第6节 线段的计算（二）--动点问题
目标层级
课中讲解
一．计数规律类题型
例1．如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有 15 个交点，n条直线相交最多有 个交点．
【分析】根据图形相邻两个图形的交点个数的差为从2开始的连续整数，然后列式计算即可得解；
根据图形列出交点个数的算式，然后计算即可得解．
【解答】解：三条直线交点最多为1+2＝3个，
四条直线交点最多为3+3＝6个，
五条直线交点最多为6+4＝10个，
六条直线交点最多为10+5＝15个；
n条直线交点最多为1+2+3+…+（n﹣1）＝．
故答案为：15；．
例2.6条直线两两相交，最多有 15 个交点，最多将平面分割为 22 个部分．
【解答】解：当一条直线时，没有交点，把平面分成两个部分；
当两条直线时，两两相交，最多有1个交点，最多把平面分成4个部分；
当三条直线时，两两相交，相当于在（2）的基础上再增加一条直线，所以最多有1+2＝3个交点，最多把平面分成4+3＝7部分；
当四条直线时，两两相交，相当于在（3）的基础上再增加一条直线，所以最多有1+2+3＝6个交点，最多把平面分成7+4＝11部分；
当五条直线时，两两相交，相当于在（4）的基础上再增加一条直线，所以最多有1+2+3+4＝10个交点，最多把平面分成11+5＝16部分；
当六条直线时，两两相交，相当于在（5）的基础上再增加一条直线，所以最多有1+2+3+4+5＝15个交点，最多把平面分成16+6＝22部分；
故答案为：15；22．
（m条直线两两相交，分割出个平面）
例3.如图所示，A、B、C、D在同一条直线上，则图中共有线段的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据线段的定义，写出所有线段后再计算条数．
【解答】解：如图，线段有：线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD、线段CD共6条．
故选：D．
例4.甲站到乙站另有8个中间停靠站，共需准备（ ）种动车票．
A．90 B．56 C．45 D．28
【分析】由于同一直线上的n个点之间有条线段，代入即可求得线段的总条数，进而可得车票的种数．
【解答】解：∵甲站到乙站另有8个中间停靠站，
∴线段上共有10个点，
∴线段的总条数是：＝45，
∵车票是往返的，故动车票的数量为45×2＝90，
故选：A．
例5.如图，图中共有 6 条线段，它们分别是 线段OC、CA、CB、OA、AB、OB ．
【分析】根据线段的定义结合图形可得．
【解答】解：图中共有6条防线，它们分别是段OC、CA、CB、OA、AB、OB，
故答案为：6条，线段OC、CA、CB、OA、AB、OB．
【点评】本题考查了直线、射线、线段，结合图形可以很明白的得出结论，注意数形结合的思想．
例6.如图，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E分别是OB上两点，则图中共有 11 条线段，共有 5 条射线．
【分析】根据线段、射线的概念进行统计．
【解答】解：线段：OC、OD、OE、CD、CE、DE，AC，EB，OA，OB，DB，共11条；
射线：OA、CA、OB、DB、EB共5条
故答案为：6；5．
过关检测
1、如图，在直线l上依次有A，B，C三点，则图中线段共有（ ）
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条
【分析】根据线段的概念求解．
【解答】解：图中线段共有AB、AC、BC三条，
故选：B．
2、如图，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E分别是OB上两点，则图中共有 条线段，共有 条射线．
【答案】6，5
3、由东营南到德州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州，那么要为这次列车制作的火车票有 10 种．
【分析】设东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州五站分别用A、B、C、D、E表示，然后根据线段的定义求出线段的条数．
【解答】解：如图，设东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州五站分别用A、B、C、D、E表示，
则共有线段：AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE共10条，
故答案为：10．
4、平面内两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么五条直线最多有 10 个交点．
【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；由此得出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有个交点，代入即可求解．
【解答】解：由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则有个交点，
所以5条直线两两相交，交点的个数为＝10．
故答案为：10．
5、平面内8条直线任两条都相交，交点个数最多有a个，最少有b个，则a+b＝ 29 ．
【分析】求出平面内的8条直线任两条都相交，交点数最多的个数，再求得最少的个数；则即可求得a+b的值．
【解答】解：根据题意可得：8条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时交点为：n（n﹣1）＝×8×7＝28．
a+b＝28+1＝29．
故答案为：29．
二．单动点和双动点问题
内容讲解
（一）单动点问题：
例1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
解：由题意知，当点经过任意一条线段中点的时候会发出警报
图中共有线段、、、、、
发出警报的可能最多有6个．
故选：．
例2.已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，、之间的距离记作，且．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
解：（1），
，，
，即线段的长度为14；
（2）如图1，当在点左侧时．，即，解得；
如图2，当点在点的右侧时，，即，解得；
如图3，当点在点与之间时，，不存在这样的的值，
综上所述，的值是或13；
过关检测
1.如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点之间的三等分点，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
解：C
2．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，,四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，,四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
解：．
3.已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，、之间的距离记作，且．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
解：（1）14
（2）15或-5
（二）双动点与多动点问题：
例1. 如图，是线段上一点，，，点从出发，以的速度沿向右运动，终点为；点从点出发，以的速度沿向左运动，终点为．已知、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点运动时间为．
（1） 12 ；
（2）当 时，、重合；
（3）是否存在某一时刻，使得、、这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1），
（2）．
故当时，、重合；
（3）存在，
①是线段的中点，得
，解得；
②为线段的中点，得
，解得；
③为线段的中点，得
，解得；
综上所述：或或．
故答案为：12；．
过关检测
1. （1）如图1，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点，分别是，的中点，求线段的长度；
（2）已知点在线段的延长线上，点，分别是，的中点，设，请根据题意画出图形并求的长度；
（3）在（1）的条件下，动点、分别从、同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
【解答】解：（1）线段厘米，厘米，点，分别是，的中点，
厘米，厘米，
厘米；
（2）如图，点，分别是，的中点，
，，
；
（3）①当时，是线段的中点，得
，解得；
②当时，为线段的中点，，解得；
③当时，为线段的中点，，解得；
④当时，为线段的中点，，解得（舍，
综上所述：或或．
例2. 如图1，已知线段，点为线段上的一点，点、分别是和的中点．
（1）若，则的长为 12 ；
（2）若，求的长；
（3）动点，分别从，两点同时出发，相向而行，点以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，点以点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为秒，问当为多少秒时，之间的距离为6？
【解答】解：（1），，
，
点、分别是和的中点，
，，
，即的长是12；
故答案为：12；
（2），，
，
点、分别是和的中点，
，，
，即的长是12；
（3），，
或，
或，
解得：或，
当秒或秒时，，之间的距离为6．
过关检测
1. 已知数轴上有、两个点．
（1）如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则 ， ， （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若、、三点对应的数分别为，，20．
①当、两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点、、的速度分别为8个单位长度秒、4个单位长度秒、2个单位长度秒，点为线段的中点，点为线段的中点，在、相遇前，在运动多少秒时恰好满足：．
②现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点到达点时，点也停止移动（若设点的运动时间为．当两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间值．
【解答】解：（1），为线段上的一点，且，
，，
是的中点，
，
故答案为：，，；
（2）①若、、三点对应的数分别为，，20，
，
设秒时，在右边时，恰好满足，
，，
当时，，
解得：，
秒时恰好满足；
②点表示的数为，点表示的数为，
Ⅰ、当点移动18秒时，点没动，此时，两点间的距离恰为18个单位；
Ⅱ、点在点的右侧，，
解答：，
Ⅲ、当点在点的左侧，，
解答：；
综上所述：当为18秒、36秒和54秒时，、两点相距18个单位长度．
2. 【新知理解】
如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 是 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是” ．
（2）若，点是线段的巧点，则 ；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
【解答】解：（1）如图，当是线段的中点，则，
线段的中点是这条线段的“巧点”．
故答案为：是；
（2），点是线段的巧点，
或或；
故答案为：4或6或8；
（3）秒后，，
①由题意可知不可能为、两点的巧点，此情况排除．
②当为、的巧点时，
Ⅰ．，即，解得；
Ⅱ．，即，解得；
Ⅲ．，即，解得；
③当为、的巧点时，
Ⅰ．，即，解得（舍去）；
Ⅱ．，即，解得；
Ⅲ．，即，解得．
例3. 如图，点在线段上，，，点以的速度从点沿线段向点运动；同时点以从点出发，在线段上做来回往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动，设点运动的时间为．
（1）当时，求的长；
（2）当为何值时，点为线段的中点？
（3）若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）当时，，，
，
；
（2）由题意，得：，，
点运动到点时，点、都停止运动，
，
①当时，点从向运动，，
点为线段的中点，
，即，
解得：；
②当时，点从向运动，，，
点为线段的中点，
，即，
解得：（舍去）；
③当时，点从向运动，，
点为线段的中点，
，即，
解得：；
综上所述，当或时，点为线段的中点
（3）如图2，①当时，点从向运动，，
点是线段的中点，
，
，此时，的长度保持不变；
②当时，点从向运动，，
点是线段的中点，
，
，此时，的长度变化；
③当时，点从向运动，，
点是线段的中点，
，
，此时，的长度保持不变；
综上所述，当或时，使的长度保持不变；的长度分别为或．
过关检测
1. 已知线段为常数），点为直线上一点（不与点、重合），点、分别在线段、上，且满足，．
（1）如图，当点恰好在线段中点，且时，则 6 ；
（2）若点在点左侧，同时点在线段上（不与端点重合），请判断的值是否与有关？并说明理由．
（3）若点是直线上一点（不与点、重合），同时点在线段上（不与端点重合），求长度（用含的代数式表示）．
【解答】解：（1）设，，则，．
，
，
，
．
（2）的值与无关．理由如下：
如图1，
，
与的取值无关，
的值与无关；
（3）设，，则，
①当点在点右边时，
满足，在线段上，如图2
此时，不是线段上的点，不符合题意，舍去；
②当点在点的左边，如图3，
，
，，
；
③当点在线段上时，如图4，
，
，
，
；
长度为．
综上，长度为．
2. 如图，是定长线段上一点，、两点同时从、出发分别以和的速度沿直线向左运动在线段上，在线段上）．已知、运动到任一时刻时，总有．
（1）线段与线段的数量关系是： ；
（2）若是线段上一点，且，求证：；
（3）若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点在线段上继续运动，、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
【解答】解：（1）根据、的运动速度知：，
，
，即，
点在线段上的处，即．
故答案为：；
（2）证明：如图1，由题意得，
，
又，
，
．
由（1）得，，
．
（3）的值不变．
理由：如图2，当点停止运动时，有，
，
，
，
设，则，
，
解得．
是中点，是中点，
，
．
例4. 已知线段为常数），点为直线上一点，点、分别在线段、上，且满足，．
（1）如图，若，当点恰好在线段中点时，则 4 ；
（2）若点为直线上任一点，则长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点在点左侧，同时点在线段上（不与端点重合），请判断与1的大小关系，并说明理由．
【解答】解：（1），，
，，
点恰好在线段中点，
，
为常数），
；
故答案为：4；2
（2）①点在线段上：
，，
，，
为常数），
；
②点在线段的延长线上：
，，
，，
为常数），
；
③点在线段的延长线上：
，，
，，
为常数），
；
（3）
，
，
．
过关检测
1. 已知点在线段上，，点，在直线上，点在点的左侧．
（1）若，，线段在线段上移动．
①如图1，当为中点时，求的长；
②点（异于，，点）在线段上，，，求的长；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．
【解答】解：（1），，
，，
①为中点，
，
，
，
；
②如图1，
当点在点的右侧时，
，，
，
；
当点在点的左侧时，
，，
，
，
；
综上所述，的长为或；
（2）当点在线段之间时，如图3，
设，
则，
，
，
，
设，
，，
，
，
，
，
，，
；
当点在点的左侧，如图4，
设，则，
设，
，
，
，，
，
，
，，
，
当点在线段上及点在点右侧时，无解，
综上所述的值为或．
2. 如图，直线上有，两点，，点是线段上的一点，．
（1） 8 ， ；
（2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长；
（3）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．求当为何值时，；
【解答】解：（1），，
，解得，
．
故答案为：8，4；
（2）设的长为，
分两种情况：①点在线段上时，
，
，
；
②点在线段上时，
，
，
（不符合题意，舍）．
故的长是；
（3）后，点所到的点表示的数为；此时，点所到的点表示的数为．
当在的左侧）时，
，，，
则，
解得；
当在的右侧）时，
，，，
则，
解得．
综上所述，或8时，．
例5. 如图，已知直线有两条可以左右移动的线段：，，且，满足．
（1）求线段，的长；
（2）线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求线段的长；
（3）将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在那一个时间段内．
【解答】解：（1），
，，
，，
，；
（2）若6秒后，’在点’左边时，
由’ ’ ’ ’，
即，
解得，
若6秒后，’在点’右边时，
则’ ’ ’ ’，
即，
解得，
（3）运动秒后，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，为定值．
过关检测
1. 已知线段，，线段在直线上运动在、左侧，在左侧）．
（1）、分别是线段、的中点，若，求；
（2）当运动到点与点重合时，是线段延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
【解答】解：（1）如图1，、分别为线段、的中点，
，
，
；
如图2，、分别为线段、的中点，
，
，
；
（2）①正确．
证明：．
，
①是定值2．
2. 如图，已知直线有两条可以左右移动的线段：，，且，满足．
（1）求线段，的长；
（2）线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求线段的长；
（3）将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在那一个时间段内．
【解答】解：（1），
，，
，，
，；
（2）若6秒后，’在点’左边时，
由’ ’ ’ ’，
即，
解得，
若6秒后，’在点’右边时，
则’ ’ ’ ’，
即，
解得，
（3）运动秒后，，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，为定值．
学习任务
1．如图，点在线段上，点、分别是、的中点．
（1）若，，求线段的长；
（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
【解答】解：（1），点是的中点，
，
，点是的中点，
，
，
线段的长度为，
（2），
当为线段上一点，且，分别是，的中点，则存在，
（3）当点在线段的延长线时，如图：
则，
是的中点，
，
点是的中点，
，
．
2. 如图，线段，动点从出发，以2个单位秒的速度沿射线运动，为的中点．
（1）出发多少秒后，；
（2）当在线段上运动时，试说明为定值．
（3）当在延长线上运动，为的中点，下列两个结论：①长度不变； ②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
【解答】解：（1）如图1，设出发秒后，
当点在点左边时，，，，
由题意得，，
解得：；
当点在点右边时，，，，
由题意得：，方程无解；
综上可得：出发6秒后．
（2），，，
；
（3）选①；
如图2，，，，，
①（定值）；
②（变化）．
3. 如图所示，在数轴上原点表示数0，点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且、满足
（1）点表示的数为 ，点表示的数为
（2）若点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．、两点同时运动，并且在点处相遇，试求点所表示的数．
（3）在、运动的过程中，当、两点的距离为2个单位长度时，求点表示的数．
【解答】解：（1）在数轴上原点表示数0，点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，、满足，
，，
解得：，，
则点表示的数为：，点表示的数为：4；
（2）设秒时两点相遇，
则，
解得：，
即3秒时，两点相遇，
此时点所表示的数为：；
（3）当两点相遇前的距离为2个单位长度时，
，
解得：，
此时此时点所表示的数为：；
当两点相遇后的距离为2个单位长度时，
，
解得：，
此时此时点所表示的数为：；
综上所述：点表示的数为：1.5或0.5．
4. （1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上任意一点，且，，点、分别是、的中点，请直接写出线段的长度；（用、的代数式表示）
（3）在（2）中，把点是线段上任意一点改为：点是直线上任意一点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
【解答】解：（1），点是的中点
，点是的中点
线段的长度为．
（2）．
（3）线段的长度会变化．
当点在线段上时，由（2）知
当点在线段的延长线时，如图：
则
点是的中点
点是的中点
当点在线段的延长线时，如图：
则
同理可求：
综上所述，线段的长度变化，，，．
5. 如图，在射线上有三点、、，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发．
（1）当时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点的运动速度．
（2）若点运动速度为，经过多长时间、两点相距．
（3）当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值．
【解答】解：（1）①当在线段上时，由及，可求得，，故点运动时间为60秒．
若时，，，点的运动速度为；
若时，，，点的运动速度为．
②点在线段延长线上时，由及，可求得，，故点运动时间为140秒．
若时，，，点的运动速度为；
若时，，，点的运动速度为．
（2）设运动时间为秒，则，或40，
点运动到点时停止运动，
点最多运动30秒，当点运动30秒到点时，之后点继续运动40秒，则
，此时秒，
故经过5秒或70秒两点相距；
（3）如图1，设，点在线段上，，，
，
．第5讲 线段的计算（二）--动点问题
目标层级
课中讲解
一．计数规律类题型
例1．如图，两条直线相交只有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有6个交点，五条直线相交最多有10个交点，六条直线相交最多有 个交点，n条直线相交最多有 个交点．
例2.6条直线两两相交，最多有 个交点，最多将平面分割为 个部分．
例3.如图所示，A、B、C、D在同一条直线上，则图中共有线段的条数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
例4.甲站到乙站另有8个中间停靠站，共需准备（ ）种动车票．
A．90 B．56 C．45 D．28
例5.如图，图中共有 条线段，它们分别是 ．
例6.如图，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E分别是OB上两点，则图中共有 11 条线段，共有 条射线．
1、如图，在直线l上依次有A，B，C三点，则图中线段共有（ ）
A．4 条 B．3 条 C．2 条 D．1 条
2、如图，OA，OB是两条射线，C是OA上一点，D，E分别是OB上两点，则图中共有 条线段，共有 条射线．
3、由东营南到德州的某一次列车，运行途中停靠的车站依次是：东营南﹣﹣滨州﹣﹣阳信﹣﹣商河﹣﹣德州，那么要为这次列车制作的火车票有 种．
4、平面内两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，四条直线最多有6个交点，…，那么五条直线最多有 个交点．
5、平面内8条直线任两条都相交，交点个数最多有a个，最少有b个，则a+b＝ ．
二．单动点和双动点问题
内容讲解
（一）单动点问题：
例1．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
例2. 已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，、之间的距离记作，且．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
过关检测
1. 如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，四点中的至少两个点之间的三等分点，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．8个 B．10个 C．12个 D．14个
解：C
2．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有，，，,四点．点沿直线从右向左移动，当出现点与，，，,四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线上会发出警报的点最多有
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
3. 已知点为数轴原点，点在数轴上对应的数为，点对应的数为，、之间的距离记作，且．
（1）求线段的长；
（2）设点在数轴上对应的数为，当时，求的值；
（二）双动点与多动点问题：
例1. 如图，是线段上一点，，，点从出发，以的速度沿向右运动，终点为；点从点出发，以的速度沿向左运动，终点为．已知、同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运功．设点运动时间为．
（1） ；
（2）当 时，、重合；
（3）是否存在某一时刻，使得、、这三个点中，有一个点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由．
过关检测
1. （1）如图1，已知点在线段上，线段厘米，厘米，点，分别是，的中点，求线段的长度；
（2）已知点在线段的延长线上，点，分别是，的中点，设，请根据题意画出图形并求的长度；
（3）在（1）的条件下，动点、分别从、同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？
例2. 如图1，已知线段，点为线段上的一点，点、分别是和的中点．
（1）若，则的长为 ；
（2）若，求的长；
（3）动点，分别从，两点同时出发，相向而行，点以每秒3个单位长度沿线段向右匀速运动，点以点速度的两倍，沿线段向左匀速运动，设运动时间为秒，问当为多少秒时，之间的距离为6？
过关检测
1. 已知数轴上有、两个点．
（1）如图1，若，是的中点，为线段上的一点，且，则 ， ， （用含的代数式表示）；
（2）如图2，若、、三点对应的数分别为，，20．
①当、两点同时向左运动，同时点向右运动，已知点、、的速度分别为8个单位长度秒、4个单位长度秒、2个单位长度秒，点为线段的中点，点为线段的中点，在、相遇前，在运动多少秒时恰好满足：．
②现有动点、都从点出发，点以每秒1个单位长度的速度向终点移动；当点移动到点时，点才从点出发，并以每秒3个单位长度的速度向左移动，且当点到达点时，点也停止移动（若设点的运动时间为．当两点间的距离恰为18个单位时，求满足条件的时间值．
2. 【新知理解】
如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点 这条线段的“巧点”；（填“是”或“不是” ．
（2）若，点是线段的巧点，则 ；
【解决问题】
（3）如图②，已知．动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动：点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，、、三点中其中一点恰好是另外两点为端点的线段的巧点？说明理由
例3. 如图，点在线段上，，，点以的速度从点沿线段向点运动；同时点以从点出发，在线段上做来回往返运动（即沿运动），当点运动到点时，点、都停止运动，设点运动的时间为．
（1）当时，求的长；
（2）当为何值时，点为线段的中点？
（3）若点是线段的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使的长度保持不变？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由．
过关检测
1. 已知线段为常数），点为直线上一点（不与点、重合），点、分别在线段、上，且满足，．
（1）如图，当点恰好在线段中点，且时，则 ；
（2）若点在点左侧，同时点在线段上（不与端点重合），请判断的值是否与有关？并说明理由．
（3）若点是直线上一点（不与点、重合），同时点在线段上（不与端点重合），求长度（用含的代数式表示）．
2. 如图，是定长线段上一点，、两点同时从、出发分别以和的速度沿直线向左运动在线段上，在线段上）．已知、运动到任一时刻时，总有．
（1）线段与线段的数量关系是： ；
（2）若是线段上一点，且，求证：；
（3）若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点在线段上继续运动，、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出的值．
例4. 已知线段为常数），点为直线上一点，点、分别在线段、上，且满足，．
（1）如图，若，当点恰好在线段中点时，则 ；
（2）若点为直线上任一点，则长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若不是，请说明理由；
（3）若点在点左侧，同时点在线段上（不与端点重合），请判断与1的大小关系，并说明理由．
过关检测
1. 已知点在线段上，，点，在直线上，点在点的左侧．
（1）若，，线段在线段上移动．
①如图1，当为中点时，求的长；
②点（异于，，点）在线段上，，，求的长；
（2）若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值．
2. 如图，直线上有，两点，，点是线段上的一点，．
（1） ， ；
（2）若点是线段上一点（点不与点重合），且满足，求的长；
（3）若动点，分别从，同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，，两点停止运动．求当为何值时，；
例5. 如图，已知直线有两条可以左右移动的线段：，，且，满足．
（1）求线段，的长；
（2）线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求线段的长；
（3）将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在那一个时间段内．
过关检测
1. 已知线段，，线段在直线上运动在、左侧，在左侧）．
（1）、分别是线段、的中点，若，求；
（2）当运动到点与点重合时，是线段延长线上一点，下列两个结论：①是定值；②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．
2. 如图，已知直线有两条可以左右移动的线段：，，且，满足．
（1）求线段，的长；
（2）线段的中点为，线段中点为，线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动，若运动6秒后，，求线段的长；
（3）将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，、分别为、中点，，在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出在那一个时间段内．
学习任务
1．如图，点在线段上，点、分别是、的中点．
（1）若，，求线段的长；
（2）若为线段上任一点，满足，其它条件不变，你能猜想的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？
（3）若在线段的延长线上，且满足，、分别为、的中点，你能猜想的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
2. 如图，线段，动点从出发，以2个单位秒的速度沿射线运动，为的中点．
（1）出发多少秒后，；
（2）当在线段上运动时，试说明为定值．
（3）当在延长线上运动，为的中点，下列两个结论：①长度不变； ②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值．
3. 如图所示，在数轴上原点表示数0，点在原点的左侧，所表示的数是；点在原点的右侧，所表示的数是，并且、满足
（1）点表示的数为 ，点表示的数为
（2）若点从点出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度；点从点出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度．、两点同时运动，并且在点处相遇，试求点所表示的数．
（3）在、运动的过程中，当、两点的距离为2个单位长度时，求点表示的数．
4. （1）如图，已知点在线段上，且，，点、分别是、的中点，求线段的长度；
（2）若点是线段上任意一点，且，，点、分别是、的中点，请直接写出线段的长度；（用、的代数式表示）
（3）在（2）中，把点是线段上任意一点改为：点是直线上任意一点，其他条件不变，则线段的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
5. 如图，在射线上有三点、、，满足，，（如图所示），点从点出发，沿方向以的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动（点运动到点时停止运动），两点同时出发．
（1）当时，点运动到的位置恰好是线段的三等分点，求点的运动速度．
（2）若点运动速度为，经过多长时间、两点相距．
（3）当点运动到线段上时，分别取和的中点、，求的值．
