第6节 角的基本概念
课中讲解
授课内容1：角的概念及表示方法
内容讲解
角的概念
(1）角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点．
通常可以用以下方式表示角:
（2）角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
（3）一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角．
1 平角 = 180°，1 周角 = 360°．
注：①角的组成部分为：两条边和一个顶点；
②角的顶点：顶点是这两条边的交点；
③角的两条边是射线，是无限延伸的.
④射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面的其余部分称为角的外部.
例1 下列关于角的说法正确的是( D )．
A．两条射线组成的图形叫做角
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角两边的长短无关
过关检测
1.下列说法正确的是（ C ）
A．连接两点的线段，叫做两点间的距离
B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角
2.下列说法中正确的是 D
A．射线与射线是同一条射线
B．两条射线组成的图形叫做角
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离
角的表示方法
（1）用大写字母表示角
① 三个大写字母来表示，如图1.1．
注意：顶点一定要写在中间，也可记为，但不能写成或！
② 一个大写字母来表示，如图1.2．
注意： 用一个大写字母来表示角的时候，以该字母为顶点的角只能有一个，这个大写字母表示角的顶点.
（2）用数字来表示角 如图2.1．
（3）用希腊字母来表示角 如图2.2．
例1 如图，角的顶点是O ，角的边是OB，OA ，用三种方法表示该角分别为例2 如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是__例3 在右图中，角的表示方法正确的是（ B ）
B． C． D．
过关检测（5mins）
1.下列语句正确的是（ A ）
①角的大小与边的长短无关
②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个
③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个
④两条射线组成的图形叫做角
A ①② B ①③ C ①④ D ②③
2.下列各式中不能表示∠AOB的是( B )．
A. ∠AOF B．∠EOF C．∠COE D．∠DOB
3.如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ A ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ C ）
A．∠1与∠PON表示同一个角
B．∠α表示的是∠MOP
C．∠MON也可用∠O表示
D．图中共有三个角∠MON，∠POM，∠PON
5．如图，下列说法错误的是（ D ）
A．∠ECA是一个平角 B．∠ADE也可以表示为∠D
C．∠BCA也可以表示为∠1 D．∠ABC也可以表示为∠B
6．下列四个图形中的∠1也可用∠AOB，∠O表示的是（ B ）
A． B．
C． D．
7．如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ B ）
A．∠A B．∠E C．∠α D．∠1
8．如图所示，下列说法错误的是（B ）
A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示
9.如图，下列说法中不正确的是 C
A．与是同一个角 B．与是同一个角
C．也可以表示为 D．
授课内容2：尺规画角和差倍分
内容讲解
例1 已知： ∠AOB． 求作： ∠A'O'B'，使 ∠A'O'B' = ∠AOB．
作法与示范：
（1）作射线O'A' ；
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O'为圆心，以OC为半径画弧，交O'A' 于点 C' ；
（4）以点 C' 为圆心，以 CD 长为半径画弧，交前面的弧于点 D' ；
（5）过点 D' 作射线 O'B'. ∠ A'O'B' 就是所求作的角.
过关检测（10mins）
用尺规完成下列作图：
（1）如图，以点 B 为顶点，射线 BA 为一边，在 ∠ ABC 外再作一个角，使其等于 ∠ ABC．
（2）已知 ∠ α，∠ β，求∠EOF，使它等于 ∠ α 与 ∠ β 的和．
解：（1）利用作一角等于已知角的方法即可。（2）利用作一角等于已知角的方法得出∠ α + ∠ β =∠EOF即可。
如图，已知 ∠ AOB， ∠ EO'F，求作一个角在∠AOB的内部，使它等于 ∠AOB 与 ∠ EO'F 的差．
解：利用作一角等于已知角的方法得出∠ AOB -∠EOF =∠AOC即可。
3.已知 ∠ AOB，利用尺规作 ∠ A'O'B'，使 ∠ A'O'B' = 2 ∠ AOB．
解：先作一个角等于∠AOB，在这个角的外部再作一个角等于∠AOB，那么图中最大的角就是所求的角．
解答：解：作法：
①做∠DO'B'＝∠AOB；
②在∠DO'B'的外部做∠A'OD＝∠AOB，∠A'O'B'就是所求的角．
4.如图，已知：直线和外一点，用尺规作的垂线，使它经过点．步骤如下：（1）任意取一点．（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和．（3）分别以点和点为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点．（4）作直线，直线就是所求作的垂线．下列正确的是 c
A．对点，长无要求 B．点与点在同侧，
C．点与点在异侧， D．点与点在同侧，
5.如图，依据尺规作图的痕迹，计算B
B． C． D．
6.观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明的是 C
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
课中讲解
授课内容3：角的单位及其运算
内容讲解
角的度量单位是度、分、秒，把平角分成180等份，每一份就是一度的角，记做；把一度的角60等分，每一份叫做1分的角，记做；把一分的角60等分，每一份叫做秒的角，记做．
角度之间的关系
1周角= 1平角＝ 1直角＝
1周角＝平角 1平角＝直角
（一）角度换算
例1．（1） 25.23°＝ 25 ° 13 ′ 48 ″；
（2）1800″＝ 30 分＝ 0.5 度．
【解答】（1）解：25.23°＝25°+0.23×60′
＝25°13′+0.8×60″
＝25°13′48″．
故答案为：25，13，48．
（2）解：1800″÷60＝30′，
30′÷60＝0.5°．
故答案为30，0.5．
例2．把15°48′36″化成以度为单位是（ ）
A．15.8° B．15.4836° C．15.81° D．15.36°
【解答】解：15°48′36″，
＝15°+48′+（36÷60）′，
＝15°+（48.6÷60）°，
＝15.81°．
故选：C．
过关检测（5mins）
1．（1）用度、分、秒表示48.26°： 48°15′36″ ；（2）把秒化成度、分、秒：3800″＝ 1 ° 3 ′ 20 ″．
【解答】（1）解：48.26°＝48°+0.26×60′＝48°15′+0.6×60″＝48°15′36″，
故答案为：48°15′36″．（2）解：3800″＝1°3′20″，
故答案为：1；3；20．
2．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°＝83°50′ B．37°12′36″＝37.48°
C．24°24′24″＝24.44° D．41.25°＝41°15′
【解答】解：A、83.5°＝83°50′，错误；
B、37°12′36″＝37.48°，错误；
C、24°24′24″＝24.44°，错误；
D、41.25°＝41°15′，正确．
故选：D．
（二）角度和差
例1. 计算（1）33°52′+21°54′＝ 55°46′ ；（2）18.5°+26°34′＝ 45°4′ ．
【解答】（1）解：33°52′+21°54′＝54°106′＝55°46′．（2）解：原式＝18°30′+26°34′，
＝45°4′．
例2．计算：108°18′﹣56°23′＝ 51°55′ ．
【解答】解：108°18′﹣56°23′＝107°78′﹣56°23′＝51°55′．
故答案为：51°55′．
例3．计算：48°39′+67°31′﹣21°17′×5＝ 9°45′ ．
【解答】解：48°39′+67°31′﹣21°17′×5
＝48°39′+67°31′﹣106°25′
＝116°10′﹣106°25′
＝9°45′．
故答案为：9°45′．
例4．若∠A＝32°12′，∠B＝32.12°，∠C＝32.2°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠A＝∠C B．∠B＝∠C C．∠A＝∠B D．∠A＜∠B
【解答】解：∠A＝32°12′＝32.2°＝∠C．
故选：A．
例5．计算
（1）28°32′46″+15°36′48″
（2）（30°﹣23′40″）
（3）16°51′+38°27′×3﹣90°．
【解答】解：（1）原式＝43°68′94″＝44°9′34″；
（2）原式＝29°59′60″﹣23′40″
＝29°36′20″；
（3）原式＝16°51′+115°21′﹣90°
＝132°12′﹣90°
＝42°12′
过关检测（5mins）
1．计算34°34′+21°51′的结果是（ ）
A．55°25′ B．56°25′ C．63°5′ D．56°35′
【解答】解：原式＝55°85′＝56°25′，
故选：B．
2．计算：110°36′﹣60.6°＝ 50° ．
【解答】解：原式＝110°36′﹣60°36′＝50°，
故答案为：50°．
3．已知∠1＝28°24′，∠2＝28.24°，∠3＝28.4°，下列说法正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3
【解答】解：∠1＝28°24′＝28.4°．
故∠1＝∠3．
故选：B．
4．计算：
（1）131°28′﹣51°32′15″
（2）58°38′27″+47°42′40″
（3）34°25′×3+35°42′
【解答】解：（1）131°28′﹣51°32′15″＝79°55′45″；
（2）58°38′27″+47°42′40″＝106°21′7″；
（3）34°25′×3+35°42′
＝103°15′+35°42′
＝138°57′．
5.杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大” 说：“我是，我应该最大”． 也不甘示弱：“我是，我应该和一样大”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判”，杨老师评判的结果是 B
最大 B．最大 C．最大 D．
6．已知，，，那么它们的大小关系为 B
A． B． C． D．
授课内容4：角平分线的定义
例1.如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
【解答】解：∵∠BOC＝∠DOC＝30°，
∴射线OC是∠BOD的角平分线；
故选：C．
例2．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC＝35°，则∠BOD等于（ ）
A．145° B．110° C．70° D．35°
【解答】解：∵射线OC平分∠DOA．
∴∠AOD＝2∠AOC，
∵∠COA＝35°，
∴∠DOA＝70°，
∴∠BOD＝180°﹣70°＝110°，
故选：B．
例3．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100 B．80 C．70 D．60
【解答】解：∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOC＝∠COB；
∵OD是∠AOC的平分线，
∴∠AOD＝∠COD；
∵∠COD＝25°，
∴∠AOC＝50°，
∴∠AOB＝100°．
故选：A．
例4．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是 135 度．
【解答】解：∵OB平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝45°，
∴∠AOD＝135°．
故答案为：135．
例5．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为多少度？
【解答】解：∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB＝40°，∠COE＝60°，
∴∠BOC＝∠AOB＝40°，∠COD＝∠COE＝×60°＝30°，
∴∠BOD＝∠BOC+∠COD＝40°+30°＝70°．
过关检测（5mins）
1. 如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；
B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；
C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；
D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；
故选：D．
2．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 80 度．
【解答】解：如图，∵∠1＝20°，∠1+∠BOC＝180°，
∴∠BOC＝160°．
又∵OD平分∠BOC，
∴∠2＝∠BOC＝80°；
故填：80．42．
3．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝ 152° ，∠BOE＝ 62° ．
【解答】解：∵∠AOC+∠COD＝180°，∠AOC＝28°，
∴∠COD＝152°；
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOC＝28°，
∴∠AOB＝2∠AOC＝2×28°＝56°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣56°＝124°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠BOD＝×124°＝62°．
故答案为：152°、62°．
4．按图图4的步骤作图，下列结论错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：是的平分线，
，
，
选项、、均正确，选项错误．
故选：．
5．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度；
（2）如果∠COD＝20°，∠AOB＝150°，那么∠BOE是多少度．
【解答】解：（1）∵OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB＝130°
∴∠COE＝∠BOD+∠AOD
＝（∠BOD+∠AOD）
＝∠AOB
＝65°；
（2）∵∠COD＝20°，
∴∠AOD＝2×20°＝40°，
∵∠AOB＝150°，
∴∠BOD＝∠AOB﹣∠AOD＝150°﹣40°＝110°，
∵OE是∠BOD的平分线，
∴∠BOE＝∠BOD＝×110°＝55°．
6．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
（1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？
（2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？
【解答】解：（1）∵OB平分∠COD，
∴∠COB＝∠BOD＝45°，
∴∠COA＝90°﹣45°＝45°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠COD+∠BOC
＝45°+90°+45°＝180°，
∴∠AOD和∠BOC的和是180°．
（2）∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠BOD+∠BOC＝90°，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOC+∠BOC+∠BOD+∠BOC
∴∠AOD+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）+（∠BOD+∠BOC）
＝90°+90°＝180°．
∴∠AOD和∠BOC的和是180°．
7．我们定义：若两个角差的绝对值等于，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：，，，则和互为“正角”．如图，已知，射线平分，在的内部，若，则图中互为“正角”的共有 7 对．
【解答】解：，射线平分，
，
，，
又，
，
，
，，
，，
图中互为“正角”的共有与，与，与，与，与，与，与共7对．
故答案为：7
8．线段与角的计算．
（1）如图1，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点，求的长．
（2）已知：如图2，被分成，平分，平分，且，求的度数．
【解答】解：（1），，
，
．
，分别为，的中点，
，，
；
（2）设，，，则，
平分，平分，
，，
，
又，
，
，
．
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日期：2021/6/3 12:30:54；用户：丽丽周；邮箱：18408272854；学号：27751053
学习任务
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
得分
1．如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（D ）
A． B．
C． D．
2.下列语句正确的是（ A ）
①角的大小与边的长短无关。
②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个
③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个。
④两条射线组成的图形叫做角
A ①② B ①③ C ①④ D ②③
3．下列说法正确的是（ D ）
A．角的大小与角的两边的长度有关
B．两条射线组成的图形叫做角
C．直线就是平角
D．右图中∠ABC可记作∠B
4．下面是黑板上出示的尺规作图题，横线上符号代表的内容，正确的是（ B ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB． 作法；（1）以点O为圆心，①为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，②为半径画弧交EG于点D； （3）以③为圆心，④长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示DE B．②表示OQ
C．③表示Q D．④表示任意长
5.如图所示，其中角的个数是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．9
【解答】解：根据分析得共有＝15条个角，
选A．
6．如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
【解答】解：A、∵∠AOC＝∠BOC，∴OC平分∠AOB，故A正确；
B、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BO，C∴∠AOC＝∠BOC，故B正确；
C、∵∠AOB＝2∠BOC，∠AOB＝∠AOC+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOC，故C正确；
D、∵∠AOC+∠BOC＝∠AOB，∠AOC不一定等于∠BOC，故D错误；
故选：D．
7．如图，点O在直线AB上，射线OC、OD在直线AB的同侧，∠AOD＝50°，∠BOC＝40°，OM、ON分别平分∠BOC和∠AOD，则∠MON的度数为（ ）
A．135° B．140° C．152° D．45°
【解答】解：∵∠AOD＝50°，∠BOC＝40°，OM、ON分别平分∠BOC和∠AOD，
∴∠AON＝∠AOD＝25°，∠BOM＝∠BOC＝20°，
∴∠MON＝180°﹣∠AON﹣∠AOD＝180°﹣25°﹣20°＝135°．
故选：A．
8.用度、分、秒来表示37.32°为 37°19′12″ ，用度来表示52°16′48″为 52.28° ．
【解答】解：用度、分、秒来表示37.32°为37°19′12″，用度来表示52°16′48″为52.28°，
故答案为：37°19′12″；52.28°．
9.在2时和3时之间，若时针与分针成直角，则此时的时间是 ．
【解答】解：设再次转成直角的时间为x，则
（6﹣）x＝60+90
∴x＝．
所以2时和3时之间时针与分针成直角的时间为2时分．
故答案为：2时分．
10.甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西50° ．
【解答】解：甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西50°．
故答案为：南偏西50°．
11.如图（1）：给出一个角∠AOB，这时图中的角的个数为1，记作P0＝1．
如图（2）如果在∠AOB的内部，从角的顶点O出发任作一条射线，这时共有P1个角，即P1＝1+2＝3
如图（3）如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作两条不同的射线，这时共有P2个角，即P2＝1+2+3＝6
如此类推：P3＝ 1+2+3+4 ＝ 10 ；P4＝ 1+2+3+4+5 ＝ 15 ．
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作n条不同的射线，这时共有Pn个角，那么Pn等于多少？
【解答】解：观察发现：
P1＝1+2＝3；
P2＝1+2+3＝6；
P3＝1+2+3+4＝10；
P4＝1+2+3+4+5＝15；
…
Pn＝1+2+3+4+…+（n+1）＝（n+1）（n+2）；
故答案为：1+2+3+4，10；1+2+3+4+5，15；
12.如图，一只蚂蚁从O出发，沿着北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm，（此时位置记作C），
（1）画出蚂蚁爬行的路线，
（2）求出∠OBC的度数．
【解答】解：（1）如图所示：折线OB，BC即为蚂蚁爬行的路线；
（2）由题意得：
∠EBO＝45°，∠CBE＝30°，
∴∠OBC＝75°．
13．如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
求：①∠EOC的大小； ②∠AOD的大小．
【解答】解：①由∠COD＝∠EOC，得
∠EOC＝4∠COD＝4×15°＝60°；
②由角的和差，得
∠EOD＝∠EOC﹣∠COD＝60°﹣15°＝45°．
由角平分线的性质，得
∠AOD＝2∠EOD＝2×45°＝90°．
家长签字：____________第6节 角的基本概念
目标层级图
课中讲解
一．角的概念及表示方法
内容讲解
（一）角的概念
（1）角由两条具有 的 组成，两条射线的公共端点是这个角的 。
通常可以用以下方式表示角:
（2）角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的.
（3）一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做 。终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做 。
1 平角 = 180°，1 周角 = 360°．
注：①角的组成部分为： ；
②角的顶点：顶点是这两条边的交点；
③角的两条边是 ，是 的。
④射线旋转时经过的平面部分称为角的 ，平面的其余部分称为角的 。
例1．下列关于角的说法正确的是（ ）
A．两条射线组成的图形叫做角
B．延长一个角的两边
C．角的两边是射线，所以角不可以度量
D．角的大小与这个角两边的长短无关
过关检测
1.下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段，叫做两点间的距离
B．射线OA与射线AO表示的是同一条射线
C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线
D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角
2.下列说法中正确的是
A．射线与射线是同一条射线
B．两条射线组成的图形叫做角
C．各边都相等的多边形是正多边形
D．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离
（二）角的表示方法
（1）用大写字母表示角
① 三个大写字母来表示，如图1.1
注意：顶点一定要写在中间，也可记为，但不能写成或！
② 一个大写字母来表示，如图1.2
注意： 用一个大写字母来表示角的时候，以该字母为顶点的角只能有一个，这个大写字母表示角的顶点。
（2）用数字来表示角 如图2.1
（3）用希腊字母来表示角 如图2.2
例1．如图，角的顶点是____ ，角的边是_____ ，用三种方法表示该角分别为__________。
例2．如图所示，图中能用一个大写字母表示的角是_________；以A为顶点的________个，它们分别是________。
例3．在右图中，角的表示方法正确的是（ ）
B． C． D．
过关检测
1.下列语句正确的是（ ）
①角的大小与边的长短无关
②如果一个角能用一个大写字母A表示，那么以A为顶点的角只有一个
③如果一个角能表示为∠1，那么以∠1顶点为顶点的角只有一个
④两条射线组成的图形叫做角
A ①② B ①③ C ①④ D ②③
2.下列各式中不能表示∠AOB的是（ ）
∠AOF B．∠EOF C．∠COE D．∠DOB
3.如图，能用∠1、∠ABC、∠B三种方法表示同一个角的是（ ）
A．B． C．D．
4．如图所示，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．∠1与∠PON表示同一个角
B．∠α表示的是∠MOP
C．∠MON也可用∠O表示
D．图中共有三个角∠MON，∠POM，∠PON
5．如图，下列说法错误的是（ ）
A．∠ECA是一个平角 B．∠ADE也可以表示为∠D
C．∠BCA也可以表示为∠1 D．∠ABC也可以表示为∠B
6．下列四个图形中的∠1也可用∠AOB，∠O表示的是（ ）
A． B．C． D．
7．如图，下列表示角的方法中，不正确的是（ ）
∠A B．∠E C．∠α D．∠1
8．如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．∠DAO可用∠DAC表示 B．∠COB也可用∠O表示
C．∠2也可用∠OBC表示 D．∠CDB也可用∠1表示
9.如图，下列说法中不正确的是
A．与是同一个角 B．与是同一个角
C．也可以表示为 D．
二．尺规画角和差倍分
内容讲解
例1．已知： ∠AOB，求作：∠A'O'B'，使∠A'O'B' = ∠AOB。
作法与示范：
（1）作射线O'A' ；
（2）以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D；
（3）以点O'为圆心，以OC为半径画弧，交O'A' 于点 C' ；
（4）以点 C' 为圆心，以 CD 长为半径画弧，交前面的弧于点 D' ；
（5）过点 D' 作射线 O'B'. ∠ A'O'B' 就是所求作的角。
过关检测
1．用尺规完成下列作图：
（1）如图，以点B为顶点，射线BA为一边，在∠ ABC外再作一个角，使其等于∠ ABC。
（2）已知∠ α，∠ β，求∠EOF，使它等于∠ α 与∠ β 的和。
2．如图，已知∠ AOB，∠ EO'F，求作一个角在∠AOB的内部，使它等于∠AOB 与∠ EO'F 的差。
3．已知∠ AOB，利用尺规作∠ A'O'B'，使∠ A'O'B' = 2 ∠ AOB．
4．如图，已知：直线和外一点，用尺规作的垂线，使它经过点．步骤如下：（1）任意取一点．（2）以点为圆心，长为半径作弧，交于点和．（3）分别以点和点为圆心，以长为半径作弧，两弧相交于点．（4）作直线，直线就是所求作的垂线．下列正确的是
A．对点，长无要求 B．点与点在同侧，
C．点与点在异侧， D．点与点在同侧，
5．如图，依据尺规作图的痕迹，计算
A． B． C． D．
6．观察下列尺规作图的痕迹：
其中，能够说明的是
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
三．角的单位及其运算
内容讲解
角的度量单位是 ，把平角分成180等份，每一份就是 的角，记做 ；把一度的角60等分，每一份叫做 的角，记做 ；把一分的角60等分，每一份叫做 的角，记做 ．
角度之间的关系
1周角= 1平角= 1直角=
1周角= 1平角=
（一）角度换算
例1．（1） 25.23°＝ ° ′ ″；
（2）1800″＝ 分＝ 度。
例2．把15°48′36″化成以度为单位是（ ）
A．15.8° B．15.4836° C．15.81° D．15.36°
过关检测
1.（1）用度、分、秒表示48.26°： ；
（2）把秒化成度、分、秒：3800″＝ ° ′ ″。
2．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°＝83°50′ B．37°12′36″＝37.48°
C．24°24′24″＝24.44° D．41.25°＝41°15′
（二）角度和差
例1. 计算（1）33°52′+21°54′＝ ；（2）18.5°+26°34′＝ 。
例2．计算：108°18′﹣56°23′＝ 。
例3．计算：48°39′+67°31′﹣21°17′×5＝ 。
例4．若∠A＝32°12′，∠B＝32.12°，∠C＝32.2°，则下列结论正确的是（ ）
例5．计算
（1）28°32′46″+15°36′48″ （2）（30°﹣23′40″） （3）16°51′+38°27′×3﹣90°
过关检测
1．计算34°34′+21°51′的结果是（ ）
A．55°25′ B．56°25′ C．63°5′ D．56°35′
2．计算：110°36′﹣60.6°＝ 。
3．已知∠1＝28°24′，∠2＝28.24°，∠3＝28.4°，下列说法正确的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1＝∠3 C．∠1＜∠2 D．∠2＞∠3
4．计算：
（1）131°28′﹣51°32′15″ （2）58°38′27″+47°42′40″ （3）34°25′×3+35°42′
5.杨老师到几何王国去散步，刚走到“角”的家门，就听到、、在吵架，说：“我是，我应该最大” 说：“我是，我应该最大”． 也不甘示弱：“我是，我应该和一样大”听到这里，杨老师对它们说：“别吵了，你们谁大谁小，由我来作评判”，杨老师评判的结果是
最大 B．最大 C．最大 D．
6．已知，，，那么它们的大小关系为
A． B． C． D．
四．角平分线的定义
例1. 如图所示，可以是图中某个角的角平分线的射线是（ ）
A．OA B．OB C．OC D．OD
例2．如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠AOD，若∠AOC＝35°，则∠BOD等于（ ）
A．145° B．110° C．70° D．35°
例3．如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠COD＝25°，则∠AOB的度数为（ ）
A．100 B．80 C．70 D．60
例4．如图所示，两块三角板的直角顶点O重叠在一起，且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是 度。
例5．如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB＝40°，∠COE＝60°，则∠BOD的度数为多少度？
过关检测
1. 如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
2．如图，已知O是直线AB上一点，∠1＝20°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是 度。
3．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°，则∠COD＝ ，∠BOE＝ 。
4．按图图4的步骤作图，下列结论错误的是
A． B． C． D．
5．如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线．
（1）如果∠AOB＝130°，那么∠COE是多少度；
（2）如果∠COD＝20°，∠AOB＝150°，那么∠BOE是多少度．
6．把一副三角板的直角顶点O重叠在一起．
（1）如图（1），当OB平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？
（2）如图（2），当OB不平分∠COD时，则∠AOD和∠BOC的和是多少度？
7．我们定义：若两个角差的绝对值等于，则称这两个角互为“正角”，其中一个角是另一个角的“正角”．如：，，，则和互为“正角”．如图，已知，射线平分，在的内部，若，则图中互为“正角”的共有 对．
8．线段与角的计算．
（1）如图1，已知点为上一点，，，若、分别为、的中点，求的长．
（2）已知：如图2，被分成，平分，平分，且，求的度数．
学习任务
1．如图，能用∠AOB，∠O，∠1三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列语句正确的是（ ）
①角的大小与边的长短无关。
②如果一个角能用一个大写字母表示，那么以为顶点的角只有一个
③如果一个角能表示为，那么以顶点为顶点的角只有一个。
④两条射线组成的图形叫做角
A ①② B ①③ C ①④ D ②③
3．下列说法正确的是（ ）
A．角的大小与角的两边的长度有关
B．两条射线组成的图形叫做角
C．直线就是平角
D．右图中∠ABC可记作∠B
4．下面是黑板上出示的尺规作图题，横线上符号代表的内容，正确的是（ ）
如图，已知∠AOB，求作：∠DEF，使∠DEF＝∠AOB． 作法；（1）以点O为圆心，①为半径画弧，分别交OA，OB于点P，Q； （2）作射线EG，并以点E为圆心，②为半径画弧交EG于点D； （3）以③为圆心，④长为半径画弧交第（2）步中所画弧于点F； （4）作射线EF，∠DEF即为所求作的角．
A．①表示DE B．②表示OQ
C．③表示Q D．④表示任意长
5．如图所示，其中角的个数是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．9
6．如图，下列结论中，不能说明射线OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOB＝2∠AOC D．∠AOC+∠BOC＝∠BOA
7．如图，点O在直线AB上，射线OC、OD在直线AB的同侧，∠AOD＝50°，∠BOC＝40°，OM、ON分别平分∠BOC和∠AOD，则∠MON的度数为（ ）
A．135° B．140° C．152° D．45°
8．用度、分、秒来表示37.32°为 ，用度来表示52°16′48″为 。
9．在2时和3时之间，若时针与分针成直角，则此时的时间是 。
10．甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 。
11．如图（1）：给出一个角∠AOB，这时图中的角的个数为1，记作P0＝1。
如图（2）如果在∠AOB的内部，从角的顶点O出发任作一条射线，这时共有P1个角，即P1＝1+2＝3
如图（3）如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作两条不同的射线，这时共有P2个角，即P2＝1+2+3＝6
如此类推：P3＝ ＝ ；P4＝ ＝ 。
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作n条不同的射线，这时共有Pn个角，那么Pn等于多少？
12．如图，一只蚂蚁从O出发，沿着北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm，（此时位置记作C），
（1）画出蚂蚁爬行的路线，
（2）求出∠OBC的度数。
13．如图，OE为∠AOD的平分线，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，
求：①∠EOC的大小； ②∠AOD的大小。
