第9节 角的和差及角平分线
目标层级图
课前检测
1.阅读相关文字找规律：2条直线相交，只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点；；10条直线相交，最多可形成交点的个数是( )
A．36 B．45 C．55 D．66
【答案】B
2.在一条直线上任取一点A，截取AB=20cm，再截取AC=18cm，M、N分别是AB、AC的中点，则M、N两点之间的距离为( )
A．19 B．19或1
C．1 D．19或9
【答案】B
【解析】①当点在延长线上时，如图1，
是中点，是中点，
，，
；
②当点在线段上时，如图2，
是中点，是中点，
，，
，
综上，、两点之间的距离为 或，
3.已知：如图，点C、D是线段AB上的两点，线段AC∶CD∶DB=2∶3∶4，点E、F分别是线段AC、DB的中点，且线段EF=12cm，求线段AB的长。
【答案】
【解析】设，
则线段，，
、分别是线段、的中点，
，，
，
，
．
4.已知A，B，C三点在数轴上对应的位置如图如示．其中点对应的数为2，BC=3，AB=14。
(1) 点A对应的数是________ ，点C对应的数是________。
【答案】;
【解析】点对应的数是：，
点对应的数是：，
故答案为：；．
(2) 动点，分别同时从，两点出发，分别以每秒个单位和个单位的速度沿数轴正方向运动．点为的中点，点在上，且，设运动时间为．
① 请直接用含的代数式表示点，对应的数．
② 当时，求的值．
【答案】①：；：．
② 或．
【解析】点在原点左边时，
∵，
∴，
∴；
点在原点右边时，
∵，
∴，
∴．
故当或时，．
课中讲解
授课内容1:角平分线的定义及应用
内容讲解
1.角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线。
例1.下列条件能说明OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＝∠AOB D．∠AOB＝2∠BOC
【解答】解：∠AOC＝∠AOB，当OC在∠AOB的外部时，OC不是∠AOB平分线，故A错误；
∠AOC＝∠BOC，OC是∠AOB平分线，故B正确；
∠BOC＝∠AOB，当OC在∠AOB的外部时，OC不是∠AOB平分线，故C错误；
∠AOB＝2∠BOC时，OC不是∠AOB平分线，故D错误；
故选：B．
例2.如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠AOC＝∠AOB
【解答】解：A．∵∠AOC＝∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以A选项正确，不符合题意；
B．∵∠AOB＝2∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以B选项正确，不符合题意；
C．∵∠AOC+∠COB＝∠AOB
∴OC不一定平分∠AOB．
所以C选项错误，符合题意；
D．∵∠AOC＝∠AOB
∴∴OC平分∠AOB．
所以C选项正确，不符合题意．
故选：C．
例3.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【解答】解：∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠CBN＝∠EBC＝×（60°+90°）＝75°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
.
过关检测
1.已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB；
②如图1，∠AOB＝2∠AOC
所以不能确定OC平分∠AOB；
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
不能确定OC平分∠AOB；
④如图2，∠BOC＝∠AOB，
不能确定OC平分∠AOB；
所以只有①能确定OC平分∠AOB；
故选：A．
2.已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠AOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠BOC＝∠AOB
【解答】解：如图：
A、∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
B、∠AOB＝2∠AOC能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意；
C、∠AOC+∠COB＝∠AOB不能确定OC平分∠AOB，故此选项符合题意；
D、∠BOC＝∠AOB，能确定OC平分∠AOB，故此选项不合题意．
故选：C．
3.如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠AOB＝100°，则∠COD的度数是（ ）
A．75° B．50° C．25° D．20°
【解答】解：∵∠AOB＝100°，OC是∠AOB平分线，
∴∠AOC＝∠AOB＝50°，
又∵OD平分∠AOC，
∴∠COD＝∠3AOC＝25°．
故选：C．
授课内容2：角的和差倍分计算
内容讲解
例1.如图，OC是∠AOB的平分线，，，则等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【解答】解：设∠BOD为x°，则∠COD为3x°，
∴∠COB＝∠COD﹣∠BOD＝2x°，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠COB＝4x°，
∵∠BOD＝15°，
∴∠AOB＝4×15°＝60°．
故选：D．
例2.用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度不能用三角尺画出的是（ ）
A．75° B．60° C．40° D．30°
【解答】解：∵一副三角尺有：
30°，45°、60°、90°，
∴能用三角尺画出的是：
30°，45°、60°、90°、15°、75°．
故选：C．
例3.如图所示，已知∠AOB＝90°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数．
【解答】解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠BOC，∠NOC＝∠AOC，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝∠BOA
＝45°．
∴∠MON的度数为45°．
例4.已知O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠BOE＝110°，求∠COF的度数．
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试判断∠COF和∠BOE之间的数量关系，并证明你的结果．
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，求满足：4∠COF﹣3∠BOE＝20°时，∠EOF的度数．
【解答】解（1）∵∠BOE＝110°，
∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝70°
∵OF平分∠AOE
∴∠EOF＝AOE＝35°
∵∠COE＝90°
∴∠COF＝∠COE﹣∠EOF＝55°
答：∠COF的度数为55°；
（2）∠COF和∠BOE之间的数量关系为：∠BOE＝2∠COF，理由如下：
∵OF平分∠AOE
∴∠AOE＝2∠AOF
∴∠BOE＝180°﹣∠AOE
＝180°﹣2∠AOF
＝180°﹣2（∠AOC+∠COF）
＝180°﹣2（90°﹣∠BOE+∠COF）
＝2∠BOE﹣2∠COF
∴∠BOE＝2∠COF；
答：∠COF和∠BOE之间的数量关系为：∠BOE＝2∠COF；
（3）∵OF平分∠AOE
∴∠FOE＝∠AOF
∴4∠COF﹣3∠BOE＝20°
4（∠COE+∠EOF）﹣3（180°﹣∠EOA）＝20°
4（90°+∠EOF）﹣3（180°﹣2∠EOF）＝20°
∴∠EOF＝20°
答：∠EOF的度数为20°．
例5.如图，∠AOC：∠COD：∠BOD＝2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数．
【解答】解：设∠AOC＝2x，∠COD＝3x，∠BOD＝4x．
∵∠AOC+∠COD+∠BOD＝∠AOB＝180°，
∴2x+3x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠AOC＝40°∠COD＝60°∠BOD＝80°，
∵OE，OF平分∠AOC，∠BOD，
∴∠EOC＝20°∠DOF＝40°，
∴∠EOF＝120°，
又∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠GOF＝60°，
∴∠GOF＝60°．
过关检测
1.在所给的：①15°、②65°、③75°、④135°、⑤145°的角中，可以用一副三角板画出来的是（ ）
A．②④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
【解答】解：①45°﹣30°＝15°，可以用一副三角板画出来；
②65°不可以用一副三角板画出来；
③45°+30°＝75°，可以用一副三角板画出来；
④90°+45°＝135°，可以用一副三角板画出来；
⑤145°不可以用一副三角板画出来；
故选：D．
2.如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝80°，求∠COD的度数．
【解答】解：设∠COD＝x，
∵∠AOC＝3∠COD，
∴∠AOC＝3x，∠AOD＝4x，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOE＝∠DOE＝（180°﹣∠AOD）＝90°﹣2x，
由∠COE＝∠COD+∠DOE得，x+90°﹣2x＝80°，
∴x＝10°，
即：∠COD＝10°
3.如图，已知直线AB上一点O，∠AOD＝42°，∠BOC＝34°，∠DOE＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数．
【解答】解：∵直线AB上一点O，∠AOD＝42°，∠BOC＝34°，
∴∠DOC＝180°﹣42°﹣34°＝104°，
∵OF平分∠COD，
∴∠DOF＝∠FOC＝52°，
∵∠AOD＝42°，∠DOE＝90°，
∴∠AOE＝48°，
∴∠BOE＝180°﹣48°＝132°．
4.如图，OC是∠AOB内一条射线，且∠AOC＜∠BOC，OE是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，则：
（1）若∠AOB＝108°，∠AOC＝36°，则OC是∠DOE平分线．请说明理由；
（2）小明由第（1）题得出猜想：当∠AOB＝3∠AOC时，OC一定平分∠DOE．你觉得小明的猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，判断当∠AOB和∠AOC满足什么条件时OC一定平分∠DOE，并说明理由．
【解答】解：（1）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝108°，
∴∠AOE＝∠BOE＝∠AOB＝×108°＝54°，
∵∠AOC＝36°，
∴∠COE＝54°﹣36°＝18°，
∵OD是∠AOC的平分线，∠AOC＝36°，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC＝×36°＝18°，
∴OC是∠DOE平分线；
（2）正确，设∠AOC＝α，则∠AOB＝3α，
∵OE平分∠AOB，∠AOB＝3α，
∴∠AOE＝α，
∵∠AOC＝α，
∴∠COE＝α，
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠COD＝α＝∠COE，
∴OC平分∠DOE．
5.如图，OC平分∠AOB，∠AOD：∠BOD＝3：5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数．
【解答】解：设∠AOD＝3x，则∠BOD＝5x．
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝3x+5x＝8x．
∵OC平分∠AOB，
∴．
∴∠COD＝∠AOC﹣∠AOD＝4x﹣3x＝x．
∵∠COD＝15°，
∴x＝15°．
∴∠AOB＝8x＝8×15°＝120°．
授课内容3：角的计算和推理
内容讲解
例1.已知OC平分∠AOB，若∠AOB＝70°，∠COD＝10°，则∠AOD的度数为 25°或45° ．
【解答】解：（1）若射线OD在OC的下方时，
如图1所示：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝，
又∵∠AOB＝70°，
∴∠AOC＝＝35°，
又∵∠AOC＝∠COD+∠AOD，
∠COD＝10°，
∴∠AOD＝35°﹣10°＝25°；
（2）若射线OD在OC的上方时，
如图2所示：
同（1）可得：∠AOC＝35°，
又∵∠AOD＝∠AOC+∠COD，
∴∠AOD＝35°+10°＝45°；
综合所述∠AOD的度数为25°或45°，
故答案为25°或45°．
例3.已知：如图1，点O是直线AB上的一点．
（1）如图1，当∠AOD是直角时，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度数；
（2）若∠COD保持在（1）中的大小不变，它绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；
（选讲）（3）若∠COD从（1）中的位置开始，边OC、边OD分别绕着点O以每秒20°、每秒10°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD．
求：①运动多少秒后，∠COD＝10°；
②运动多少秒后，∠COM＝∠BON．
【解答】解：（1）∵∠AOD是直角，
∴∠AOD＝90°＝∠BOD，且3∠AOC＝∠BOD，
∴∠AOC＝30°，
∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝60°；
（2）（2）不会变化，理由如下：
∵OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，
∴∠COE＝∠AOC，∠DOF＝∠BOD，
∵∠AOC+∠BOD＝180°﹣∠COD，
∴∠COE+∠DOF＝（180°﹣∠COD）＝90°﹣∠COD，
∴∠EOF＝∠COE+∠DOF+∠COD＝90°﹣∠COD+∠COD＝120°
（3）①设运动时间为t秒，
∵∠COD＝10°，
∴20t+10°＝10t+60°，或20t＝10t+60°+10°，
∴t＝5或7，
∴当运动5秒或7秒后，∠COD＝10°；
②如图
设运动时间为t秒，
当OC在OB上方时，即0＜t＜7.5时，则∠BOC＝150°﹣20t，∠BOD＝90°﹣10t
所以∠COM＝∠BOC＝（150°﹣20t）
∠BON＝∠BOD＝（90°﹣10t）
∴（150°﹣20t）＝（90°﹣10t）
解得t＝6，所以6秒时∠COM＝∠BON．
过关检测
1.若∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，则∠BOC＝ 48°或102° ．
【解答】解：（1）射线OC在∠AOB的内部时，
如图1所示：
∵∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，
∠AOB＝∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝75°﹣27°＝48°；
（2）射线OC在∠AOB的外部时，
如图2所示：
∵∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，
∠BOC＝∠AOB+∠AOC，
∴∠BOC＝75°+27°＝102°，
综合所述，∠BOC的度数为48°或102°，
故答案为48°或102°．
2.已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的大小为 80° ；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC从该位置起始在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，当|∠AOM﹣∠DON|＝20°时，求此时t的值．
【解答】解：（1）∵∠AOD＝160°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠MOB＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOB+∠BON，
＝∠AOB+∠BOD，
＝（∠AOB+∠BOD），
＝∠AOD＝80°，
故答案为：80°；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
（3）∵∠BOC绕O逆时针以2°每秒的旋转t秒，∠COB＝20°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝2t°+10°+20°＝2t°+30°．
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠AOM＝∠AOC＝t°+15°．
∵∠BOD＝∠AOD﹣∠BOA，∠AOD＝160°，
∴∠BOD＝150°﹣2t．
∵射线ON平分∠BOD，
∴∠DON＝∠BOD＝75°﹣t°．
当|∠AOM﹣∠DON|＝20°时，∠AOM﹣∠DON＝±20°
∴（t+15）﹣（75﹣t）＝±20，
解得t＝20或40．
（选做）3.【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ 40 °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 ．（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
【解答】解：（1）40°，；
（2）射线OD与OA重合时，t＝＝36（秒）
①当∠COD的度数是20°时，有两种可能：
若在相遇之前，则180﹣5t﹣3t＝20，
∴t＝20；
若在相遇之后，则5t+3t﹣180＝20，
∴t＝25；
所以，综上所述，当t＝20秒或25秒时，∠COD的度数是20°．
②相遇之前：
（i）如图1，
OC是OA的伴随线时，则∠AOC＝∠COD
即 3t＝（180﹣5t﹣3t）
∴t＝
（ii）如图2，
OC是OD的伴随线时，
则∠COD＝∠AOC
即180﹣5t﹣3t＝3t
∴t＝
相遇之后：
（iii）如图3，
OD是OC的伴随线时，
则∠COD＝∠AOD
即5t+3t﹣180＝（180﹣5t）
∴t＝
（iv）如图4，
OD是OA的伴随线时，则∠AOD＝∠COD
即180﹣5t＝（3t+5t﹣180）
∴t＝30
所以，综上所述，当t＝，，，30时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线．
学习任务
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分
1.如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（ ）
A．15° B．45° C．15°或30° D．15°或45°
【解答】解：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝AOB＝30°，
又∠COP＝15°
①当OP在∠BOC内，
∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°，
②当OP在∠AOC内，
∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°，
综上所述：∠BOP＝15°或45°．
故选：D．
2.下列说法：①若C是AB的中点，则AC＝BC；②若AC＝BC，则点C是AB的中点；③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB；④若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【解答】解：①若C是AB的中点，则AC＝BC，该说法正确；
②若AC＝BC，则点C不一定是AB的中点，该说法错误；
③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB，该说法正确；
④若∠AOC＝∠AOB，则OC不一定是∠AOB的平分线，该说法错误；
故选：C．
3.如图，OC是∠AOB内部的一条射线，OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．若∠MON＝65°，则∠AOB的度数为（ ）
A．115° B．125° C．130° D．140°
【解答】解：∵OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．
∴2∠MOC＝∠AOC，
2∠NOC＝∠BOC
∵∠AOB＝∠AOC+∠BOC
＝2（∠MOC+∠NOC）
＝2∠MON
＝2×65°
＝130°，
所以∠AOB的度数为130°．
故选：C．
4.α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A．26° B．50° C．72° D．90°
【解答】解：∵α、β都是钝角，
∴90°＜α＜180°，90°＜β＜180°，
∴180°＜α+β＜360°，
∴30°＜（α+β）＜60°，
∴计算正确的结果是50°．
故选：B．
5.在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．10°
【解答】解：①如图1，OC在∠AOB内，
∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠COB＝50°﹣30°＝20°；
②如图2，OC在∠AOB外，
∵∠AOB＝50°，∠COB＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠COB＝50°+30°＝80°；
综上所述，∠AOC的度数是20°或80°．
故选：C．
6.如图，∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝40.5°，求∠AOB度数．
【解答】解：设∠AOC＝x°，
∵∠AOC：∠BOC＝1：4，
∴∠BOC＝4x，∠AOB＝∠BOC+∠AOC＝5x，
∵OD平分∠AOB，
∴∠AOD＝∠BOD＝2.5x，
又∵∠COD＝40.5°，即，∠AOD﹣∠AOC＝40.5°，
2.5x﹣x＝40.5°，
解得，x＝27°
∴∠AOB＝5x＝135°
答：∠AOB的度数是135°．
7.如图，已知锐角∠AOB，射线OC不与OA，OB重合，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）当OC在∠AOB的内部
①若∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，求∠MON的大小；
②若∠MON＝30°，求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，请直接写出∠MON的大小．
【解答】解：（1）当OC在∠AOB的内部
①∵∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC＝∠AOC＝10°，∠NOC＝∠BOC＝25°
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝10°+25°＝35°
答：∠MON的大小为35°；
②∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠AOC＝2∠MOC，∠BOC＝2∠NOC
∴∠AOB＝∠AOC+∠BOC
＝2（∠MOC+∠NOC）
＝2∠MON
∵∠MON＝30°，
∴∠AOB＝60°
答：∠AOB的大小为60°．
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，
分两种情况：
①如图1所示，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC
∴∠MON＝∠NOC﹣∠MOC
＝∠BOC﹣∠AOC
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝AOB
＝40°；
②如图2所示，
OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC
∴∠MON＝∠NOC+∠MOC
＝∠BOC+∠AOC
＝（∠BOC+∠AOC）
＝（360°﹣∠AOB）
＝280°
＝140°；
答：∠MON的大小为40°或140°
8.如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
（1）若∠BOC＝80°，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOC＝α，∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；
（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，试猜想∠DOE与α、β的数量关系并说明理由．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC，∠AOC＝40°，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝20°，
∠AOB＝2∠AOD＝2∠DOB，
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠AOD+∠COD，
∴∠BOC＝∠AOC+2∠COD，
即：80°＝40°+2∠COD，
∴∠COD＝20°，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝20°+20°＝40°；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝25°，
∠AOB＝2∠AOD＝2∠DOB，
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠AOD+∠COD，
∴∠BOC＝∠AOC+2∠COD，
即：α＝50°+2∠COD，
∴∠COD＝，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝+25°＝；
（3），与β无关
∵OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝，
∠AOB＝2∠AOD＝2∠DOB，
∵∠BOC＝∠BOD+∠COD＝∠AOD+∠COD，
∴∠BOC＝∠AOC+2∠COD，
即：α＝β+2∠COD，
∴∠COD＝，
∴∠DOE＝∠COD+∠COE＝+＝；
9.如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．
（1）求∠MON的度数；
（2）将OC绕着点O顺时针旋转，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
（3）若∠AOB＝α（0°＜α＜90°），∠BOC＝β，仍然分别作（2）中操作，能否求出∠MON的度数？若能，直接写出∠MON的度数．
【解答】解：（1）∵∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝120°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝120°×＝60°，
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝×30°＝15°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°；
（2）设∠BOC＝（2x）°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝90°+（2x）°，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝45°+x°
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝×（2x）°＝x°，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝45°
（3）规律：∠MON的度数与∠BCO无关，∠MON＝．
∵∠AOB＝α，∠BOC＝β，
∴∠AOC＝∠AOB+∠BOC＝α+β，
∵OM平分∠AOC，
∴∠MOC＝∠AOC＝（α+β），
∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC＝∠BOC＝，
∴∠MON＝∠MOC﹣∠NOC＝（α+β）﹣＝．
10.一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t．
（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 85 度；
（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转．
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由
【解答】解：（1）180°﹣45°﹣5×10°＝85°，
故答案为：85；
（2）①如图1所示：
∵PB平分∠CPD；
∴∠CPB＝∠BPD＝∠CPD＝30°，
∴∠APC＝∠APB﹣∠CPB＝45°﹣30°＝15°，
由∠MPN＝180°得，10°t+15°+60°+2°t＝180°，
（或者10°t＝180°﹣45°﹣30°﹣2°t）
解得，t＝，
∴当t＝秒时，边PB平分∠CPD；
②设时间为t秒，则∠APM＝10°t，∠DPN＝2°t，
Ⅰ）当PA在PC左侧时，如图2所示：
此时，∠APC＝180°﹣10°t﹣60°﹣2°t＝120°﹣12°t，
∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12°t，
若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（120°﹣12°t），
解得，t＝，
如图3，
此时，∠APC＝10°t+2°t+60°﹣180°＝12°t﹣120°，
∠BPD＝180°﹣45°﹣10°t﹣2°t＝135°﹣12t°，
若∠BPD＝2∠APC，则135°﹣12°t＝2（12°t﹣120°），
解得，t＝．
综上所述，
当t＝秒或秒时，∠BPD＝2∠APC．
家长签字：____________
1第9节 角的和差及角平分线
目标层级图
课中讲解
一．角平分线的定义及应用
内容讲解
1．角平分线的定义： 。
例1.下列条件能说明OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠AOB B．∠AOC＝∠BOC
C．∠BOC＝∠AOB D．∠AOB＝2∠BOC
例2．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠AOC＝∠AOB
例3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
过关检测
1．已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知OC是∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC是∠AOB的平分线的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠AOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠BOC＝∠AOB
3．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，且∠AOB＝100°，则∠COD的度数是（ ）
A．75° B．50° C．25° D．20°
二．角的和差倍分计算
内容讲解
例1．如图，OC是∠AOB的平分线，，，则等于（ ）
A．75° B．70° C．65° D．60°
例2．用一副三角尺可以画出许多不同的角度，以下角度不能用三角尺画出的是（ ）
A．75° B．60° C．40° D．30°
例3．如图所示，已知∠AOB＝90°，OM平分∠BOC，ON平分∠AOC，求∠MON的度数．
例4．已知O为直线AB上的一点，射线OA表示正北方向，∠COE＝90°，射线OF平分∠AOE．
（1）如图1，若∠BOE＝110°，求∠COF的度数．
（2）若将∠COE绕点O旋转至图2的位置，试判断∠COF和∠BOE之间的数量关系，并证明你的结果．
（3）若将∠COE绕点O旋转至图3的位置，求满足：4∠COF﹣3∠BOE＝20°时，∠EOF的度数．
例5．如图，∠AOC：∠COD：∠BOD＝2：3：4，且A，O，B三点在一条直线上，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，OG平分∠EOF，求∠GOF的度数。
过关检测
1．在所给的：①15°、②65°、③75°、④135°、⑤145°的角中，可以用一副三角板画出来的是（ ）
A．②④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①③④
2．如图，A，O，B三点在一条直线上，∠AOC＝3∠COD，OE平分∠BOD，∠COE＝80°，求∠COD的度数。
3．如图，已知直线AB上一点O，∠AOD＝42°，∠BOC＝34°，∠DOE＝90°，OF平分∠COD，求∠FOD与∠EOB的度数。
4．如图，OC是∠AOB内一条射线，且∠AOC＜∠BOC，OE是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，则：
（1）若∠AOB＝108°，∠AOC＝36°，则OC是∠DOE平分线．请说明理由；
（2）小明由第（1）题得出猜想：当∠AOB＝3∠AOC时，OC一定平分∠DOE．你觉得小明的猜想正确吗？若正确，请说明理由；若不正确，判断当∠AOB和∠AOC满足什么条件时OC一定平分∠DOE，并说明理由。
5．如图，OC平分∠AOB，∠AOD：∠BOD＝3：5，已知∠COD＝15°，求∠AOB的度数。
三．角的计算和推理
内容讲解
例1．已知OC平分∠AOB，若∠AOB＝70°，∠COD＝10°，则∠AOD的度数为 。
例2．已知：如图1，点O是直线AB上的一点。
（1）如图1，当∠AOD是直角时，3∠AOC＝∠BOD，求∠COD的度数；
（2）若∠COD保持在（1）中的大小不变，它绕着点O顺时针旋转（OD与OB重合即停止），如图2，OE、OF分别平分∠AOC、∠BOD，则在旋转过程中∠EOF的大小是否变化？若不变，求出∠EOF的大小；若改变，说明理由；
（选讲）（3）若∠COD从（1）中的位置开始，边OC、边OD分别绕着点O以每秒20°、每秒10°的速度顺时针旋转（当其中一边与OB重合时都停止旋转），OM、ON分别平分∠BOC、∠BOD。
求：①运动多少秒后，∠COD＝10°；
②运动多少秒后，∠COM＝∠BON。
过关检测
1．若∠AOB＝75°，∠AOC＝27°，则∠BOC＝ 。
2．已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，求∠MON的大小为 ；
（2）如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，求∠MON的大小；
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC从该位置起始在∠AOD内绕着点O以2°/秒的速度逆时针旋转t秒，当|∠AOM﹣∠DON|＝20°时，求此时t的值。
（选做）3.【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠BOC，则我们称射线OC是射线OA的伴随线．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠BOC，称射线OC是射线OA的伴随线；同时，由于∠BOD＝∠AOD，称射线OD是射线OB的伴随线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的伴随线，则∠AOM＝ °，若∠AOB的度数是α，射线ON是射线OB的伴随线，射线OC是∠AOB的平分线，则∠NOC的度数是 。（用含α的代数式表示）
（2）如图3，如∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒3°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒5°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止．
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是20°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线？
学习任务
1．如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（ ）
2．下列说法：①若C是AB的中点，则AC＝BC；②若AC＝BC，则点C是AB的中点；③若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠AOB；④若∠AOC＝∠AOB，则OC是∠AOB的平分线，其中正确的有（ ）
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
3．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，OM、ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线．若∠MON＝65°，则∠AOB的度数为（ ）
A．115° B．125° C．130° D．140°
4．α，β都是钝角，有四名同学分别计算（α+β），却得到了四个不同的结果，分别为26°，50°，72°，90°，老师判作业时发现其中有正确的结果，那么计算正确的结果是（ ）
A．26° B．50° C．72° D．90°
5．在同一平面内，已知∠AOB＝50°，∠COB＝30°，则∠AOC等于（ ）
A．80° B．20° C．80°或20° D．10°
6．如图，∠AOC：∠BOC＝1：4，OD平分∠AOB，且∠COD＝40.5°，求∠AOB度数。
7．如图，已知锐角∠AOB，射线OC不与OA，OB重合，OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC。
（1）当OC在∠AOB的内部
①若∠BOC＝50°，∠AOC＝20°，求∠MON的大小；
②若∠MON＝30°，求∠AOB的大小；
（2）当射线OC在∠AOB外部，且∠AOB＝80°，请直接写出∠MON的大小。
8．如图，OC是∠AOB内的一条射线，OD、OE分别平分∠AOB、∠AOC．
（1）若∠BOC＝80°，∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）若∠BOC＝α，∠AOC＝50°，求∠DOE的度数；
（3）若∠BOC＝α，∠AOC＝β，试猜想∠DOE与α、β的数量关系并说明理由．
9．如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC。
（1）求∠MON的度数；
（2）将OC绕着点O顺时针旋转，仍然分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由；
（3）若∠AOB＝α（0°＜α＜90°），∠BOC＝β，仍然分别作（2）中操作，能否求出∠MON的度数？若能，直接写出∠MON的度数。
10．一副三角尺（分别含45°，45°，90°和30°，60°，90°）按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角尺ABP绕量角器中心点P以每秒10°的速度顺时针旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角尺ABP的运动时间为t。
（1）当t＝5时，边PB经过的量角器刻度线对应的度数是 度；
（2）若在三角尺ABP开始旋转的同时，三角尺PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针旋转，当三角尺ABP停止旋转时，三角尺PCD也停止旋转。
①当t为何值时，边PB平分∠CPD；
②在旋转过程中，是否存在某一时刻使∠BPD＝2∠APC，若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由。
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