第10讲 一元一次方程的解法
目标层级图
课前检测（6mins）（总分：10分 测试时间：5分钟 得分：________）
1．用直尺和圆规作斜边上的高线，以下四个作图中，正确的作法有
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】（1）根据垂径定理作图的方法可得，是斜边上的高线；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可得，是斜边上的高线；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可得，是斜边上的高线；
（4）无法证明是斜边上的高线．进而可以判断．
【解答】解：（1）根据垂径定理作图的方法可知：
是斜边上的高线，故作法正确；
（2）根据直径所对圆周角是直角的方法可知：
是斜边上的高线，故作法正确；
（3）根据相交两圆的公共弦的性质可知：
是斜边上的高线，故作法正确；
（4）无法证明是斜边上的高线，故作法不正确；
综上所述：正确的作法有3种．
故选：．
【点评】本题考查了作图基本作图，解决本题的关键是掌握作高线的方法．
2．如图，射线平分，以为一边作，则
A． B． C．或 D．或
【分析】根据，射线平分，可得，分在内，在内，两种情况讨论求解即可．
【解答】解：，射线平分，
，
又
①当在内，
，
②当在内，
，
综上所述：或．
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，解决本题的关键是运用分类讨论思想．
3．如图，已知是的平分线，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．②③④ B．①②④ C．①②③ D．①③④
【分析】根据是的平分线，即可判断．
【解答】解：是的平分线，
，
即，
②③④正确．
故选：．
【点评】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是掌握角平分线的定义．
4．如图，点是直线上一点，平分，，则 ．
【分析】根据角平分线的对于，求出的度数，然后根据平角的定义即可得到结论．
【解答】解：平分，，
，
，
故答案为：．
【点评】此题考查角的运算，运用了平角和角平分线的定义．
5．如图，为直线上一点，是的平分线，在的内部，，，求的度数．
【分析】设度，度，把角用未知数表示出来，建立的方程，即可得到结论．
【解答】解：设，则，
则，
则，
即，
解得，
故．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的计算，根据题意列方程是解题的关键．
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课中讲解
一．授课内容1：认识一元一次方程
内容讲解
（一）等式的定义
等式的定义：含有等号的式子叫做等式．
注意：（1）含有“=” ；（2）不含“>”“<”．
（二）方程的定义
方程的定义：含有未知数的等式叫方程.
注意：方程必须是等式；等式中必须含有未知数．
一元一次方程的定义
1.一元一次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式为一元一次方程．
2.形式：（有时也写作）
3.判断一元一次方程的定义要分为两步：
①判断是否是整式方程；
②对整式方程化简，判断化简后是否只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次．
例1.在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有 ②③④ ， 方程有 ②④ ．（填入式子的序号）
例2.已知是关于的一元一次方程，则的值为
A． B．2 C． D．
【分析】根据一元一次方程的定义，可得答案．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
，，
解得：，
故选：．
例3．在方程中，一元一次方程有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：方程，，是一元一次方程，
故选：．
例4．在下列方程中：①，②，③，④，是一元一次方程的有 ③④ （只填序号）．
过关检测（5mins）
1．判断下列各式中，属于等式的是( C )
A．x+y≠7 B．x<2 C．x+2x=3x D．x2+y2
2．在①2+1＝3，②4+x＝1，③y2﹣2y＝3x，④x2﹣2x+1中，方程有 ②③ （填序号）
3．下列各式中，一元一次方程有 个
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
故选：．
4．在方程，，，中一元一次方程的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．
【解答】解：①含有两个未知数，故不是一元一次方程；
②是分式方程；
③符合一元一次方程的形式；
④是一元二次方程．只有正确．
故选：．
5．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【解答】解：是关于的一元一次方程，
且，
解得：．
故答案为：．
6．已知是关于的一元一次方程，则的值为 1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义，得到二次项系数为0，一次项系数不为0，得到关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：或，
，
解得：，
综上可知：，
即参数的值为1．
故答案为：1．
二．授课内容2：等式的基本性质
内容讲解
等式的基本性质：
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
即：若，则；
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．
即：若，则，
例1．要将等式进行一次变形，得到，下列做法正确的是
A．等式两边同时加 B．等式两边同时乘以2
C．等式两边同时除以 D．等式两边同时乘以
【解答】解：将等式进行一次变形，
等式两边同时乘以，
得到．
故选：．
例2．下列表述正确的是
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由得
【解答】解：．由，得，故选项错误；
．由，得，故选项错误；
．由，得，故选项错误；
．由等式两边平方得，故选项正确．
故选：．
例3．已知，则下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
【分析】根据等式的基本性质逐一判断可得．
【解答】解：、由知，此选项一定成立；
、由知，此选项一定成立；
、由知，此选项一定成立；
、由知当时无意义，此选项不一定成立；
故选：．
过关检测（10mins）
1．如果，那么根据等式的性质，下列变形正确的是
A． B． C． D．
【分析】利用等式的性质变形得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、由，得到，故不符合题意；
、由，得到，故不符合题意；
、由，得到，故符合题意；
、由，得到，故不符合题意，
故选：．
2．如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】根据第①个天平可知，一个球的重量两个圆柱的重量．根据等式的性质可得出答案．
【解答】解：因为第①个天平是平衡的，所以一个球的重量两个圆柱的重量；
②中2个球的重量个圆柱的重量，根据等式1，即可得到①的结果；
③中，一个球的重量两个圆柱的重量；
④中，一个球的重量个圆柱的重量；
综上所述，故选．
3．下列说法不正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【分析】根据等式的基本性质判断即可．
【解答】解：等式两边同时加或减去同一个代数式，等式仍然成立．故正确，不符合题意；
等式两边同时乘同一个数或者除以同一个非零数，等式仍然成立．选项有可能为0，故错误，符合题意；
和等式两边都乘，等式仍然成立．故，正确，不符合题意；
故选：．
三．授课内容3：一元一次方程的解法（步骤、注意点、易错点）
内容讲解
（一）方程的解：
1.方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
2.一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．
（二）解一元一次方程的一般步骤：
1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．（小心漏乘）
2．去括号：一般地，先去 小括号 ，再去 中括号，最后去 大括号 ．（小心符号）
3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边．（移项要变号）
4．合并同类项：把方程化成 的形式．
5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解．（不要把分子、分母搞颠倒）
注意：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
（2）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行．
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
（三）一元一次方程解的情况
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
当a≠0时，方程的解的情况是 有唯一解 ；
当a＝0，b＝0时，方程的解的情况是 有无数解 ；
当a＝0，b≠0时，方程的解的情况是 无解 ．
例1．下列方程中解为的方程是
A． B．
C． D．
【分析】根据方程的解的定义，逐项代入判断即可．
【解答】解：、把代入方程的左边，代入右边，左边右边，所以不是的解，故选项错误；
、把代入方程的左边，代入右边，左边右边，所以不是的解，故选项错误；
、把代入方程的左边，代入右边，左边右边，所以是的解，故选项正确；
、把代入方程的左边，代入右边，左边右边，所以不是的解，故选项错误．
故选：．
例2．已知是方程的解，则 1 ．
【分析】根据题意将代入方程即可求出的值．
【解答】解：将代入方程得：，
解得：．
故答案为：1．
例3．下列各题正确的是
A．由移项得
B．由去分母得
C．由去括号得
D．由去括号、移项、合并同类项得
【分析】根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．
【解答】解：、由移项得，故错误；
、由去分母得，故错误；
、由去括号得，故错误；
、正确．
故选：．
例4．已知方程是关于的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且为整数，则 18或32或50或128 ．
【分析】根据一元一次方程的定义得到，；然后求出符合题意的的值．
【解答】解：方程是关于的一元一次方程，
，，
，，
，
因为此方程的解为正整数，且为整数，
解得：或或，，
则或32或50或128．
故答案为：18或32或50或128．
过关检测（10mins）
1．方程，处被墨水盖住了，已知该方程的解是，那么处的数字是 ．
【分析】把代入已知方程，可以列出关于▲的方程，通过解该方程可以求得▲处的数字．
【解答】解：把代入方程，得▲，
解得：▲．
故答案为：．
【点评】此题考查的是一元一次方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．
2．关于的方程的解是，则的值是 ．
【分析】把代入方程计算即可求出的值．
【解答】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：．
3．下列在解方程的过程中，变形正确的是
A．将“”去分母，得“”
B．将“”去括号，得“”
C．将“”移项，得“”
D．将“”，系数化为1，得“”
【分析】各方程整理得到结果，即可作出判断．
【解答】解：、将“”去分母，得“”，错误；
、将“”去括号，得“”，错误；
、将“”移项，得“”，正确；
、将“”，系数化为1，得“”，错误，
故选：．
4．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设，则，解得，即．仿此方法，将化成分数是 ．
【分析】设①，根据等式性质得：②，再由②①得方程，解方程即可．
【解答】解：设①，
根据等式性质得：②，
由②①得：，
即，
解得．
故答案为：
四．授课内容3：复杂一元一次方程的解法
内容讲解
（1）含分母类
例1．解方程：
（1）； （2）．
【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1即可得；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得．
【解答】解：（1）移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：；
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
例2．解方程
（1） （2）
（1）去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
化系数为1，得：．
过关检测（10mins）
1．解方程
（1） （2）
【解答】解：（1）去分母得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）解方程
（2）去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
2．解方程：
（1） （2）
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，将系数化为1，即可求出解．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
【解答】解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：
（2）含小数类
例1．解下列方程：
（1） （2）
（1）方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
（2）方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
例2．解方程：．
解：方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
过关检测（10mins）
1．解方程：
（1） （2）
【解答】解：（1）
方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
（2）
化简得：，
；
2．解方程：
．
解：原方程变形为：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
（3）多重括号类
例1．解方程：；
【分析】（1）根据等式性质，方程两边依次乘以8，6，4，将方程中括号全部去掉，移项、合并可得；
（2）根据等式性质，方程两边依次乘以2、3，将方程中括号全部去掉，移项、系数化为1，可得方程的解．
【解答】解：（1）两边都乘以8，得：，即，
两边都乘以6，得：，
两边都乘以4，得：，
移项、合并，得：；
【点评】本题主要考查了解复杂一元一次方程的能力，依据等式基本性质将方程中括号去掉是本题的关键，属中档题．
例2．解方程：（1）．（2）；
【解答】解：（1）
去括号得：，
移项合并得：，
解得：．
（2）去括号得：，
整理得：，
解得：；
过关检测（10mins）
1．解方程：．
解：两边都乘以2，得：，即，
两边都乘以3，得：，即，
则，
移项，得：，
系数化为1，得：．
2．解方程：（1）． （2）
【解答】解：（1）
去括号得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
（2）解得：
（4）整体
例1.
（把4x+3看作整体去分母）
过关检测（10mins）
1．解方程：
解得：x= ．
学习任务
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分
1．已知是关于的一元一次方程．则此方程的解是
A． B． C． D．
故选：．
2．解方程时，下列变形正确的是
A． B．
C． D．
【解答】解：分式的分子、分母化为整数，得，
故选：．
3．下列方程是一元一次方程的是
A． B． C． D．
故选：．
4．下列（1）、（2）、（3）、（4），是一元一次方程的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且．
【解答】解：（1）、（3）是一元一次方程，
故选：．
5．已知是关于的一元一次方程，则的值为 1 ．
【分析】根据一元一次方程的定义，得到二次项系数为0，一次项系数不为0，得到关于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【解答】解：根据题意得：
，
解得：或，
，
解得：，
综上可知：，
即参数的值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义，正确掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
6．若是一元一次方程，则 ，代数式的值是 ．
【分析】根据一元一次方程的定义即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
原式，
故答案为：2，0
7．（1）计算：
（2）解方程：
（3）解方程：
【分析】（1）根据有理数的混合运算法则计算；
（2）、（3）根据解一元一次方程的一般步骤解出方程．
【解答】解：（1）
；
（2）去括号，得
移项，得
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（3）去分母，得
去括号，得
移项，得，
合并同类项，得
系数化为1，得．
【点评】本题考查的是解一元一次方程、有理数的混合运算，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
8．解方程：
（1）
（2）
【分析】（1）依次去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案，
（2）依次去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可得到答案．
【解答】解：（1）去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
（2）方程两边同时乘以12得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
9．解方程：
（1）
（2）
【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得；
（2）根据解一元一次方程的步骤依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可得．
【解答】解：（1），
，
，
；
（2），
，
，
，
．
【点评】本题主要考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．
10．解下列方程
（1）
（2）
【分析】（1）方程去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
家长签字：____________第10讲 一元一次方程的解法
目标层级图
课中讲解
一．认识一元一次方程
内容讲解
（一）等式的定义
等式的定义：含有等号的式子叫做等式．
注意：（1）含有“=” ；（2）不含“>”“<”．
（二）方程的定义
方程的定义：含有未知数的等式叫方程.
注意：方程必须是等式；等式中必须含有未知数．
一元一次方程的定义
1．一元一次方程的定义：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式为一元一次方程．
2．形式：（有时也写作）
3．判断一元一次方程的定义要分为两步：
①判断是否是整式方程；
②对整式方程化简，判断化简后是否只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次．
例1．在①2x﹣1；②2x+1＝3x；③|π﹣3|＝π﹣3；④t+1＝3中，等式有 ， 方程有 ．（填入式子的序号）
例2．已知是关于的一元一次方程，则的值为
A． B．2 C． D．
例3．在方程中，一元一次方程有 个．
A．2 B．3 C．4 D．5
例4．在下列方程中：①，②，③，④，是一元一次方程的有 （只填序号）．
过关检测
1．判断下列各式中，属于等式的是( )
A．x+y≠7 B．x<2 C．x+2x=3x D．x2+y2
2．在①2+1＝3，②4+x＝1，③y2﹣2y＝3x，④x2﹣2x+1中，方程有 （填序号）
3．下列各式中，一元一次方程有 个
①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在方程，，，中一元一次方程的个数
为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
6．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ．
二．等式的基本性质
内容讲解
等式的基本性质：
等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
即：若，则；
等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．
即：若，则，
例1．要将等式进行一次变形，得到，下列做法正确的是
A．等式两边同时加 B．等式两边同时乘以2
C．等式两边同时除以 D．等式两边同时乘以
例2．下列表述正确的是
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由得
例3．已知，则下列等式不一定成立的是
A． B． C． D．
过关检测
1．如果，那么根据等式的性质，下列变形正确的是
A． B． C． D．
2．如图，下列四个天平中，相同形状的物体的重量是相等的，其中第①个天平是平衡的，根据第①个天平，后三个天平仍然平衡的有
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．下列说法不正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
三．一元一次方程的解法（步骤、注意点、易错点）
内容讲解
（一）方程的解：
1．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
2．一元一次方程的解： ．
（二）解一元一次方程的一般步骤：
1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 ．（小心漏乘）
2．去括号：一般地，先去 ，再去 ，最后去 ．（小心符号）
3．移项：把含有 的项都移到方程的一边， 移到方程的另一边．（移项要变号）
4．合并同类项：把方程化成 的形式．
5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数（），得到方程的解．（不要把分子、分母搞颠倒）
注意：
（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．
（2）去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行．
（3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．
（三）一元一次方程解的情况
此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论：
当a≠0时，方程的解的情况是 ；
当a＝0，b＝0时，方程的解的情况是 ；
当a＝0，b≠0时，方程的解的情况是 ．
例1．下列方程中解为的方程是
A． B．
C． D．
例2．已知是方程的解，则 ．
例3．下列各题正确的是（ ）
A．由移项得
B．由去分母得
C．由去括号得
D．由去括号、移项、合并同类项得
例4．已知方程是关于的一元一次方程，若此方程的解为正整数，且为整数，则 ．
过关检测
1．方程，处被墨水盖住了，已知该方程的解是，那么处的数字是 ．
2．关于的方程的解是，则的值是 ．
3．下列在解方程的过程中，变形正确的是
A．将“”去分母，得“”
B．将“”去括号，得“”
C．将“”移项，得“”
D．将“”，系数化为1，得“”
4．我们知道，无限循环小数都可以转化为分数．例如：将转化为分数时，可设，则，解得，即．仿此方法，将化成分数是 ．
四．复杂一元一次方程的解法
内容讲解
（1）含分母类
例1．解方程：
（1）； （2）．
例2．解方程
（1） （2）
过关检测
1．解方程
（1） （2）
2．解方程：
（1） （2）
（2）含小数类
例1．解下列方程：
（1） （2）
例2．解方程：．
过关检测
1．解方程：
（1） （2）
2．解方程：
（3）多重括号类
例1．解方程：；
例2．解方程：（1）． （2）；
过关检测
1．解方程：．
2．解方程：（1）． （2）
（4）整体
例1.
过关检测
1．解方程：
学习任务
1．已知是关于的一元一次方程．则此方程的解是
A． B． C． D．
2．解方程时，下列变形正确的是
A． B．
C． D．
3．下列方程是一元一次方程的是
A． B． C． D．
4．下列（1）、（2）、（3）、（4），是一元一次方程的有 个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ．
6．若是一元一次方程，则 ，代数式的值是 ．
7．解方程：
（1） （2）解方程：
8．解方程：
（1） （2）
9．解方程：
（1） （2）
10．解下列方程
（1） （2）
2
