第1讲 有理数的复习
目标层级图
一.有理数的分类
内容讲解
有理数：整数与分数统称为有理数
整数：正整数、负整数和0统称为整数
分数：正分数、负分数统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数
有理数的分类：
1.按符号分类: 2.按定义分类：
注：非负数：0和正数、非正数：0和负数、非负整数：0和正整数、自然数：0和正整数.
例1．规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（ D ）
A．向北走了15米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向南走了5米
例2. 把下列各数填入相应的大括号内：
﹣13，0.1，﹣2.23，+27，0，﹣，﹣15%，﹣1，，
整数集{0.1，27，…}，
负数集{﹣13，﹣2.23，﹣，﹣15%，﹣1…}，
分数集{0.1，﹣2.23，﹣15%，﹣1，…}，
非负数集合{0.1，+27，0，…}．
过关检测
1．在数2，0，，，，，中，负分数有 ， ；非负数有 ；整数有 ．
【分析】按照有理数的分类填写：
有理数．
【解答】解：负分数有，；非负数有2，0，，；整数有2，0，，
故答案为：，；2，0，，；2，0，．
【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
2．把下列各数填到相对应的括号里面：； 49；﹣6； 3.1415；﹣10； 0.62； 18； 0； ；﹣2.3
整数 49，﹣10，18，0
负数 ﹣6，﹣10，﹣，﹣2.3
分数 ，3.1415，﹣6，0.62，﹣，﹣2.3
小数 ，3.1415，﹣6，0.62，﹣，﹣2.3
非正数集合 {﹣6，﹣10，0，﹣，﹣2.3，…}
非负数集合 {，49，3.1415，0.62，18，0，…} ．
二. 有理数的运算
内容讲解
（一）有理数的基础运算
1.有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取 相同 的符号，并把绝对值 相加 ．
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 0 ；绝对值不等时，取绝对值较 大 的数的符号，并且 把绝对值相减 ．
（3）一个数和 0 相加，仍得这个数．
2.有理数的减法法则：减去一个数，等于 加上 这个数的 相反数 ．
（1）如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：
（2）两个有理数减法的运算步骤：
①两变：减号变加号；减数变为相反数；②计算：运用加法法则求出结果．
3.去括号法则：
（1）括号前是“加号”：去掉“加号”及括号，括号内每个数前面的“加减号”不改变；
即：
（2）括号前是“减号”：去掉“减号”及括号，括号内每个数前面的“加减号”均改变．
即：
4.有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数与零相乘，都得零。
5.有理数的除法法则：
（1）两数相除，同号 得正 ，异号 得负 ，并把绝对值相除．
（2）0除以任何一个的数，都得 0 ．
注意：0不可作为 除数 ，否则无意义．
（3）除以一个不等于0的数，等于 乘以这个数的倒数 ．即：
总结：有理数除法的两种思路：①直接除 ②变除法为乘法
6.乘方运算的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是 正数 ；
（2）负数的奇次幂是 负数 ，负数的偶次幂是 正数 ；
（3）0的正数次幂都是0，任何不等于0的数的0次方都等于 1 ；
特别注意：1的任何次方都等于1；-1的偶次方等于1；-1的奇次方等于-1．
（1）有理数的加法运算
1． 同号两数相加
例1．计算同号两数相加：
（1） =________；
（2） =________；
【答案】（1）（2）
过关检测
1．填空题：
（1） ________；
（2）；
【答案】（1）；（2）；
2． 异号两数相加
例2．计算异号两数相加：
（1） =________；
（2） =________；
过关检测
2．计算：
（1） ________，
（2） ________，
（3） ________．
3． 多个有理数相加
例3．计算下列各式：
(1)
【解析】原式
(2)
【解析】
过关检测
3．(1)
【解析】原式
(2)
【解析】原式
(3)
【解析】
（2）有理数的减法运算
例1．（1）
【解析】原式=
．
（2）
【解析】原式=
；
过关检测
1．计算：（1）
【解析】原式
（2）
【解析】原式
（3）
【解析】，
，
，
，
．
（3）有理数的乘法运算
例1.（1） ________；（2） ________．
【答案】（1）（2）
过关检测
1.计算：
（1） ________
（2） ________
（3） ________
【解析】（1）两个乘数都是负数，同号得正：
（2）两个乘数一正一负，异号得负：
（3）乘数有 ，则结果为 ：
（4）有理数的除法运算
例1.计算：
（1） ________ ；
（2） ________ ；
（3） ________ .
【答案】（1）；（2）；（3）
过关检测
1.计算：
（1） ________；
（2） ________；
（3） ________；
（4） ________．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
（5）有理数的乘方运算
例1. 在 ，，， 这四个数中，最大的数与最小的数的和等于________
【答案】
【解析】先依次带学生算出这几个乘方的答案，注意带括号和不带括号数的乘方的区别，结果依次为 、、、，最大的数为 ，最小的数 ，结果是 ．
例2. 阅读以下内容，并解决所提出的问题．我们知道，，，所以：．
（1）根据上述信息，试计算填空：，，，
（2）已知，，试根据（1）问的结论计算：的值．
【分析】（1）利用题中的方法求出所求即可；
（2）原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：；；；
（2），，
原式．
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
过关检测
1.下列各数：，，，，，，， 中，负数有( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
2.计算：
(1)
【答案】
【解析】运算顺序：先乘方，再乘除，后加减.
先乘方，后乘法.
(2)
【答案】
【解析】
先乘方，后加法.
【强调】底数是否带括号，底数是谁必须判断准确。
（二）有理数的混合运算
（1）有理数的加减混合运算
例1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】原式
过关检测
1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】原式
（2）去括号的混合运算
例1.有理数加减混合运算：
(1)
【答案】
【解析】我们本可以先计算中括号内的结果，但读题发现若将中括号去掉，用结合律会更方便，所以我们采取先去括号后结合律的方法：
(2)
【答案】
【解析】同1
过关检测
1.有理数加减混合运算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】
（3）有理数乘除混合运算
例1.计算：
(1) ；
【答案】
【解析】原式.
(2) ．
【答案】
【解析】原式.
过关检测
1.计算：
(1)
【答案】
【解析】不能将后两个数直接结合。
原式
(2)
【答案】
【解析】带分数变成假分数
原式
(3)
【答案】
【解析】同2
原式
(4)
【答案】
【解析】绝对值要先计算
原式
【备注】乘除法混合运算顺序：
（1）若有绝对值先计算绝对值
（2）定号：奇负偶正；然后绝对值进行乘除运算
（3）若有带分数化成假分数
（4）将除法变成乘法
（4）有理数乘除及乘方运算
例1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】先提醒学生，拿到计算题不要着急开始算，先观察题目中所给数字，能不能运用运算律，进行简便计算．
(2)
【答案】
【解析】先把所有的除法变成乘法，再从左到右依次计算，能巧算的用运算律进行巧算
【易错点】学生看到 可化为 和 一定想直接相乘，互为倒数乘积为 ，化简计算，但是乘除法的运算属于同级运算，应该从左到右依次进行，要按照法则来计算．
(3)
【答案】
【解析】有乘方的要先算乘方，再进行乘除法的运算．
过关检测
1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
（5）有理数的混合运算
例1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
(2)
【答案】
(3)
【答案】
(4)
【答案】
过关检测
1.请完成下列计算：
(1)
【答案】
【解析】原式
(2)
【答案】
【解析】原式
(3)
【答案】
【解析】原式
(4)
【答案】
【解析】原式
（三）有理数的简便运算
（1）巧用运算律
通过交换律，结合律，分配律使计算变得更简便。
例1.请用简便算法完成下列计算：
（1）
【答案】
【解析】原式
（2）
【答案】
【解析】原式
（3）
【答案】
【解析】原式
过关检测
1.用简便方法计算。
（1）
【答案】
【解析】原式
（2）
【答案】
【解析】原式
（3）
【答案】
【解析】观察发现，提出一个 或 更好算，需要注意的是最后一项是除以 ，不能提出．
（2）裂项相消
裂项相消的常用公式：
1.
2.
3.=
例1.观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
将以上三个等式两边分别相加等于
请解答下列问题：
（1）猜想并写出：= ．
【答案】
【解析】根据规律可得：
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ．
② .
【答案】
【解析】①
②
（3）探究并计算（写出演算过程）
【答案】
【解析】
（4）探究计算 .
【答案】
【解析】
例2.计算：= .
【答案】
【解析】原式
过关检测
1.计算：
【答案】
2.= .
（3）等差数列求和
1.等差数列求和公式：
例1. 3+7+11+……+207= ________
【答案】
【解析】
过关检测
1.=________.
【答案】 ．
【解析】原式
（四）有理数的应用
例1．“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为 4.9 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 4.3 万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
【分析】（1）根据题意列得算式，计算即可得到结果；
（2）根据表格找出旅客人数最多的与最少的，相减计算即可得到结果；
（3）根据表格得出1日到7日每天的人数，相加后再乘以100即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意列得：4.2+（1.8﹣0.6+0.2﹣0.7）＝4.2+0.7＝4.9（万人）；
（2）根据表格得：七天中旅客最多的是1日为6万人，最少的是7日为1.7万人，
则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多6﹣1.7＝4.3（万人）；
（3）根据表格得：每天旅客人数分别为6万人、5.4万人、5.6万人、4.9万人、3.6万人、4.1万人、1.7万人，
则黄金周七天的旅游总收入约为（6+5.4+5.6+4.9+3.6+4.1+1.7）×100＝3130（万元）．
故答案为：（1）4.9；（2）4.3
过关检测
1．2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：
高度变化 记作
上升4.5km +4.5km
下降3.2km ﹣3.2km
上升1.1km +1.1km
下降1.4km ﹣1.4km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
【解答】解：（1）4.5﹣3.2+1.1﹣1.4＝1，所以升了1千米；
（2）4.5×2+3.2×2+1.1×2+1.4×2＝20.4升；
（3）∵3.8﹣2.9+1.6＝2.5，
∴第4个动作是下降，下降的距离＝2.5﹣1＝1.5千米．
所以下降了1.5千米．
三. 绝对值
内容讲解
（一）绝对值的意义、性质
1．绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值，记作：叫做的绝对值。正数的绝对值是________;负数的绝对值是_______；0的绝对值是________
2.绝对值的意义：
（1）几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值.（在数轴上表示数的点与原点的距离一定是非负数）
（2）代数定义：
3.绝对值的性质:非负性｜a｜和a的关系如下：
(1)｜｜＝ (2)() (3)()
例1.若，则a的取值范围是 。
【分析】根据一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，可得结论．
【解答】解：若，则的取值范围是)．
例2. 已知．且，则 或12或 ．
【分析】利用绝对值的代数意义得出，的值，进而解答即可．
【解答】解：．且，
，，或，，或，
或12或，
故答案为：或12或
例3．若，则 1 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：由题意得，，，
解得，，
所以．
故答案为：1．
例4．已知
（1）求、的值；
（2）求下列式子的值：
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）把，的值代入代数式即可得到结论．
【解答】解：（1），，，解得：，，
（2）当，时，
，
，
．
过关检测
1. 写出符合下列条件的数：①绝对值最小的有理数为 ；②大于且小于2的整数有 ；③绝对值大于2且小于5的负整数有 ；④在数轴上，与表示的点的距离为2的数有 ．
【解答】解：①绝对值最小的有理数：0；
②大于且小于2的所有整数为：，，0，1．
③绝对值大于2且小于5的所有负整数为：，．
④设在数轴上，与表示的点的距离为2的数为，
则有：，
解得：，．
在数轴上，与表示的点的距离为2的所有数为1，．
故答案为：①0；②，，0，1；③，，④1，．
2. 如果，则的值为 或6 ．
【分析】根据绝对值的性质求出，再加上即可求解．
【解答】解：，
，
或，
故答案为：或6．
3．已知，则的取值范围是 ．
【解答】
4.已知，，且，则的值为 或 ．
【分析】根据绝对值的性质求出、的值，然后代入进行计算即可求解．
【解答】解：，，
或，或，
又，
，
或，，
，
或．
故答案为：或．
4．若，求的相反数．
【分析】直接利用非负数的性质得出，，的值，进而得出答案．
【解答】解：，
，，，
解得：，，，
，
的相反数为：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，，的值是解题关键．
5.已知与互为相反数，设法求代数式的值．
【分析】由相反数性质知，据此得出、，将其代入原式，裂项求和即可得．
【解答】解：根据题意知，
则且，
解得、，
则原式
．
【点评】本题主要考查了数字的变化规律，解题的关键是掌握非负数的性质和．
（二）绝对值化简求值
解决口诀：一看二定三算
(1) 根据已知范围化简绝对值
例1.若，，则化简的结果为 ．
【分析】根据所给条件，可以判断出，的正负值，然后再去绝对值化简．
【解答】解：因为，，
所以，则，，
则．
故本题的答案是．
例2. 已知<0，>0，求的值。
【解答】. 值为-4
过关检测
1．如果，并且，那么代数式化简后得到的最后结果是（ ）
A．－10 B．10 C． D．
【解答】。D，
2.若||+=0，||=，||﹣=0，化简：||﹣||﹣||+|c|= ．
【解答】b
(2)根据数轴化简绝对值
例1. 有理数，，在数轴上的位置如图所示：
试化简： ．
【解答】解：由数轴可知，，，，
例2. 已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：
【分析】先根据数轴上各点的位置确定、、、的符号，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可．
【解答】解：、在原点的左侧，，
，，
，，
，
，
，
原式
．
故答案为：．
过关检测
1．如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，，化简 ．
【分析】由数轴可知：，，所以可知：，，．根据负数的绝对值是它的相反数可求值．
【解答】解：由数轴得，，，
因而，，．
．
故答案为：．
2. 已知有理数、、在数轴上位置如图所示．
（1）比较大小：用“”符号把、、、、、连接起来；
（2）化简：．
【分析】（1）根据有理数的大小比较即可；
（2）根据绝对值化简解答即可．
【解答】解：（1）由图可得：，
所以；
（2）因为，，，
所以
．
(3)分类讨论化简绝对值
例1. 已知有理数，，满足，则 ．
【分析】此题首先能够根据已知条件和绝对值的意义，得到，，的符号关系，再进一步求解．
【解答】解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1或．
又，则其中必有两个1和一个，即，，中两正一负．
则．
例2. 阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
【分析】（1）先由，，判断、的正负，再求值；
（2）对、、的正负先进行讨论，然后再求值；
（3）由，变形为的形式，根据分类讨论，计算出结果．
【解答】解：（1），，
，
；
（2）当、、同正时，；
当、、两正一负时，；
当、、一正两负时，；
当、、同负时，；
（3），
，，
又，
当，，时，原式
；
当，或为负时，原式
．
过关检测
1．设，，则的值是 ．
【分析】由，，可知、、中二负一正，将，，代入所求代数式，可判断，，中二正一负．
【解答】解：，，
、、中二负一正，
又，，，
，
而当时，，当时，，
，，的结果中有二个1，一个，
的值是1．
故答案为：1．
2. 若，求的值．
【分析】对、、中正数的个数进行讨论，即可求解；
【解答】解：分四种情况：
①若，，都为正数，则原式；
②若，，都为负数，则原式；
③若，，中有两个正数一个负数，则原式；
④若，，中有一个正数两个负数，则原式．
（三）零点分段法
｜｜＝
例1．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别叫做与的零点值．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上所述，原式．通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求方程：的整数解；
（4）是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）根据题中所给材料，求出零点值；
（2）将全体实数分成不重复且不遗漏的三种情况解答；
（3）由，得到，于是得到结果；
（4）有最小值，通过的取值范围即可得到结果．
【解答】解：（1）和的零点值，可令和，解得和，
，4分别为和的零点值．
（2）当时，；
当时，；
当时，；
（3），
，
整数解为：，，0，1，2，3，4．
（4）有最小值，
当时，，
当时，，
的最小值是6．
过关检测（10mins）
1．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求代数式的最小值．
【分析】（1）令，，解得的值即可；
（2）分为、、三种情况化简即可；
（3）根据（2）中的化简结果判断即可．
【解答】（1）令，，
解得：和，
故和的零点值分别为5和4；
（2）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
综上讨论，原式．
（3）当时，原式；
当时，原式；
当时，原式．
故代数式的最小值是1．
（四）最值
｜｜≥0，-｜｜≤0
①当中，n为奇数时，当时，取得最小值；
②当中，n为偶数时，当时，取得最小值；
例1．已知为整数
（1）能取最 小 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
（2）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
（3）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
（4）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
【分析】（1）由绝对值的性质即可得出答案；
（2）由绝对值的性质即可得出答案；
（3）由绝对值的性质即可得出答案；
（4）由绝对值的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）能取最小值是0．此时．故答案为：小，0，0；
（2）能取最小值是2．此时．故答案为：小，2，0；
（3）能取最大值是2．此时．故答案为：大，2，1；
（4）能取最小值是3．此时或或或1；
故答案为：小，3，或或0或1．
【点评】本题考查了绝对值的非负性质；熟练掌握绝对值的非负性质是解题的关键．
例2．根据绝对值的几何意义解答：
①当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ；
②当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ；
③当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ；
④当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ．
【分析】①根据线段上的点与线段的端点的距离最小，可得答案；
②③奇数个点，中间点的与线段的端点的距离最小，可得答案；
④偶数个点，中间两个点之间的点与线段的端点的距离最小，可得答案．
【解答】解：①当取得最小值时，的取值范围是，最小值是1；
②当取得最小值时，的取值范围是，最小值是2；
③当取得最小值时，的取值范围是，最小值是；
④当取得最小值时，的取值范围是，最小值是．
故答案为：，1；，2；，2450；，2500．
【点评】本题考查了绝对值，线段上的点与线段的端点的距离最小，分类讨论是解题关键．
例3．（1）当在何范围时，有最大值，并求出最大值．
（2）当在何范围时，有最大值，并求出它的最大值．
（3）代数式最大值是 （直接写出结果）
【分析】（1）根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示到1的距离与到2的距离的差，可知：时有最大值；
（2）根据绝对值的几何意义，可知在数轴上，表示到1的距离与到2的距离的差与到3的距离与到4的距离的差的和，可知：时有最大值；
（3）由上可知：时有最大值．
【解答】解：（1）表示到1的距离与到2的距离的差，
时有最大值；
（2）表示到1的距离与到2的距离的差与到3的距离与到4的距离的差的和，
时有最大值；
（3）由上可知：时有最大值．
故答案为50．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义及性质，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．本题还可以对的取值进行分类讨论求解．
过关检测
1．（1）我们知道当 0 时，有最小值是0，所以的最大值是 ；
（2）我们知道，则，请你运用“类比”的数学思想求出式子中的值．
【分析】（1）根据绝对值的定义即可得到结论；（2）由绝对值的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）当时，有最小值是0，的最大值是3，
故答案为：0 3；
（2），
，
或．
【点评】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键．
2．如图，数轴上有点，，三点
（1）用“”将，，连接起来．
（2） 1（填“”“ ”，“ ”
（3）化简
（4）用含，的式子表示下列的最小值：
①的最小值为 ；
②的最小值为 ；
③的最小值为 ．
【分析】（1）比较有理数的大小可以利用数轴，它们从左到右的顺序，即从小到大的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；
（2）先求出的范围，再比较大小即可求解；
（3）先计算绝对值，再合并同类项即可求解；
（4）根据绝对值的性质以及题意即可求出答案．
【解答】解：（1）根据数轴上的点得：；
（2）由题意得：；
（3）
；
（4）①当在和之间时，有最小值，
的最小值为：；
②当时，
为最小值；
③当时，
为最小值．
故答案为：；；；．
【点评】考查了数轴，通过比较，可以发现借助数轴用几何方法化简含有绝对值的式子，比较有关数的大小有直观、简捷，举重若轻的优势．
3．大家知道在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．
（2）使得等式成立的的取值是 ．
（3）当的取值是 时，式子的值最小，最小值是 ．
（4）当的取值是 时，式子的值最小，最小值是
由此探究：
（5）当的取值是 时，式子的值最小，最小值是 ．
（6）当的取值是 时，式子值最小，最小值是 ．
【分析】（1）根据两点之间距离的求法求解即可；
（2）在数轴上表示点到和到3的点为4在和3之间的点；
（3）使到点1和2距离值最小的点在1和2之间；
（4）有一点到三点的距离和最小的点，是三个数中间的数表示的点；
（5）当有奇数个点，到所有点的距离的最小值是位置处于中间的点；
（6）当有偶数个点，到所有点的距离的最小值是位置处于中间的两个点中的任何一个；由此求得答案即可．
【解答】解：（1）数轴上表示和的两点之间的距离表示为．
（2）使得等式成立的的取值是．
（3）当的取值是时，式子的值最小，最小值是1．
（4）当的取值是2时，式子的值最小，最小值是
由此探究：
（5）当的取值是50时，式子的值最小，最小值是．
（6）当的取值是50、51时，式子值最小，最小值是．
故答案为：；；，1；2，2；50，2450；50、51，2500．
【点评】本题考查了数轴，绝对值的性质，理解数轴上两点间的距离的表示和采用数形结合的思想是解题的关键．
四. 数轴动点
内容讲解
（一）数轴的概念
1.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.
【注】(1)原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.
(2)同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
2.有理数与数轴的关系：
(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
(2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
(3)正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
【注】数轴上的点不都代表有理数，如,…都可以在数轴上表示出来.
例1.如图所示，数轴的单位长度为1，且点B表示的数是2，那么点A表示的数是（D ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
解：点A在点B的左侧距离点B4个单位长度，
∴点A表示的数为：2﹣4＝﹣2，故选：D．
例2.已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ C ）
A．a+c＜0 B．b﹣c＞0 C．c＜﹣b＜﹣a D．﹣b＜a＜﹣c
解：从数轴可知：c＜b＜0＜a，|a|＞|c|＞|b|，
A、a+c＜0，故本选项不符合题意；B、b﹣c＞0，故本选项不符合题意；
C、c＜﹣a＜﹣b，故本选项符合题意；D、﹣b＜a＜﹣c，故本选项不符合题意．
故选：C．
例3.点A在数轴上距原点3个单位长度，若一个点从点A处左移4个单位长度，此时终点所表示的数是（ D ）
A．﹣1 B．±1 C．±7 D．﹣1或﹣7
解：根据题意得：3﹣4＝﹣1或﹣3﹣4＝﹣7，此时终点所表示的数是﹣1或﹣7，
故选：D．
过关检测
1. 已知a、b、c在数轴上表示如图所示，则下列正确的是（ B ）
A．ac＜0 B．c+b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣c＞0
解：由数轴上点的位置，得a＜﹣2＜c＜﹣1＜0＜b＜1，
A、∵a＜0，c＜0，∴ac＞0，故A不符合题意；
B、∵c＜﹣1，b＜1，∴c+b＜0，故B符合题意；
C、a＜﹣2，b＜1，a+b＜0，故C不符合题意；
D、∵a＜c，∴a﹣c＜0，故D不符合题意；故选：B．
2.在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 2或﹣4 ．
解：若点在﹣1的左面，则点为﹣4；若点在﹣1的右面，则点为2．故答案为：2或﹣4．
3．一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 ﹣3 ．
解：点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，表示为+5，
在此基础上再向左移动8个单位长度，表示为﹣8，
则到达的终点表示的数是（+5）+（﹣8）＝﹣3，故答案为：﹣3．
（二）数轴动点
（1）折叠、周期问题
例1．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 次移动到的点到原点的距离为2018．
解：第1次点A向左移动3个单位长度至点B，则B表示的数，1﹣3＝﹣2；
第2次从点B向右移动6个单位长度至点C，则C表示的数为﹣2+6＝4；
第3次从点C向左移动9个单位长度至点D，则D表示的数为4﹣9＝﹣5；
第4次从点D向右移动12个单位长度至点E，则点E表示的数为﹣5+12＝7；
第5次从点E向左移动15个单位长度至点F，则F表示的数为7﹣15＝﹣8；
…；
由以上数据可知，当移动次数为奇数时，点在数轴上所表示的数满足：﹣（3n+1），
当移动次数为偶数时，点在数轴上所表示的数满足：（3n+2），
当移动次数为奇数时，﹣（3n+1）＝﹣2018，n＝1345，
当移动次数为偶数时，（3n+2）＝2018，n＝（不合题意）．
故答案为：1345．
例2．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣2的点与表示5的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
解：5﹣（﹣2）＝7，
7÷2＝，
5﹣＝，
﹣＝，即点在中点右边个单位，
故与的重合点在中点左边个单位，表示数字，，
故答案为：．
过关检测
1．一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为 ．
解：第一次跳动到OA的中点A1处，即在离原点的处，
第二次从A1点跳动到A2处，即在离原点的（）2处，
…
则跳动n次后，即跳到了离原点的处，
则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为．
故答案为：．
2．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣2的点与表示5的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
3．电影《哈利 波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于﹣，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“ 1 站台”．
解：AB＝﹣（﹣）＝，
AP＝×＝，
P：﹣+＝＝1．
故P站台用类似电影的方法可称为“1站台”．
故答案为：1．
（2）数轴动点综合运用
①中点公式及推导
1．中点公式：.
2、中点公式推导：
已知C是AB的中点，则AC=。
，则BC=AC==
C所表示的数为： (A点往右平移AC个单位)
或: (B往左边平移BC个单位)
例1. 数轴上有、、三点，、两点所表示的数如图所示，若，则的中点所表示的数是 1.5或4.5 ．
【分析】先求出点在数轴上表示的数，在根据中点计算方法进行计算即可．
【解答】解：点表示的数为5，，
点表示的数为2或8，
点所表示的数为1，
的中点所表示的数为或，
故答案为：1.5或4.5．
例2.如图，已知，两点在数轴上，点在原点的左边，表示的数为，点在原点的右边，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动（点，点同时出发）．
（1）数轴上点对应的数是 30 ，点到点的距离是 ；
（2）经过几秒，原点是线段的中点？
（3）经过几秒，点，分别到点的距离相等？
【分析】（1）根据点表示的数为，，可得点对应的数，点对应的数减去点对应的数就是点到点的距离；
根据题意列方程解答即可；
（3）根据题意分，在点同侧异侧列方程解答即可．
【解答】解：（1）因为点表示的数为，，
所以，．
故对应的数是30，点到点的距离是40，
故答案为：30，40；
（2）设经过秒，原点是线段的中点，根据题意得
，解得．
答：经过2秒，原点是线段的中点；
（3）设经过秒，点、点分别到点的距离相等，根据题意得
或，解得或．
答：经过14秒或10秒，点、点分别到点的距离相等．
3.已知数轴上，两点对应数分别为和5，为数轴上一点，对应数为．
（1）若为线段的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求点对应的数．
（2）数轴上是否存在点，使点到点，点距离和为10？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）若点，点和点点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位分，则第几分钟时，，，三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
【分析】（1）先求出之间的距离，再根据点的位置，求出它对应的数．
（2）因分情况进行讨论点在点左侧，中间和点右侧三种情况进行讨论．
（3）可列出方程求出需要的时间．
【解答】解：（1）因数轴上、两点对应的数分别是和5，所以，
又因为线段的三等分点，
所以或，
所以点对应的数为或；
（2）若在点左侧，则，
解得：；
若在点、中间，
，
不存在这样的点；
若在点右侧，则，
解得：；
（3）设第分钟时，点的位置为：，点的位置为：，点的位置为：，
①当为的中点，则
，
解得：；
②当为中点时，则
，
解得：，
③当为中点时，则
，
解得：，
答：第分钟时，为的中点；第分钟时，为的中点；第3分钟时，为的中点．
过关检测
1. 如图，点，在数轴上表示的数分别为2与，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动．
（1）当为的中点时，求线段的长；
（2）当为的中点时，求点表示的数．
【分析】（1）求出中点所表示的数，进而得到点移动的距离，求出点移动的时间，再根据移动时间，计算出点移动的距离，从而得出；
（2）设时间，用代数式表示出点，所表示的数，根据中点公式列方程求出移动时间，进而求出点所表示的数．
【解答】解：（1）的中点所表示的数为，此时点表示的数为2，
点移动的时间为秒，
因此，点表示的数为，
，
（2）设点移动的时间为秒，则移动后点所表示的数为，移动后点所表示的数为，
当为的中点时，有，
解得，，
此时．点表示的数为．
2. 知图①，在数轴上有一条线段，点，表示的数分别是和．
（1）线段 9 ．
（2）若是线段的中点，则点在数轴上对应的数为 ．
（3）若为线段上一点，如图②，以点为折点，将此数轴向右对折；如图③，点落在点的右边点处，若，求点在数轴上对应的数是多少？
【分析】（1）根据两点间的距离公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式即可求解；
（3）设，根据，可得，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）线段．
（2）是线段的中点，
点在数轴上对应的数为．
（3）设，因为，则．
所以由题意，
所以，
所以，
即，
所以，
所以由题意，
又因为点表示的数为，
，
所以点在数轴上对应的数为．
故答案为：9；．
②综合运用
例1．已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边，距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
（3）已知，数轴上点从点向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点从点向左出发，速度为每秒2个单位长度，经秒后点、、为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求的值．
【分析】（1）根据题意找出与点对应的数即可；
（2）设经过秒点、相遇，根据题意列出方程，求出方程的解得到的值，即可确定出点对应的数；
（3）根据题意分5种情况列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：点所对应的数是；对应的数是20；
（2）设经过秒点、相遇，
根据题意得：，
解得：，
则点对应的数为；
（3）依题意有
，
解得；
或，
解得；
或，
解得；
或，
解得；
或，方程无解．
故的值为4或10或16或28．
例2.如图在数轴上所对应的数为．
（1）点在点右边距点4个单位长度，求点所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现点静止不动，点沿数轴向左运动时，经过多长时间，两点相距4个单位长度．
【分析】（1）根据左减右加可求点所对应的数；
（2）先根据时间路程速度，求出运动时间，再根据路程速度时间求解即可；
（3）分两种情况：运动后的点在点右边4个单位长度；运动后的点在点左边4个单位长度；列出方程求解即可．
【解答】解：（1）．
故点所对应的数为2；
（2）（秒，
（个单位长度）．
故，两点间距离是12个单位长度．
（3）运动后的点在点右边4个单位长度，
设经过秒长时间，两点相距4个单位长度，依题意有
，
解得；
运动后的点在点左边4个单位长度，
设经过秒长时间，两点相距4个单位长度，依题意有
，
解得．
故经过4秒或8秒，，两点相距4个单位长度．
【点评】本题考查了数轴，行程问题的数量关系的运用，解答时根据行程的问题的数量关系建立方程是关键．
例3．数轴上有两点，，点，分别从原点与点出发，沿方向同时向左运动．
（1）如图，若点为线段上一点，，，当点，分别运动到，的中点时，求的长；
（2）若点在线段上运动，点在线段上运动，速度分别为每秒，，在点，运动的过程中，满足，若点为直线上一点，且，求的值．
【分析】（1）设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，表示出的长，进而用代入即可求出答案；
（2）设运动的时间为秒，由得与的关系，再根据点在直线的不同的位置分4种情况进行解答，①若点在点的右侧时，②若点在线段上时，③若点在线段上时，④若点在点的左侧时，分别表示出、、，由得到、、之间的关系，再计算的值即可．
【解答】解：（1）设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，则，，
点是的中点，点是的中点，
点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
，
答：的长为9；
（2）设运动的时间为秒，点表示的数为
则，，即点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为，
，，
由得，，
即：，
①若点在点的右侧时，如图1所示：
由得，，即：；
；
②若点在线段上时，如图2所示：
由得，，即：；
；
③若点在线段上时，如图3所示：
由得，，即：；
此时，，
此种情况不符合题意舍去；
④若点在点的左侧时，如图4所示：
由得，，即：；
而，，
因此，不符合题意舍去，
综上所述，的值为1或．
例4．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”，若到、的距离之和为6，则叫做、的“幸福中心”
（1）如图1，点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 或2 ；
（2）如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，点就是、的幸福中心，则所表示的数可以是 （填一个即可）；
（3）如图3，、、为数轴上三点，点所表示的数为，点所表示的数为4，点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心？
【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）分两种情况列式：①在的右边；②在的左边讨论；可以得出结论．
【解答】解：（1）的幸福点所表示的数应该是或；
（2），
，之间的所有数都是，的幸福中心．
故所表示的数可以是或或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）设经过秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心，依题意有
①，
解得；
②，
解得．
故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心．
过关检测（5mins）
1．阅读理解，完成下列各题
定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到的距离是它到点的距离的2倍，则称点是，的2倍点．例如：如图1，点是，的2倍点，点不是，的2倍点，但点是，的2倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1中，点是 ， 的2倍点，点是 的2倍点；（选用、、、表示，不能添加其他字母）；
（2）如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是4，若点是，的2倍点，则点表示的数是 ；
（3）若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的2倍点？（用含的代数式表示）
【分析】（1）根据图形可直接解得；
（2） 分点在，之间，和点右侧，又点是，的2倍点或点 表示的数是2或10；
（3）点 恰好是和 两点的2倍点 可分为三种情况而定，解得有3个值．
【解答】解：（1），，
点 是，的2倍点
，，
点是，的2倍点．
故答案为：，，
（2）
当点在线段上
又点是，的2倍点
点 表示的数是2
当点在点右侧
点表示的数是10．
故答案为：2或10；
，，
又点 恰好是和两点的2倍点
点是，的2倍点或点是，的2倍点
或
即：或或，
解得或或
所以，当或或时，点恰好是和两点的2倍点．
2.如图，在数轴上，点表示，点表示11，点表示18．动点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为秒．
（1）当为何值时，、两点相遇？相遇点所对应的数是多少？
（2）在点出发后到达点之前，求为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等；
（3）在点向右运动的过程中，是的中点，在点到达点之前，求的值．
【分析】（1）根据题意，由、两点的路程和为28列出方程求解即可；
（2）由题意得，的值大于0且小于7．分点在点的左边，点在点的右边两种情况讨论即可求解；
（3）根据中点的定义得到，可得，，再代入计算即可求解．
【解答】解：（1）根据题意得，
解得，
，
在的右侧，且，
当时，、两点相遇，相遇点所对应的数是；
（2）由题意得，的值大于0且小于7．
若点在点的左边，则，解得．
若点在点的右边，则，解得．
综上所述，的值为3或时，点到点的距离与点到点的距离相等；
（3）是的中点，
，
，，
．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，数轴．解题时，一定要“数形结合”，这样使抽象的问题变得直观化，降低了题的难度．
3.如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？
②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
【分析】（1）由已知得，则，因为点在原点左边，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是；
（2）①点运动秒时追上点，由于点要多运动10个单位才能追上点，则，然后解方程得到；
②分两种情况：当点运动秒时，不超过，则；超过，则；由此求得答案解即可．
【解答】解：（1）数轴上点表示的数为6，
，
则，
点在原点左边，
数轴上点所表示的数为；
点运动秒的长度为，
动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
所表示的数为：；
（2）①点运动秒时追上点，
根据题意得，
解得，
答：当点运动5秒时，点与点相遇；
②设当点运动秒时，点与点间的距离为8个单位长度，
当不超过，则，解得；
当超过，则，解得；
答：当点运动1或9秒时，点与点间的距离为8个单位长度．
4．已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．
（1），两点间的距离为 100 ．
（2）现在有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以3个单位秒的速度向左运动．运动时间为秒，用含的代数式表示：
①点在数轴上表示的数为 ．
②若两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是多少．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以4个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【分析】（1）由两点间的距离公式解答；
（2）①根据点的运动速度解答；
②设秒后、相遇即可得出关于的一元一次方程，求出的值，可求出、相遇时点移动的距离，进而可得出点对应的数；
（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距20个单位长度和相遇后相距20个单位长度．
【解答】解：（1）由题意，得：
故答案是：100；
（2）①点表示的数是：．
故答案是：；
②设秒后、相遇，
，解得；
此时点走过的路程，
此时点表示的数为．
答：点对应的数是30；
（3）设经过秒两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，
相遇前：
解得．
相遇后：
解得
综上所述，经过40或60秒，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
【点评】此题考查一元一次方程式为实际运用，利用行程问题的基本数量关系，以及数轴直观解决问题即可
学习任务
1．把下列各数填入相应集合的括号内：
+8.5，，0.3，0，﹣3.4，12，﹣9，，﹣1.2，﹣2．
（1）正数集合：{ +8.5，0.3，12， …}：
（2）整数集合：{ 0，12，﹣9，﹣2 …}：
（3）负分数集合：{ ，﹣3.4，﹣1.2 …}．
2．计算：
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）先算乘方，再算乘法，最后算加法；
（2）先算乘方，再算除法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有绝对值，要先做绝对值内的运算；
（3）先算乘方，再算乘除，最后算加法；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
3.1+4+7+……+244= 10045
4. （1）如果，则 ；
（2）如果，则 ．
【分析】（1）根据绝对值的性质，直接求解即可；
（2）因为，则有或，故可求．
【解答】解：（1），
；
（2），
，
，
或，
．
故或．
5.已知，，互为相反数，求的值．
【分析】根据非负数的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，，
，，
原式
6. 若，，则的值为 或1
【分析】根据，把转化为求的值，根据得结果．
【解答】解：已知，．
所以，，，，，两正一负，
所以，
当或者时，原式；
当时，原式；
故原式或1．
故答案为：或1．
7. 如果是有理数．那么的最小值是 2019 ．
【分析】根据绝对值具有非负性的性质可得，进而可得答案．
【解答】解：，
，
的最小值是2019．
故答案为：2019．
8.已知数，，的大小关系如图所示：
则下列各式：
①；②；③；④；⑤．其中正确的有 ②③⑤ （请填写编号）．
【分析】有数轴判断的符号和它们绝对值的大小，再判断所给出的式子的符号，写出正确的答案．
【解答】解：由数轴知，，
①，故原式错误；
②，故正确；
③，故正确；
④，故原式错误；
⑤，故正确；
其中正确的有②③⑤．
9.一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，到达的终点表示的数是 ﹣2 ．
10.一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为 ．
11.如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
12．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 ﹣3 ﹣5 +14 ﹣8 +21 ﹣6
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出 296 斤；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 29 斤；
（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？
（4）若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？
【分析】（1）根据前三天销售量相加计算即可；
（2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可；
（3）先将各数相加求得正负即可求解；
（4）将总数量乘以价格差解答即可．
【解答】解：（1）4﹣3﹣5+300＝296（斤）．
答：根据记录的数据可知前三天共卖出296斤．
（2）21+8＝29（斤）．
答：根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售29斤．
（3）+4﹣3﹣5+14﹣8+21﹣6＝17＞0，
故本周实际销量达到了计划数量．
（4）（17+100×7）×（8﹣3）
＝717×5
＝3585（元）．
答：小明本周一共收入3585元．
故答案为：296；29．
13. 如图，已知，两点在数轴上，点在原点的左边，表示的数为，点在原点的右边，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动（点，点同时出发）．
（1）数轴上点对应的数是 30 ，点到点的距离是 ；
（2）经过几秒，原点是线段的中点？
（3）经过几秒，点，分别到点的距离相等？
【分析】（1）根据点表示的数为，，可得点对应的数，点对应的数减去点对应的数就是点到点的距离；
根据题意列方程解答即可；
（3）根据题意分，在点同侧异侧列方程解答即可．
【解答】解：（1）因为点表示的数为，，
所以，．
故对应的数是30，点到点的距离是40，
故答案为：30，40；
（2）设经过秒，原点是线段的中点，根据题意得
，解得．
答：经过2秒，原点是线段的中点；
（3）设经过秒，点、点分别到点的距离相等，根据题意得
或，解得或．
答：经过14秒或10秒，点、点分别到点的距离相等．
14．已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70
（1）请写出的中点对应的数
（2）现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数
（3）若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2单位秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点对应的数．
【分析】（1）求与70和的一半即是对应的数；
（2）先求出的长，再设秒后、相遇即可得出关于的一元一次方程，求出的值，可求出、相遇时点移动的距离，进而可得出点对应的数；
（3）分为2只电子蚂蚁相遇前相距35个单位长度和相遇后相距35个单位长度，相遇前：（秒，相遇后：（秒．
【解答】解：（1）点对应的数是；
（2）、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70，
，
设秒后、相遇，
，解得；
此时点走过的路程，
此时点表示的数为．
答：点对应的数是38；
（3）相遇前：（秒，
相遇后：（秒．
则经过9秒或23秒，2只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，9秒对应的数为17，23秒对应的数为59
15．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点，，表示的数分别是1，4，5，此时点是点，的“倍分点”．
（1）当点表示数，点表示数2时，下列各数，0，1，4是点、的“倍分点”的是 1，4 ；
（2）当点表示数，点表示数30时，为数轴上一个动点，
①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数；
②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点表示的数．
【分析】根基题干提供新定义求解．
（1）根据所提供四个数字求解．
（2）分类讨论点位置求解．
【解答】解：（1）1，4．
（2）①设点对应的数为．
当点在之间时，，
时，，
即．
当时，，
即．
当点在点右侧，．
即，解得．
当点在点左侧，．
即，解得．
综上，，0，50，．
②由①得点是倍分点时，表示的数为20，0，50，．
当为倍分点，点在之间时，，，解得．
在点左侧时，，，解得．
，，解得．
点在点右侧，，，解得．
当点为倍分点时，同理可求，，，．
综上，点表示的数可为：20，0，50，，，，，110，，，．
【点评】本题考查数轴相关知识点，解题关键是根据题意分类讨论符合题干的情况．第1讲 有理数的复习
目标层级图
课中讲解
一. 有理数的分类
内容讲解
有理数： 与 统称为有理数
整数： 、 和 统称为整数
分数： 、 统称为分数，有限小数和无限循环小数也是分数
有理数的分类：
1. 按符号分类: 2. 按定义分类：
注：非负数： 、非正数： 、非负整数： 、自然数: .
例1．规定向北为正，某人走了+5米，又继续走了﹣10米，那么，他实际上（ ）
A．向北走了15米 B．向南走了15米
C．向北走了5米 D．向南走了5米
例2. 把下列各数填入相应的大括号内：
﹣13，0.1，﹣2.23，+27，0，﹣，﹣15%，﹣1，，
整数集{ }，
负数集{ }，
分数集{ }，
非负数集合{ }．
过关检测
1．在数2，0，，，，，中，负分数有 ；非负数有 ；整数有 ．
2．把下列各数填到相对应的括号里面：； 49；﹣6； 3.1415；﹣10； 0.62； 18； 0； ；﹣2.3
整数 .
负数 .
分数 .
小数 .
非正数集合 .
非负数集合 ．
二. 有理数的运算
内容讲解
（一）有理数的基础运算
1. 有理数的加法法则：
（1）同号两数相加，取 的符号，并把绝对值 ．
（2）异号两数相加，绝对值相等时和为 ；绝对值不等时，取绝对值较 的数的符号，并且 ．
（3）一个数和 相加，仍得这个数．
2. 有理数的减法法则：减去一个数，等于 这个数的 ．
（1）如果用字母 a、b表示有理数，那么有理数减法法则可表示为：
（2）两个有理数减法的运算步骤：
①两变：减号变加号；减数变为相反数；②计算：运用加法法则求出结果．
3. 去括号法则：
（1）括号前是“加号”：去掉“加号”及括号，括号内每个数前面的“加减号”不改变；
即：
（2）括号前是“减号”：去掉“减号”及括号，括号内每个数前面的“加减号”均改变．
即：
4. 有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数与零相乘，都得零。
5. 有理数的除法法则：
（1）两数相除，同号 ，异号 ，并把绝对值相除．
（2）0除以任何一个的数，都得 ．
注意：0不可作为 ，否则无意义．
（3）除以一个不等于0的数，等于 ．即：
总结：有理数除法的两种思路：①直接除 ②变除法为乘法
6. 乘方运算的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是 ；
（2）负数的奇次幂是 ，负数的偶次幂是 ；
（3）0的正数次幂都是0，任何不等于0的数的0次方都等于 ；
特别注意：1的任何次方都等于1；-1的偶次方等于1；-1的奇次方等于-1．
（1）有理数的加法运算
1． 同号两数相加
例1．计算同号两数相加：
（1） =________；（2） =________；
过关检测
1．填空题：
（1） ________；（2）；
2． 异号两数相加
例2．计算异号两数相加：
（1） =________； （2） =________；
过关检测
2．计算：
（1） _____.（2） ______.（3） _______．
3． 多个有理数相加
例3．计算下列各式：
(1)
过关检测
3．(1) (2)
(3)
（2）有理数的减法运算
例1．（1） （2）
过关检测
1．计算：（1） （2）
（3）
（3）有理数的乘法运算
例1.（1） ________；（2） ________．
过关检测
1. 计算：
（1） _____；（2） ______；（3） _______.
（4）有理数的除法运算
例1. 计算：
（1） ____ ；（2） ____ ；（3） ______ .
过关检测
1. 计算：
（1） ________；（2） ________；
（3） ________；（4） ________．
（5）有理数的乘方运算
例1. 在 ，，， 这四个数中，最大的数与最小的数的和等于________
例2. 阅读以下内容，并解决所提出的问题．我们知道，，，所以：．
（1）根据上述信息，试计算填空：，，，
（2）已知，，试根据（1）问的结论计算：的值．
过关检测
1. 下列各数：，，，，，，， 中，负数有( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
2. 计算：
(1) (2)
（二）有理数的混合运算
（1）有理数的加减混合运算
例1. 请完成下列计算：
(1) (2)
过关检测
1. 请完成下列计算：
(1) (2)
（2）去括号的混合运算
例1. 有理数加减混合运算：
(1) (2)
过关检测
1. 有理数加减混合运算：
(1) (2)
（3）有理数乘除混合运算
例1. 计算：
(1) (2)
过关检测
1. 计算：
(1) (2)
(3) (4)
【备注】乘除法混合运算顺序：
（1）若有绝对值先计算绝对值
（2）定号：奇负偶正；然后绝对值进行乘除运算
（3）若有带分数化成假分数
（4）将除法变成乘法
（4）有理数乘除及乘方运算
例1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3)
过关检测
1. 请完成下列计算：
(1) (2) (3)
（5）有理数的混合运算
例1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3) (4)
过关检测
1. 请完成下列计算：
(1) (2)
(3) (4)
（三）有理数的简便运算
（1）巧用运算律
通过交换律，结合律，分配律使计算变得更简便。
例1. 请用简便算法完成下列计算：
（1） （2）
（3）
过关检测
1. 用简便方法计算。
（1） （2）
（3）
（2）裂项相消
裂项相消的常用公式：
1.
2.
3.=
例1. 观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
将以上三个等式两边分别相加等于
请解答下列问题：
（1）猜想并写出：= ．
（2）直接写出下列各式的计算结果：
① ．
② .
（3）探究并计算（写出演算过程）
（4）探究计算 .
例2. 计算：= .
过关检测
1. 计算：
2. = .
（3）等差数列求和
等差数列求和公式：
例1. 3+7+11+……+207= ________
过关检测
1. =________.
（四）有理数的应用
例1．“十 一”黄金周期间，武汉东湖风景区在7天假期中每天旅游人数变化如下表（正号表示人数比前一天多，负号表示比前天少）
日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日
人数变化 单位：万人 +1.8 ﹣0.6 +0.2 ﹣0.7 ﹣1.3 +0.5 ﹣2.4
（1）若9月30日的旅客人数为4.2万人，则10月4日的旅客人数为 万人；
（2）七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 万人
（3）如果每万人带来的经济收入约为100万元，则黄金周七天的旅游总收入约为多少万元？
过关检测
1．2006年3月17日俄罗斯特技飞行队在名胜风景旅游区﹣﹣张家界天门洞特技表演，其中一架飞机起飞后的高度变化如表：
高度变化 记作
上升4.5km +4.5km
下降3.2km ﹣3.2km
上升1.1km +1.1km
下降1.4km ﹣1.4km
（1）此时这架飞机比起飞点高了多少千米？
（2）如果飞机每上升或下降1千米需消耗2升燃油，那么这架飞机在这4个动作表演过程中，一共消耗了多少升燃油？
（3）如果飞机做特技表演时，有4个规定动作，起飞后高度变化如下：上升3.8千米，下降2.9千米，再上升1.6千米．若要使飞机最终比起飞点高出1千米，问第4个动作是上升还是下降，上升或下降多少千米？
三. 绝对值
内容讲解
（一）绝对值的意义、性质
1．绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应点与原点的________，叫做这个数的绝对值，记作：叫做的绝对值。正数的绝对值是________;负数的绝对值是_______；0的绝对值是________
2.绝对值的意义：
（1）几何定义：数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值.（在数轴上表示数的点与原点的距离一定是非负数）
（2）代数定义：
3.绝对值的性质:非负性｜a｜和a的关系如下：
(1)｜｜＝ (2)() (3)()
例1. 若，则a的取值范围是 .
例2. 已知．且，则 ．
例3．若，则 ．
例4．已知
（1）求、的值；
（2）求下列式子的值：
过关检测
1. 写出符合下列条件的数：①绝对值最小的有理数为 ；②大于且小于2的整数有 ；③绝对值大于2且小于5的负整数有 ；④在数轴上，与表示的点的距离为2的数有 ．
2. 如果，则的值为 ．
3．已知，则的取值范围是 ．
4. 已知，，且，则的值为 ．
5．若，求的相反数．
6.已知与互为相反数，设法求代数式
的值．
（二）绝对值化简求值
解决口诀：一看二定三算
(1) 根据已知范围化简绝对值
例1. 若，，则化简的结果为 ．
例2. 已知<0，>0，求的值。
过关检测
1．如果，并且，那么代数式化简后得到的最后结果是（ ）
A．－10 B．10 C． D．
2. 若||+=0，||=，||﹣=0，化简：||﹣||﹣||+|c|= ．
(2)根据数轴化简绝对值
例1. 有理数，，在数轴上的位置如图所示：
试化简： ．
例2. 已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：
过关检测
1. 如图，数轴上的三点、、分别表示有理数，，，化简 ．
2. 已知有理数、、在数轴上位置如图所示．
（1）比较大小：用“”符号把、、、、、连接起来；
（2）化简：．
(3)分类讨论化简绝对值
例1. 已知有理数，，满足，则 ．
例2. 阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
过关检测
1．设，，则的值是 ．
2. 若，求的值．
（三）零点分段法
｜｜＝
例1．阅读下列材料并解决有关问题：我们知道，现在我们可以用这个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别叫做与的零点值．在有理数范围内，零点值和可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上所述，原式．通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求方程：的整数解；
（4）是否有最小值？如果有，请直接写出最小值；如果没有，请说明理由．
过关检测
1．阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，（称，2分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）；（2）；（3）．从而化简代数式可分以下3种情况：
（1）当时，原式；
（2）当时，原式；
（3）当时，原式．
综上讨论，原式
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）分别求出和的零点值；
（2）化简代数式；
（3）求代数式的最小值．
（四）最值
｜｜≥0，-｜｜≤0
①当中，n为奇数时，当时，取得最小值；
②当中，n为偶数时，当时，取得最小值；
例1．已知为整数
（1）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
（2）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
（3）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
（4）能取最 （填“大”或“小” 值是 ．此时 ．
例2．根据绝对值的几何意义解答：
①当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ；
②当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ；
③当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ；
④当取得最小值时，的取值范围是 ，最小值是 ．
例3．（1）当在何范围时，有最大值，并求出最大值．
（2）当在何范围时，有最大值，并求出它的最大值．
（3）代数式最大值是 （直接写出结果）
过关检测
1．（1）我们知道当 时，有最小值是0，所以的最大值是 ；
（2）我们知道，则，请你运用“类比”的数学思想求出式子中的值．
2．如图，数轴上有点，，三点
（1）用“”将，，连接起来．
（2） 1（填“”“ ”，“ ”
（3）化简
（4）用含，的式子表示下列的最小值：
①的最小值为 ；
②的最小值为 ；
③的最小值为 ．
3．大家知道在数轴上、两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ．
（2）使得等式成立的的取值是 ．
（3）当的取值是 时，式子的值最小，最小值是 ．
（4）当的取值是 时，式子的值最小，最小值是
由此探究：
（5）当的取值是 时，式子的值最小，最小值是 ．
（6）当的取值是 时，式子值最小，最小值是 ．
四. 数轴动点
内容讲解
（一）数轴的概念
1. 数轴：规定了 、 和 的直线.
【注】(1)原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.
(2)同一数轴上的单位长度一旦确定，则不能再改变.
2. 有理数与数轴的关系：
(1)一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.
(2)在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.
(3)正数都 0，负数都 0，正数 负数.
【注】数轴上的点不都代表有理数，如,…都可以在数轴上表示出来.
例1. 如图所示，数轴的单位长度为1，且点B表示的数是2，那么点A表示的数是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
例2. 已知a、b、c三个数在数轴上对应的点如图所示，下列结论错误的是（ ）
A．a+c＜0 B．b﹣c＞0 C．c＜﹣b＜﹣a D．﹣b＜a＜﹣c
例3. 点A在数轴上距原点3个单位长度，若一个点从点A处左移4个单位长度，此时终点所表示的数是（ ）
A．﹣1 B．±1 C．±7 D．﹣1或﹣7
过关检测
1. 已知a、b、c在数轴上表示如图所示，则下列正确的是（ ）
A．ac＜0 B．c+b＜0 C．a+b＞0 D．a﹣c＞0
2. 在数轴上，与表示﹣1的点距离为3的点所表示的数是 ．
3．一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动8个单位长度，到达的终点表示的数是 ．
（二）数轴动点
（1）折叠、周期问题
例1．如图，A点的初始位置位于数轴上表示1的点，现对A点做如下移动：第1次向左移动3个单位长度至B点，第2次从B点向右移动6个单位长度至C点，第3次从C点向左移动9个单位长度至D点，第4次从D点向右移动12个单位长度至E点，…，依此类推．这样第 次移动到的点到原点的距离为2018．
例2．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣2的点与表示5的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
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1．一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为 ．
2．如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣2的点与表示5的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
3．电影《哈利 波特》中，小哈利波特穿越墙进入“站台”的镜头（如示意图的Q站台），构思奇妙，能给观众留下深刻的印象．若A、B站台分别位于，处，AP＝2PB，则P站台用类似电影的方法可称为“ 站台”．
（2）数轴动点综合运用
①中点公式及推导
1．中点公式：.
2. 中点公式推导：
已知C是AB的中点，则AC=。
，则BC=AC==
C所表示的数为： (A点往右平移AC个单位)
或: (B往左边平移BC个单位)
例1. 数轴上有、、三点，、两点所表示的数如图所示，若，则的中点所表示的数是 ．
例2. 如图，已知，两点在数轴上，点在原点的左边，表示的数为，点在原点的右边，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动（点，点同时出发）．
（1）数轴上点对应的数是 ，点到点的距离是 ；
（2）经过几秒，原点是线段的中点？
（3）经过几秒，点，分别到点的距离相等？
例3. 已知数轴上，两点对应数分别为和5，为数轴上一点，对应数为．
（1）若为线段的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求点对应的数．
（2）数轴上是否存在点，使点到点，点距离和为10？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
（3）若点，点和点点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位分，则第几分钟时，，，三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？
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1. 如图，点，在数轴上表示的数分别为2与，动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动，同时，动点从点出发，沿以每秒4个单位长度的速度向终点运动，当一个点到达时，另一点也随之停止运动．
（1）当为的中点时，求线段的长；
（2）当为的中点时，求点表示的数．
2. 知图①，在数轴上有一条线段，点，表示的数分别是和．
（1）线段 ．
（2）若是线段的中点，则点在数轴上对应的数为 ．
（3）若为线段上一点，如图②，以点为折点，将此数轴向右对折；如图③，点落在点的右边点处，若，求点在数轴上对应的数是多少？
②综合运用
例1．已知数轴上的点和点之间的距离为28个单位长度，点在原点左边，距离原点8个单位长度，点在原点的右边．
（1）请直接写出，两点所对应的数．
（2）数轴上点以每秒1个单位长度的速度出发向左运动，同时点以每秒3个单位长度的速度出发向左运动，在点处追上了点，求点对应的数．
（3）已知，数轴上点从点向左出发，速度为每秒1个单位长度，同时点从点向左出发，速度为每秒2个单位长度，经秒后点、、为原点）其中的一点恰好到另外两点的距离相等，求的值．
例2. 如图在数轴上所对应的数为．
（1）点在点右边距点4个单位长度，求点所对应的数；
（2）在（1）的条件下，点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒2个单位长度沿数轴向右运动，当点运动到所在的点处时，求，两点间距离．
（3）在（2）的条件下，现点静止不动，点沿数轴向左运动时，经过多长时间，两点相距4个单位长度．
例3．数轴上有两点，，点，分别从原点与点出发，沿方向同时向左运动．
（1）如图，若点为线段上一点，，，当点，分别运动到，的中点时，求的长；
（2）若点在线段上运动，点在线段上运动，速度分别为每秒，，在点，运动的过程中，满足，若点为直线上一点，且，求的值．
例4．“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若到的距离刚好是3，则点叫做的“幸福点”，若到、的距离之和为6，则叫做、的“幸福中心”
（1）如图1，点表示的数为，则的幸福点所表示的数应该是 ；
（2）如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为4，点所表示的数为，点就是、的幸福中心，则所表示的数可以是 （填一个即可）；
（3）如图3，、、为数轴上三点，点所表示的数为，点所表示的数为4，点所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是和的幸福中心？
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1．阅读理解，完成下列各题
定义：已知、、为数轴上任意三点，若点到的距离是它到点的距离的2倍，则称点是，的2倍点．例如：如图1，点是，的2倍点，点不是，的2倍点，但点是，的2倍点，根据这个定义解决下面问题：
（1）在图1中，点是 的2倍点，点是 的2倍点；（选用、、、表示，不能添加其他字母）；
（2）如图2，、为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是4，若点是，的2倍点，则点表示的数是 ；
（3）若、为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，设运动时间为秒，求当为何值时，点恰好是和两点的2倍点？（用含的代数式表示）
2. 如图，在数轴上，点表示，点表示11，点表示18．动点从点出发，沿数轴正方向以每秒2个单位的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位的速度匀速运动．设运动时间为秒．
（1）当为何值时，、两点相遇？相遇点所对应的数是多少？
（2）在点出发后到达点之前，求为何值时，点到点的距离与点到点的距离相等；
（3）在点向右运动的过程中，是的中点，在点到达点之前，求的值．
3. 如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）数轴上点表示的数是 ，点表示的数是 （用含的代数式表示）；
（2）动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．求：
①当点运动多少秒时，点与点相遇？
②当点运动多少秒时，点与点间的距离为8个单位长度？
4．已知，如图，分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为90．
（1），两点间的距离为 ．
（2）现在有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以3个单位秒的速度向左运动．运动时间为秒，用含的代数式表示：
①点在数轴上表示的数为 ．
②若两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，则点对应的数是多少．
（3）若当电子蚂蚁从点出发时，以4个单位秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以6个单位秒的速度向左运动，经过多长的时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度．
学习任务
1．把下列各数填入相应集合的括号内：
+8.5，，0.3，0，﹣3.4，12，﹣9，，﹣1.2，﹣2．
（1）正数集合： .
（2）整数集合： .
（3）负分数集合： .
2．计算：
（1） （2）
（3）
3. 1+4+7+……+244=
4. （1）如果，则 ； （2）如果，则 ．
5. 已知，，互为相反数，求的值．
6. 若，，则的值为 .
7. 如果是有理数．那么的最小值是 ．
8. 已知数，，的大小关系如图所示：
则下列各式：
①；②；③；④；⑤．其中正确的有 （请填写编号）．
9. 一个点从数轴的原点开始，向右移动5个单位长度，再向左移动7个单位长度，到达的终点表示的数是 ．
10. 一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点A1处，第二次从A1点跳动到OA1的中点A2处，第三次从A2点跳动到OA2的中点A3处，如此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为 ．
11. 如图，已知纸面上有一数轴，折叠纸面，使表示﹣的点与表示的点重合，则表示的点与 表示的点重合．
12．随着手机的普及，微信（一种聊天软件）的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售，这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）；
星期 一 二 三 四 五 六 日
与计划量的差值 +4 ﹣3 ﹣5 +14 ﹣8 +21 ﹣6
（1）根据记录的数据可知前三天共卖出 斤；
（2）根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售 斤；
（3）本周实际销售总量达到了计划数量没有？
（4）若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，那么小明本周一共收入多少元？
13. 如图，已知，两点在数轴上，点在原点的左边，表示的数为，点在原点的右边，且．点以每秒3个单位长度的速度从点出发向右运动．点以每秒2个单位长度的速度从点出发向右运动（点，点同时出发）．
（1）数轴上点对应的数是 ，点到点的距离是 ；
（2）经过几秒，原点是线段的中点？
（3）经过几秒，点，分别到点的距离相等？
14．已知，如图、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为70
（1）请写出的中点对应的数
（2）现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数
（3）若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2单位秒的速度向左运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度，并写出此时点对应的数．
15．对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其他两个点的距离恰好满足3倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“倍分点”．例如数轴上点，，表示的数分别是1，4，5，此时点是点，的“倍分点”．
（1）当点表示数，点表示数2时，下列各数，0，1，4是点、的“倍分点”的是 ；
（2）当点表示数，点表示数30时，为数轴上一个动点，
①若点是点，的“倍分点”，求此时点表示的数；
②若点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“倍分点”，直接写出此时点表示的数．
