段上的一点，．
（1） ， ；
（2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长；
【解答】解：（1），，
，解得，
．
故答案为：8，4；
（2）设点所表示的实数为，
分两种情况：①点在线段上时，
，
，
，
；
②点在线段上时，
，
，
（不符合题意，舍）．
故的长是；
例5．如图，点与在线段上，且，，且，则的长度为 105 ．
【解答】解：线段上有两点，，点将分成两部分．，
点将也分成两部分，，
设，，
，
，
，
，即，解得，
．
故答案为：105．
例6．如图，已知线段和的公共部分为，且，线段，的中点，之间的距离是30，求线段，的长．
【解答】解：设，则，．
点、点分别为、的中点，
，，
．
．
，
，
解得：．
，．
例7．已知：点是线段上．
（1）如图1，点在线段上，且，点在线段上，且．若，求的值．
（2）如图2，若，点是直线上一点，且，求的值．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2）当点在线段上时，如图2，
，
，
又
，
，
，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上时，如图2，
，又，
，即．
综上所述或．
过关检测
1．如图，点、为线段上两点，，且，则等于
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：，
，
，
，
，
故选：．
2．如图，点为线段的中点，点在线段上，并且，如果图中所有的线段的长度和为，则线段的长为 ．
【解答】解：点为线段的中点，
，
，
，
，
设，
，，，
图中所有的线段的长度和为，
，
，
，
故答案为：．
3．已知线段，点在直线上，，则 或 ．
【解答】解：，分两种情况：
①点在、中间时，
．
②点在点的左边时，
．
线段的长为或．
故答案为：或．
4．如图，已知线段，点、分别是线段上的两点，且满足，点是线段的中点，求线段的长．
解：设，则， ，
（用含的代数式表示）．
．
点是线段的中点．
．
．
【解答】解：设，则，，
（用含的代数式表示）．
．
点是线段的中点．
．
．
故答案为：；；5；，10；35．
5．如图．、是线段上两点，且，、分别是、的中点，且，求线段、、的长．
【解答】解：设，，，则，，
则，
，
，．
三．授课内容3：线段计算—分类讨论
内容讲解
例1．已知线段，是直线上一点，，则线段长为（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
【答案】C
【解析】如果 均在点 同侧，则
如果 均在点 异侧，则
过关检测
1．已知点都是直线上的点，且，那么点与点之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】 ，
或 ．
2．在直线 上，有 ，，则 的长为________．
【答案】 或
【解析】根据点 在线段 上与点 在线段 的延长线上分类讨论即可．
（i）当点 在线段 上时，；
（ii）当点 在线段 的延长线上时，．
例2．已知线段 ，在直线 上有一点 ，且 ，点 是线段 的中点，则线段 的长为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】当 在 点左侧时：
当 在 点右侧时：
过关检测
1．己知点 为线段 的中点，且 ，若点 是线段 的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】此题画图时会出现两种情况，即点 在线段 内，或点 在线段 内，所以要分两种情况计算．
第一种情况：在 内，；
第二种情况：在 内，
故答案为 ．
故选D．
2．线段 的长为 ， 为线段 的中点，点 在直线 上，且 ，则 的长为________．
【答案】 或
【解析】当在上时，
线段的长为 10，点为线段的中点，
，
而，
；
当在延长线上时，
线段的长为 10，点为线段的中点，
，
而，
．
例3．如图，点 在线段 上，点 ， 分别是 ， 的中点．
（1） 若线段 ，，求线段 的长度；
【答案】 ．
【解析】 点 ， 分别是 ， 的中点，，，
，．
．
（2） 若 ，求线段 的长度；
【答案】 ．
【解析】 点 ， 分别是 ， 的中点，，，
，．
．
（3） 若将第（1）小题中''点 在线段 上“改为”点 在直线 上"，第（1）小题的结果会有变化吗？求出此时 的长度．
【答案】有变化． 的长为 或 ．
【解析】当点 在线段 上时．
点 ， 分别是 ， 的中点，，，
，．
．
当点 在线段 延长线上时．
点 ， 分别是 ， 的中点，，，
，．
．
的长为 或 ．
过关检测
1．已知线段 ，点 是直线 上一点，，若 是 的中点， 是 的中点，则线段 的长度为 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
【答案】B
【解析】如图1
由是的中点，是的中点，得
，，
由线段的和差，得；
如图2
由是的中点，是的中点，得
，，
由线段的和差，得；
2．已知线段 ， 是直线 上一点，且 ， 、 分别是 、 的中点，则线段 的长为________．
【答案】 或
【解析】
（1）若为图1情形，为的中点，
，
为的中点，
，
；
（2）若为图2情形，为的中点，
，
为的中点，
，
．
3．如图已知点为上一点，，，、分别为、的中点，求的长．
【解答】解：根据题意，，，
所以，
所以，
又、分别为、的中点，
所以．
即．
故答案为．
例4．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若 ，则这条绳子的原长为________．
【答案】或
【解析】当折点为点时，剪断后的三段为、、，三段比例为；
则，此时绳子原长为：，
当折点为点时，剪断后的三段为：、、，三段比例为；
则，则，此时绳子原长为：，
故答案为：或．
过关检测
1．如图，线段表示一条对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则原来绳长________．
【答案】或
【解析】当折点为点时，剪断后的三段为、、，三段比例为；
则，得，此时绳子原长为：，
当折点为点时，剪断后的三段为：、、，三段比例为；
则，则，
此时绳子原长为：，
故答案为：或．
例5．已知，点C是线段AB的中点，AC＝6．点D在直线AB上，且AD＝BD．请画出相应的示意图，并求线段CD的长．
【解答】解：点是线段的中点，，
，
①如图，若点在线段上，
，
，
．
②如图，若点在线段的反向延长线上，
，
，
．
综上所述，的长为2或18．
过关检测
1．已知线段长为12cm，点是线段上一点，满足，点是直线上一点，满足，请画出示意图，求出线段的长．
【答案】6或10
【解析】如图1、图2，分两种情况讨论：
由题意=4，=8，=2，
由图1得=6，
由图2得=10．
综上所述，线段的长度是6或10．
四．授课内容4：线段计算—动点问题
内容讲解
例1．如图，是线段上一动点，沿以的速度运动，是线段的中点，，设点运动时间为秒．
（1） 当时．
① ________ ．
② 求线段的长度．
【答案】①；②．
【解析】 ，，
，
是线段的中点，
．
故答案为：．
（2） 在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．
【答案】不变，．
【解析】不变．
中点为，是线段的中点，
∴，，
∴
．
过关检测
1．如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点，则的长
A． B． C． D．
【解答】解：点、分别是和的中点，
而，
．
故选：．
2．如图：线段，点是动点，点、分别是线段、的中点，那么下列说法正确的序号是 ．
①点是的中点时，
②点是线段上任意一点时，
③点在线段的延长线上时，
④点是直线上任意一点时，．
【答案】①②③④
【解析】①当点是的中点时，，故可知，故①正确
②点是线段上任意一点时，，故②正确
当点在线段的延长线上时，，故③正确
④点是直线上任意一点时，或，故④正确，
故答案为①②③④．
3．如图，是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动次，是线段的中点，，设点运动时间为秒（不超过秒）
（1） 当秒时，________ ．
【答案】
【解析】当秒时，．
故答案为：．
（2） 当秒时，求线段的长度．
【答案】．
【解析】当秒时，，
，
线段的长度时．
（3） 在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．
【解析】不变，理由如下：
由的中点为，是线段的中点，得
，．
．
例2．已知：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，沿数轴向左运动，速度为每秒个单位长度．点为线段中点，点为线段中点．设运动时间为秒．
（1） 线段的长为________ 个单位长度；点表示的数为________．
【答案】;
（2） 当时，求线段的长度．
【答案】
【解析】当时，点表示的数为，
点表示的数为，
线段的长度为．
（3） 在整个运动过程中，求线段的长度．（用含的式子表示）．
【答案】或．
【解析】方法一：当点在点两点之间运动时，点表示的数为，点表示的数为，
线段的长度为．
方法二：当点运动到点的左侧时，点表示的数为，点表示的数为，
线段的长度为．
过关检测
1．如图，在数轴上有两点、，点表示的数是8，点在点的左侧，且，
动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间秒．
（1）写出数轴上点表示的数________；点表示的数用含的代数式表示为 ．
（2）动点从点出发沿数轴向左匀速运动，速度是点速度的一半，动点、同时出发，问点运动多少秒后追上点？
（3）若点为线段的中点，点为线段的中点，在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
【解答】解：（1）点表示的数为8，在点左边，，
点表示的数是，
动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，
点表示的数是．
故答案为：，；
（2）设点运动秒时，在点处追上点，
则，，
，
，
解得：，
点运动秒时追上点．
（3）线段的长度不发生变化，都等于7；理由如下：
①当点在点、两点之间运动时：
，
②当点运动到点的左侧时：
，
线段的长度不发生变化，其值为7．
2．如图所示， 点在线段上，，，点、分别是、的中点 ．
（1） 求线段的长 ．
（2） 若为线段上任意一点， 满足，其他条件不变， 你能猜想出的长度吗？并说明理由 ．
（3） 若在线段的延长线上， 且满足，、分别为、的中点， 你能猜想出的长度吗？请画出图形， 写出你的结论， 并说明理由 ．
【解答】解： （1）点、分别是、的中点，
，，
；
（2）． 理由如下：
点、分别是、的中点，
，，
；
（3） 解： 如图，
点、分别是、的中点，
，，
．
例3．如图，数轴上点 表示的数分别为 ，．现有一动点 以 个单位每秒的速度从点 向 运动，另一动点 以 个单位每秒的速度从点 向 运动．当 时，运动的时间为（ ）
A． 秒 B． 秒
C． 秒或 秒 D． 秒或 秒
【答案】D
【解析】设运动的时间为 秒，
① 相遇前，有：
，
解得 ；
② 相遇后，有：
，
解得 ．
过关检测
1．如图，已知点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点，是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点，分别从点，同时出发在直线上运动，则经过________ 时，线段的长为．
【答案】或或或
【解析】设运动时间为秒．
①如果点向左、点向右运动，
由题意，得：，
解得．
②点、都向右运动，
由题意，得：，
解得．
③点、都向左运动，
由题意，得：，
解得．
④点向右、点向左运动，
由题意，得：，
解得．
综上所述，经过或或秒时线段的长为厘米．
例4．数轴上三点，，的位置如图所示，请你根据下图，回答下列问题：
（1） ，，三点所表示的数分别是：________ ，________ ，________ ．
【答案】；；
（2） 线段，的三等分点所表示的数为：________．
【答案】或
（3） 一动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左运动了秒，则点向左运动了________个单位长度，此时点所表示的数为________．同一时间有一动点从点以个单位长度/秒的速度向右运动了秒，则点向右运动了________个单位长度，此时点所表示的数为________．
【答案】；；；
（4） 在（3）的条件下，运动秒时，，两点间的距离为________．
【答案】
过关检测
1．已知，，三点在数轴上对应的位置如图如示．其中点对应的数为，，．
（1） 点对应的数是________ ，点对应的数是________ ．
【答案】;
【解析】点对应的数是：，点对应的数是：，
（2） 动点，分别同时从，两点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．点为的中点，点在上，且，设运动时间为．
① 请直接用含的代数式表示点，对应的数．
② 当时，求的值．
【答案】①：；：．
② 或．
【解析】点在原点左边时，
∵，
∴，
∴；
点在原点右边时，
∵，
∴，
∴．
学习任务
1． 下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段等于线段，则点是线段的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①经过一点有无数条直线，这个说法正确；
②两点之间线段最短，这个说法正确；
③经过两点，有且只有一条直线，这个说法正确；
④若线段等于线段，则点不一定是线段的中点，因为、、三点不一定在一条直线上，所以这个说法错误；
⑤连接两点的线段的长度叫做这两点之间的距离，所以这个说法错误．
所以正确的说法有三个．
故选：．
2．下列说法正确的个数是
①射线与射线是同一条直线；②两点确定一条直线；
③两点之间直线最短；④若，则点是的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①射线与射线不是同一条射线，故①错误；
②两点确定一条直线，故②正确；
③两点之间线段最短，故③错误；
④若，则点不一定是的中点，故④错误．
故选：．
3．若线段 ，点 在直线 上，且 ，则线段 的长是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【解析】本题有两种情形：
① 当点 在线段 上时，
．
又 ，．
．
② 当点 在线段 的延长线上时，
．
又 ，．
．
4．已知：线段 ，点 是直线 上的一点，且 ，点 是线段 的中点，求线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】（i）当点 在线段 上时，如图，
，
根据点 是线段 的中点，得 ；
（ii）当点 在线段 的延长线上时，如图，
，
根据点 是线段 的中点，得 ．
综上所述， 的长是 或 ．
5．如图，，，，是直线上顺次四点，，分别是，的中点，且，，则的长等于
． ． ． ．
【解答】解：
，
．
故选：．
6． 如图，点在线段上，，，点为线段中点，点为线段中点，则线段的长度为 ．
【解答】解：点为线段中点，
，
点为线段中点，
，
，，
，
故答案为3．
7． 已知线段，在直线上取一点，恰好使，点为线段的中点，则的长为 ．
【解答】解：当点在线段上时，如图所示：
，，
，，
点为线段的中点，故，
故，
当点在线段的延长线上时，如图所示：
，，
，
点为线段的中点，故，
故
当点在线段的反向延长线上时，不成立
故或10．
故答案为：7或10．
8．、是数轴上的二个点，线段的长度为3，若点表示的数为，则点表示的数为 ．
【解答】解：如图，的位置不确定：
（1）在的左边，可以看出点表示的数为；
（2）在的右边，可以看出点表示的数为2．
点表示的数为或2．
9．如图，是线段上任意一点，，分别是，的中点，如果，那么的长为 ．
【解答】解：点是中点
点是中点
．所以本题应填6．
10． 如图，点是线段的中点，点是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，求线段的长度．
【解答】解：点是线段的中点，点是线段的中点，
，，，
设，则，，，，
由题意得，
，
，
．
11． 已知直线上有、、 三点，点在点的左侧，为的中点，为的中点．
（1）如图，若点为的中点，且，求线段的长．
（2）若，且，求线段的长．（用含的代数式表示）
【解答】解：（1）点为的中点，且，
，
为的中点，为的中点，
，，
；
（2），且，
，，
为的中点，为的中点，
，，
．
12． 如图，已知，、是线段上的两个点，且满足，点是线段的中点．
（1）若点是线段的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上一点，满足，求线段的长度．
【解答】解：（1）设，则，．
，
解得，
，，，．
点是线段的中点，
．
点是线段的中点，
．
；
（2），，
，
分以下两种情况：
①当点在线段上时，；
②当点在线段上时，．
综上所述，线段的长度为3或7．
13．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．
（1）若点恰好是中点，则 ；
（2）若，求的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过，的长不变．
【解答】解：（1），点、分别是和的中点，点为的中点，
，
，
，
（2），
，
，
点、分别是和的中点，
，，
，
（3）设，
点、分别是和的中点，
，
不论取何值（不超过，的长不变．
家长签字：____________第8讲 线段的和差及中点问题
目标层级图
课中讲解
一．线段的中点的定义及应用
内容讲解
两点之间的距离：两点确定的线段的长度．
线段中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．
关于线段的等分点:
①线段的中点是指在线段上把线段分成两条相等线段的点，线段中点只有一个，而线段的三等分点有两个，四等分点有三个．
②线段中点表示方法有三种：
若点C是AB中点，则①；②；③．
中点问题
模型一
P为线段AB上任意一点，其中E为AP中点，F为PB中点，则
模型二
E为AM中点，F为BN中点，则
例1．如图所示，、是线段上两点，若，为中点且，则
A． B． C． D．
例2．如图，点是线段上的点，其中不能说明点是线段中点的是
A． B． C． D．
例3．如图：已知线段，在上取一点，是的中点，是中点，若，求线段的长．
例4．（1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上任意一点，且，，点、分别是、的中点，请直接写出线段的长度；（用、的代数式表示）
过关检测
1．下列说法不正确的是
A．因为是线段的中点，所以
B．在线段延长线上取一点，如果，那么点是线段的中点
C．因为，，在同一直线上，且，所以是线段的中点
D．因为，所以点是的中点
2．如图所示，、是线段上任意两点，是的中点，是的中点，若，，则的长为 ．
3．如图1，已知线段，点为线段上的一点，点、分别是和的中点．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，求的长；
4．如图，点在线段上，点、分别是、的中点．
（1）若，，求线段的长；
（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
二．线段和差倍分问题
内容讲解
例1． 已知线段，延长线段到使，延长线段到使，则线段的长为
A． B． C． D．
例2． 如图，点、为线段上两点，，且，则等于
A． B． C． D．
例3．已知线段，点为的中点，是直线上的一点，且，，则 ．
例4．如图，直线1上有，两点，，点是线段上的一点，．
（1） ， ；
（2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长；
例5．如图，点与在线段上，且，，且，则的长度为 ．
例6．如图，已知线段和的公共部分为，且，线段，的中点，之间的距离是30，求线段，的长．
例7．已知：点是线段上．
（1）如图1，点在线段上，且，点在线段上，且．
若，求的值．
（2）如图2，若，点是直线上一点，且，求的值．
过关检测
1．如图，点、为线段上两点，，且，则等于
A．10 B．8 C．6 D．4
2．如图，点为线段的中点，点在线段上，并且，如果图中所有的线段的长度和为，则线段的长为 ．
3．已知线段，点在直线上，，则 ．
4．如图，已知线段，点、分别是线段上的两点，且满足，点是线段的中点，求线段的长．
解：设，则， ，
（用含的代数式表示）．
．
点是线段的中点．
．
．
5．如图，、是线段上两点，且，、分别是、的中点，且，求线段、、的长．
三．线段计算—分类讨论
内容讲解
例1．已知线段，是直线上一点，，则线段长为（ ）
A． B． C． 或 D．以上都不对
过关检测
1．已知点都是直线上的点，且,那么点与点之间的距离是（ ）
A． B． C．或 D．
2．在直线 上，有 ，，则 的长为________．
例2．已知线段 ，在直线 上有一点 ，且 ，点 是线段 的中点，则线段 的长为 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
过关检测
1．己知点 为线段 的中点，且 ，若点 是线段 的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
2．线段 的长为 ， 为线段 的中点，点 在直线 上，且 ，则 的长为________．
例3．如图，点 在线段 上，点 ， 分别是 ， 的中点．
（1） 若线段 ，，求线段 的长度；
（2） 若 ，求线段 的长度；
（3） 若将第（1）小题中''点 在线段 上“改为”点 在直线 上"，第（1）小题的结果会有变化吗？求出此时 的长度．
过关检测
1．已知线段 ，点 是直线 上一点，，若 是 的中点， 是 的中点，则线段 的长度为 （ ）
A． B． 或 C． 或 D．
2．已知线段 ， 是直线 上一点，且 ， 、 分别是 、 的中点，则线段 的长为________．
3．如图已知点为上一点，，，、分别为、的中点，求的长．
例4．如图，线段表示一根对折以后的绳子，现从处把绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若 ，则这条绳子的原长为________．
过关检测
1．如图，线段表示一条对折的绳子，现从点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为，若，则原来绳长________．
例5．已知，点C是线段AB的中点，AC＝6．点D在直线AB上，且AD＝BD．请画出相应的示意图，并求线段CD的长．
过关检测
1．已知线段长为12cm，点是线段上一点，满足，点是直线上一点，满足，请画出示意图，求出线段的长．
四．线段计算—动点问题
内容讲解
例1．如图，是线段上一动点，沿以的速度运动，是线段的中点，，设点运动时间为秒．
（1） 当时．
① ________ ．
② 求线段的长度．
（2） 在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．
过关检测
1．如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点，则的长
A． B． C． D．
2．如图：线段，点是动点，点、分别是线段、的中点，那么下列说法正确的序号是 ．
①点是的中点时，
②点是线段上任意一点时，
③点在线段的延长线上时，
④点是直线上任意一点时，．
3．如图，是线段上一动点，沿以每秒的速度往返运动次，是线段的中点，，设点运动时间为秒（不超过秒）
（1） 当秒时，________ ．
（2） 当秒时，求线段的长度．
（3） 在运动过程中，若的中点为，则的长是否变化？若不变，求出的长；若发生变化，请说明理由．
例2．已知：如图，数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，动点从点出发，沿数轴向左运动，速度为每秒个单位长度．点为线段中点，点为线段中点．设运动时间为秒．
（1） 线段的长为________ 个单位长度；点表示的数为________．
（2） 当时，求线段的长度．
（3） 在整个运动过程中，求线段的长度．（用含的式子表示）．
过关检测
1．如图，在数轴上有两点、，点表示的数是8，点在点的左侧，且，
动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间秒．
（1）写出数轴上点表示的数________；点表示的数用含的代数式表示为 ．
（2）动点从点出发沿数轴向左匀速运动，速度是点速度的一半，动点、同时出发，问点运动多少秒后追上点？
（3）若点为线段的中点，点为线段的中点，在点的运动过程中，线段的长度是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长．
2．如图所示， 点在线段上，，，点、分别是、的中点 ．
（1） 求线段的长 ．
（2） 若为线段上任意一点， 满足，其他条件不变， 你能猜想出的长度吗？并说明理由 ．
（3） 若在线段的延长线上， 且满足，、分别为、的中点， 你能猜想出的长度吗？请画出图形， 写出你的结论， 并说明理由 ．
例3．如图，数轴上点 表示的数分别为 ，．现有一动点 以 个单位每秒的速度从点 向 运动，另一动点 以 个单位每秒的速度从点 向 运动．当 时，运动的时间为（ ）
A． 秒 B． 秒
C． 秒或 秒 D． 秒或 秒
过关检测
1．如图，已知点、是直线上的两点，，点在线段上，且，点，是直线上的两个动点，点的速度为，点的速度为，点，分别从点，同时出发在直线上运动，则经过________ 时，线段的长为．
例4．数轴上三点，，的位置如图所示，请你根据下图，回答下列问题：
（1） ，，三点所表示的数分别是：________ ，________ ，________ ．
（2） 线段，的三等分点所表示的数为：________．
（3） 一动点从点出发，以个单位长度/秒的速度向左运动了秒，则点向左运动了________个单位长度，此时点所表示的数为________．同一时间有一动点从点以个单位长度/秒的速度向右运动了秒，则点向右运动了________个单位长度，此时点所表示的数为________．
（4） 在（3）的条件下，运动秒时，，两点间的距离为________．
过关检测
1．已知，，三点在数轴上对应的位置如图如示．其中点对应的数为，，．
（1） 点对应的数是________ ，点对应的数是________ ．
（2） 动点，分别同时从，两点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．点为的中点，点在上，且，设运动时间为．
① 请直接用含的代数式表示点，对应的数．
② 当时，求的值．
学习任务
1． 下列说法：①经过一点有无数条直线；②两点之间线段最短；③经过两点，有且只有一条直线；④若线段等于线段，则点是线段的中点；⑤连接两点的线段叫做这两点之间的距离．其中正确的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的个数是
①射线与射线是同一条直线；②两点确定一条直线；
③两点之间直线最短；④若，则点是的中点．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．若线段 ，点 在直线 上，且 ，则线段 的长是（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
4．已知：线段 ，点 是直线 上的一点，且 ，点 是线段 的中点，求线段 的长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
5．如图，，，，是直线上顺次四点，，分别是，的中点，且，，则的长等于
． ． ． ．
6． 如图，点在线段上，，，点为线段中点，点为线段中点，则线段的长度为 ．
7． 已知线段，在直线上取一点，恰好使，点为线段的中点，则的长为 ．
8．、是数轴上的二个点，线段的长度为3，若点表示的数为，则点表示的数为 ．
9．如图，是线段上任意一点，，分别是，的中点，如果，那么的长为 ．
10． 如图，点是线段的中点，点是线段的中点，已知图中所有线段的长度之和为26，求线段的长度．
11． 已知直线上有、、 三点，点在点的左侧，为的中点，为的中点．
（1）如图，若点为的中点，且，求线段的长．
（2）若，且，求线段的长．（用含的代数式表示）
12． 如图，已知，、是线段上的两个点，且满足，点是线段的中点．
（1）若点是线段的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上一点，满足，求线段的长度．
13．如图，已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点．
（1）若点恰好是中点，则 ；
（2）若，求的长；
（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值（不超过，的长不变．
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