第9节 角的和差及角平分线
目标层级图
课中讲解
授课内容1:角平分线的定义及应用
内容讲解
1.角平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把它分成两个相等角的射线叫做这个角的平分线。
例1. 如图，为的平分线，下列等式错误的是
A． B． C． D．
【解答】解：为的平分线，
，，，．
故选：．
例2.如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠AOC＝∠AOB
【解答】解：A．∵∠AOC＝∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以A选项正确，不符合题意；
B．∵∠AOB＝2∠BOC
∴OC平分∠AOB．
所以B选项正确，不符合题意；
C．∵∠AOC+∠COB＝∠AOB
∴OC不一定平分∠AOB．
所以C选项错误，符合题意；
D．∵∠AOC＝∠AOB
∴∴OC平分∠AOB．
所以C选项正确，不符合题意．
故选：C．
例3.把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【解答】解：∵BM为∠ABC的平分线，
∴∠CBM＝∠ABC＝×60°＝30°，
∵BN为∠CBE的平分线，
∴∠CBN＝∠EBC＝×（60°+90°）＝75°，
∴∠MBN＝∠CBN﹣∠CBM＝75°﹣30°＝45°．
故选：B．
.
过关检测
1.已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①由∠AOC＝∠BOC能确定OC平分∠AOB；
②如图1，∠AOB＝2∠AOC
所以不能确定OC平分∠AOB；
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
不能确定OC平分∠AOB；
④如图2，∠BOC＝∠AOB，
不能确定OC平分∠AOB；
所以只有①能确定OC平分∠AOB；
故选：A．
2．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点落在处，为折痕，如果为的平分线，则
A． B． C． D．
【解答】解：因为将顶点折叠落在处，所以，
又因为为的平分线，
所以，
因为，
，
所以．
故选：．
3．如图，在直线上，，与的角平分线交于点，若再作、的平分线，交于点；再作、的平分线，交于点；依此类推，为 ．
【解答】解：
．
依此类推，，．
故答案为：
授课内容2：角的和差倍分计算
内容讲解
例1．将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【分析】可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，进而可求解．
【解答】解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，
根据折叠性质可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝16°，
∴∠DAF＝10°+β，
∠BAE＝10°+α，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，
∴α+β＝30°，
∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′
＝10°+α+β
＝10°+30°
＝40°．
则∠EAF的度数为40°．
故选：A．
【点评】本题考查了角的计算，解决本题的关键是熟练运用折叠的性质．
过关检测1．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
【分析】根据折叠的性质可以得到△GCF≌△GEF，即∠CFG＝∠EFG，再根据FH平分∠BFE即可求解．
【解答】解：∵∠CFG＝∠EFG且FH平分∠BFE，
∴∠GFH＝∠EFG+∠EFH＝∠EFC+∠EFB＝（∠EFC+∠EFB）＝×180°＝90°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，注意在折叠的过程中存在的相等关系．
例2．如图，只用一副三角板可以直接画出150°的角，则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是（ ）
A．75° B．120° C．135° D．160°
【分析】根据一副三角板中角的度数（30°，60°，90°，45°）看看能否组合成75°，125°，135°，160°，即可得出选项．
【解答】解：一副三角板中角的度数有30°，60°，90°，45°，
A、30°+45°＝75°，故本选项不合题意；
B、30°+90°＝120°，故本选项不合题意；
C、45°+90°＝135°，故本选项不合题意；
D、根据30°，60°，90°，45°不能组合成160°，即不能画出160°的角，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了有关角的计算，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力．
过关检测2．用一副三角板拼成的图形如图所示，其中B、C、D三点在同一条直线上．则图中∠ACE的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【分析】利用平角的定义计算∠ACE的度数．
【解答】解：∵B、C、D三点在同一条直线上．
∴∠ACE＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故选：C．
【点评】本题考查了角的计算：利用互余或互补计算角的度数．
例3．已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．50° B．20°或50° C．30°或50° D．30°
【分析】分为两种情况，当∠AOB在∠AOC内部时，当∠AOB在∠AOC外部时，分别求出∠AOM和∠AOD度数，即可求出答案．
【解答】解：分为两种情况：如图1，当∠AOB在∠AOC内部时，
∵∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，
∴∠AOC＝80°，
∵OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，
∴∠AOD＝∠BOD＝∠AOB＝10°，∠AOM＝∠COM＝∠AOC＝40°，
∴∠DOM＝∠AOM﹣∠AOD＝40°﹣10°＝30°；
如图2，当∠AOB在∠AOC外部时，
∠DOM═∠AOM+∠AOD＝40°+10°＝50°．
故∠MOD的度数是30°或50°．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线定义的应用，用了分类讨论思想．
过关检测1．已知∠AOB＝60°，∠AOC＝∠AOB，射线OD平分∠BOC，则∠COD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．20°或30° D．20°或40°
【分析】分两种情况（OC在∠AOB内或外），分别首先求得∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义求得∠COD的度数．
【解答】解：当OC在∠AOB内时，如图1，
则∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝60°﹣，
∴∠COD＝∠BOC＝20°；
当OC在∠AOB外时，如图2，
则∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝60°+，
∴∠COD＝∠BOC＝40°．
综上，∠COD＝20°或40°．
故选：D．
【点评】本题考查了角平分线的定义，角的和差，正确求得∠BOC的度数是关键，因考虑不周，容易漏掉一种情况的解．
2．已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝ ∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝ β或β .（用含β的代数式表示）
【分析】分两种情况：①点D在∠AOB的内部时，设∠BOD＝x，则∠COD＝3x，∠BOC＝4x，求出x＝β，即可解决问题；
②点D在∠AOB的外部时，设∠BOD＝x，则∠COD＝3x，∠BOC＝3x﹣x＝2x，求出x＝β，即可解决问题．
【解答】解：分两种情况：
①点D在∠AOB的内部时，如图1所示：
设∠BOD＝x，则∠COD＝3x，∠BOC＝4x，
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝β，
∴∠BOC＝β＝4x，
∴x＝β，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE＝∠DOE＝∠COD＝x，
∴∠BOE＝∠BOD+∠DOE＝x＝β；
②点D在∠AOB的外部时，如图2所示：
设∠BOD＝x，则∠COD＝3x，∠BOC＝3x﹣x＝2x，
∵OC是∠AOB的平分线，∠AOB＝β，
∴∠BOC＝β＝2x，
∴x＝β，
∵OE平分∠COD，
∴∠COE＝∠DOE＝∠COD＝x，
∴∠BOE＝∠DOE﹣∠BOD＝x＝β；
综上所述，∠BOE为β或β，
故答案为：β或β．
【点评】本题考查了角平分线定义和角的有关计算的应用，注意分两种情况讨论．
例4．如图，已知∠AOB＝108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．
（1）若∠COE＝∠AOE，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOC﹣∠AOC＝72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？
【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论；
（2）根据角的和差和垂直的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠COE＝∠AOE，
∴∠AOE＝3∠COE，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOE＝6∠COE，
∵∠AOB＝108°，
∴∠COE＝18°，
∴∠AOC＝2∠COE＝2×18°＝36°；
（2）OB⊥OC，
设∠BOC＝x°，则∠AOC＝108°﹣x°，
∵∠BOC﹣∠AOC＝72°，
∴x﹣（108﹣x）＝72，
解得x＝90，
∴∠BOC＝90°，
∴OB⊥OC．
【点评】本题主要考查角的比较与运算，还考查了角平分线的定义等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．
过关检测
1如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？
【分析】设∠COD的度数为x，则∠BOC＝2x+10°，利用角平分线定义得到∠EOC＝2∠COD＝2x，∠BOC＝2x+10°，再利用OB是∠AOC的平分线得到∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x+20°，所以2x+4x+20°＝140°，解得x＝20°，然后计算2x+10°即可．
【解答】解：设∠COD的度数为x，
∵OD是∠COE的平分线，
∴∠EOC＝2∠COD＝2x，
∵∠BOC比∠COD的2倍还多10°，
∴∠BOC＝2x+10°，
∵OB是∠AOC的平分线，
∴∠AOB＝∠BOC，∠AOC＝2∠BOC＝4x+20°，
∵∠AOE＝140°，
∴2x+4x+20°＝140°，解得x＝20°，
∴∠BOC＝2x+10°＝50°
∴∠AOB是50度．
【点评】本题考查了角平分线的定义：灵活应用角平分线的定义进行角度的计算．
例5、如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ 20 °；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
【分析】（1）根据图形得出∠COE＝∠DOE﹣∠BOC，代入求出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠EOB＝2∠BOC＝140°，代入∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE，求出∠BOD，代入∠COD＝∠BOC﹣∠BOD求出即可；
（3）根据图形得出∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，相减即可求出答案．
【解答】解：（1）如图①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°．
【点评】本题考查了角的计算的应用，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键．
过关检测5．如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D为平面内一点，∠AOC+∠BOD＝90°；
（1）若∠AOC：∠BOD＝4：5，则∠BOD等于 50 度；
（2）若∠AOC＝α（0°＜α≤45°），ON平分∠COD
①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的值（用含α的式子表示）；
②若∠AON+∠COD＝180°，求出α的值．
【分析】（1）由∠AOC：∠BOD＝4：5，得∠BOD＝（∠AOC+∠BOD），进而代入已知∠AOC+∠BOD＝90°，便可求得结果；
（2）①由平角的定义和已知条件求得∠COD，再根据平分线定义求得∠CON，进而由角的和差关系求得结果；
②分两种情况：D在∠BOC内，或D不在∠BOC内，分别求得∠AON和∠COD，再由∠AON+∠COD＝180°列出方程解答．
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOD＝4：5，
∴∠BOD＝（∠AOC+∠BOD），
∵∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠BOD＝50°，
故答案为：50；
（2）①根据题意作出图形如下：
∵∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠COD＝180°﹣90°＝90°，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠COD＝45°，
∵∠AOC＝α，
∴∠AON＝α+45°，
故答案为：α+45°；
②当D点在∠BOC内时，则∠COD＝90°，∠AON＝α+45°，
∵∠AON+∠COD＝180°，
∴α+45°+90°＝180°，
∴α＝45°，
当D点在∠BOC外时，如图所示：
则∠BOD＝90°﹣α，
∠AOD＝180°﹣∠BOD＝90°+α，
∴∠COD＝∠AOC+∠AOD＝90°+2α，
∵ON平分∠COD，
∴∠CON＝∠COD＝45°+α，
∴∠AON＝∠CON﹣∠AOC＝45°，
∵∠AON+∠COD＝180°，
∴45°+90°+2α＝180°，
∴α＝22.5°，
综上，α＝22.5°或45°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的性质，正确应用角平分线的性质，角的和差关系是解决本题的关键．第（2）②小题易漏掉D点在∠BOC之外这一情形，请注意．
例6、已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则可求得∠COE、∠COD的值，∠DOE＝∠COE+∠COD；
（2）结合角的特点，∠DOE＝∠DOC+∠COE，求得结果进行判断和计算；
（3）正确作出图形，判断大小变化．
【解答】解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴＝35°，＝10°，
∴∠DOE＝45°；
（2）∠DOE的大小不变等于45°，
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝
＝
＝＝45°；
（3）∠DOE的大小发生变化，∠DOE＝45°或135°．
如图①，则为45°；如图②，则为135°．（说明过程同（2））
【点评】正确作图，熟记角的特点与角平分线的定义是解决此题的关键．
例7．如图，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．
（1）如果∠AOC＝48°，∠BOC＝42°，求∠DOE的度数；
（2）如图∠AOB的大小不变，与（1）相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若不变，请求出其度数；
（3）如果∠AOB的大小仍不变，而射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（∠AOC不大于90°），OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，请画出相应的图形，此时∠DOE的大小是否发生变化？并说明理由．
【分析】（1）要求∠DOE的度数，只需根据角平分线的定义求得∠COD和∠COE的度数；
（2）根据角平分线的定义可以证明∠DOE＝∠AOB；
（3）根据角平分线的定义结合图形即可证明∠DOE＝∠AOB．
【解答】解：（1）因为OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∠AOC＝48°，∠BOC＝42°，
所以∠DOC＝∠AOC＝×48°＝24°，
∠COE＝∠BOC＝×42°＝21°．
所以∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝24°+21°＝45°；
（2）因为OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
所以∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠BOC．
所以∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOC+∠BOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB．
因为∠AOB＝∠AOC+∠BOC＝48°+42°＝90°，
所以∠DOE＝∠AOB＝×90°＝45°．
故∠DOE的大小不变，仍为45°；
（3）∠DOE的大小不变，仍为45°
理由：因为OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，
所以∠DOC＝∠AOC，∠COE＝∠BOC，
所以∠DOE＝∠EOC﹣∠DOC
＝∠BOC﹣∠AOC
＝（∠BOC﹣∠AOC）
＝∠AOB．
因为∠AOB＝90°，
所以∠DOE＝∠AOB＝×90°＝45°．
故∠DOE的大小不变，仍为45°．
【点评】此题主要是考查了角平分线的定义和角的和差计算方法．
过关检测
1．（1）如图1，∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，若∠AOB＝140°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，OP平分∠AOB，若∠AOB＝β，求∠COP的度数（用含β的的代数式表示）；
（3）如图3，∠AOC＝80°，∠BOD＝20°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．
【分析】（1）设∠BOD＝x°，则∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°，根据题意列方程即可得到结论；
（2）设∠BOD＝x°，则∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°，根据题意列方程得到∠AOC＝β；然后根据角平分线的定义即可得到结论；
（3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论．
【解答】解：（1）由∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，
设∠BOD＝x°，
则∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°，
∵∠AOB＝140°，
∴x+2x+4x＝140，
解得：x＝20，
∴∠BOD＝20°，∠COD＝40°，∠AOC＝80°，
∴∠BOC＝20°+40°＝60°；
（2）设∠BOD＝x°，
则∠AOC＝4x°，∠COD＝2x°，
∴x+2x+4x＝β，
∴x＝β，
∴∠AOC＝β；
∵OP平分∠AOB，
∴∠AOP＝，
∴∠COP＝β﹣＝β；
（3）∵OF平分∠BOC，∠BOD＝20°，
∴∠COF＝（∠BOD+∠COD）＝10°+COD，
∵OE平分∠AOD，∠AOC＝80°，
∴∠AOE＝（∠AOC+∠COD）＝40°+COD，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝80°﹣（40°+COD）＝40°﹣COD，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝40°﹣COD+10°+COD＝50°．
【点评】本题考查了角的计算，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键．
2．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10）；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
【分析】（1）首先根据角平分线的定义求得∠AOE和∠BOF的度数，然后根据∠AOE﹣∠BOF求解；
（2）首先由题意得∠BOC＝3t°，再根据角平分线的定义得∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，然后由角平分线的定义得∠AOE＝∠AOC＝（110°+3t°）、∠BOF＝∠BOD＝（40°+3t°），最后根据∠AOE﹣∠BOF求解可得；
【解答】解：（1）∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOB＝×110°＝55°，∠BOF＝∠COD＝×40°＝20°，
∴∠AOE﹣∠BOF＝55°﹣20°＝35°；
（2）∠AOE﹣∠BOF的值是定值，
如图2，
由题意∠BOC＝3t°，
则∠AOC＝∠AOB+3t°，∠BOD＝∠COD+3t°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，
∴∠AOE＝∠AOC＝（110°+3t°），∠BOF＝∠BOD＝（40°+3t°），
∴∠AOE﹣∠BOF＝（110°+3t°）﹣（40°+3t°）＝35°，
∴∠AOE﹣∠BOF的值是定值．
【点评】本题考查了角度的计算以及角的平分线的性质，理解角度之间的和差关系是关键．
3．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝70°，
（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；
（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发（当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动），设运动的时间为t秒．
（ⅰ）如图2，在整个运动过程中，当∠BON＝2∠COM时，求t的值；
（ⅱ）如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由角平分线定义求出∠AOD．再由平角求得∠BOD；
（2）（i）分两种情况：OM没超过OC时，OM超过OC时，列出t的方程，解方程便可得答案；
（ⅱ）由题意知OP在OQ的右边，据此画出草图，分别用t表示∠COP和∠COQ，由两角相等，列出t的方程进行解答便可．
【解答】解：（1）∵∠AOC＝70°，OD平分∠AOC，
∴∠AOD＝35°，
∴∠DOB＝180°﹣∠AOD＝145°；
（2）∵∠AOC＝70°，
∴∠B0C＝180°﹣70°＝110°，
（i）∵70°÷6＝（秒），110°÷4＝（秒）
当0＜t时，如图1，
则∠BON＝180°﹣70°﹣4t＝110°﹣4t，∠COM＝70°﹣6t，
∵∠BON＝2∠COM，
∴110°﹣4t＝2（70°﹣6t），
∴t＝（秒）；
当时，如图2，
则∠BON＝180°﹣70°﹣4t＝110°﹣4t，∠COM＝6t﹣70°，
∵∠BON＝2∠COM，
∴110°﹣4t＝2（6t﹣70°），
∴t＝（秒）
综上，t＝或；
（ⅱ）如图3，∠AOM＝6t，∠BON＝110°﹣4t，
∵OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，
∴∠AOP＝3t，∠NOQ＝55°﹣2t，
∴∠COP＝70°﹣3t，∠COQ＝4t+（110°﹣4t）＝55°+2t，
∵OC平分∠POQ，
∴70°﹣3t＝55°+2t，
∴t＝3（秒）
∴当t＝3秒时，OC平分∠POQ．
【点评】本题考查了角的和差，角的平分线，平角的性质，旋转的性质，一元一次方程的应用，关键是弄清角之间的关系，难点是分情况讨论．
学习任务
1．如图，点、、在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】结合图形，根据平角的定义、余角的性质和等量代换可以进行判断，注意运用角的和差的运算．
【解答】解：
，即
，
①②④正确．
故选：．
【点评】解题时注意运用余角的性质：同角的余角相等．
2．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则 70 度．
【分析】是两个直角的公共部分，同时两个直角的和是，所以．
【解答】解：由题意可得，
又，
，
．
故答案为：70．
【点评】求解时正确地识图是求解的关键．
3．如图，已知，，平分，平分，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】根据，，平分，平分，即可求得的度数．
【解答】解：平分，，
，
平分，，
，
．
则的度数为．
故选：．
【点评】本题考查了角的计算、角平分线的定义，解决本题的关键是掌握角平分线的定义．
4．如图，已知，平分，且，则的度数为
A． B． C． D．
【分析】设，则，．由平分，根据角平分线定义得出，于是由列出方程，解方程求出的值即可．
【解答】解：设，
，
．
．
又平分，
．
，
，
解得，
．
故选：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，要设恰当的未知数，用同一个未知数表示相关的角，根据已知的角列方程进行计算是解此题的关键．
5．如图 1 ，已知，，是内部的一条射线， 且平分．
（1） 若，则 ；
（2） 若，则 ；
（3） 若，则 （用 含的式子表示） ．
（4） 当射线绕点逆时针旋转到如图 2 的位置时， 请把图补充完整；此时，与有怎样的数量关系？请说明理由 ．
【解答】解： （1），，
，
平分，
，
，
，
；
（2），，
，
平分，
，
；
（3），，
，
平分，
，
；
故答案为：，，；
（4） 如图所示；
．
证明： 设，则，
又平分，
．
即．
6．已知将一副三角板（直角三角板和直角板，，，，
（1）如图1摆放，点、、在一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板绕点逆时针方向转动，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分．射线平分，如果三角板在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
【解答】解：（1），，
；
（2）恰好平分，
，
；
故答案为：；；
（3）的度数不发生变化，．理由如下：
平分，平分，
，，
，
．
【点评】本题考查了角的计算：会进行角的倍、分、差计算．也考查了角平分线的定义．
7．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值．
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，试探索：在旋转过程中，与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，根据等角的余角相等可知，由对顶角相等可知，从而可证明，故此
平分；
（2）由直线恰好平分锐角可知旋转或时直线平分，根据旋转速度可求得需要的时间；
（3）由，，可知、，最后求得两角的差，从而可做出判断．
【解答】解：（1）直线平分．
理由：如图所示，设的反向延长线为．
平分，
．
又，
．
．
又（对顶角相等），
．
平分，即直线平分．
（2），
．
．
即旋转或时直线平分．
由题意得，或240．
解得：或40；
（3）的差不变．
，，
、．
．
【点评】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，用含的式子表示出和的长是解题的关键．
8．如图1，点为直线上一点，射线于点，将一直角三角板的角的顶点放在点处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分，则的值为 （直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）先根据角平分线的性质得到，，于是．进而求出与的值，．直线不平分；
（2）分与的延长线平分两种情况；
（3）、，．
【解答】解：（1）直线不平分．
理由如下：延长到．
当平分时，，
．
而，．
所以：．
．
．
直线不平分；
（2）3或39；
延长到，
，
当直线恰好平分角，
，
即逆时针旋转时延长线平分，
由题意得，
，
当平分，
即逆时针旋转时平分，
，
，
或39；
（3）
，，
、，
，
所以与之间的数量关系为：．
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
9．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分．①求的值；②此时是否平分？请说明理由；
（2）在（1）问条件的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；
（3）在（2）问条件的基础上，经过多长时间平分？请画图并说明理由．
【分析】（1）根据图形和题意得出，，再根据，即可得出平分；
（2）根据图形和题意得出，，再根据转动速度从而得出答案；
（3）分别根据转动速度关系和平分画图即可．
【解答】解：（1）①，，
，
，
，
，
，
解得：秒；
②是，理由如下：
，，
平分；
（2）5秒时平分，理由如下：
，，
，
，
三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设为，为，
，
可得：，
解得：秒；
（3）平分
，，
三角板绕点以每秒的速度，射线也绕点以每秒的速度旋转，
设为，为，
，
，
可得：，
解得：秒；
如图：
【点评】此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键．第7节 角的和差及角平分线
目标层级图
课中讲解
一．角平分线的定义及应用
内容讲解
1．角平分线的定义： 。
例1. 如图，为的平分线，下列等式错误的是
A． B．
C． D．
例2．如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（ ）
A．∠AOC＝∠BOC B．∠AOB＝2∠BOC
C．∠AOC+∠COB＝∠AOB D．∠AOC＝∠AOB
例3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，其中A、D、B三点在同一直线上，BM为∠ABC的平分线，BN为∠CBE的平分线，则∠MBN的度数是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
过关检测
1．已知三条不同的射线OA、OB、OC，有下列条件，其中能确定OC平分∠AOB的有（ ）
①∠AOC＝∠BOC
②∠AOB＝2∠AOC
③∠AOC+∠COB＝∠AOB
④∠BOC＝∠AOB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，将一张长方形纸的一角斜折过去，使顶点落在处，为折痕，如果为的平分线，则
A． B． C． D．
3．如图，在直线上，，与的角平分线交于点，若再作、的平分线，交于点；再作、的平分线，交于点；依此类推，为 ．
二．角的和差倍分计算
内容讲解
例1. 将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为B′、D′，若∠B′AD′＝10°，则∠EAF的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
过关检测
1．如图，将长方形纸片ABCD的角C沿着GF折叠（点F在BC上，不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数α是（ ）
A．90°＜α＜180°
B．0°＜α＜90°
C．α＝90°
D．α随折痕GF位置的变化而变化
例2．如图，只用一副三角板可以直接画出150°的角，则下列度数的角只用一副三角板不能直接画出的是（ ）
A．75° B．120° C．135° D．160°
过关检测
1．用一副三角板拼成的图形如图所示，其中B、C、D三点在同一条直线上．则图中∠ACE的大小为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
例3. 已知∠AOB＝20°，∠AOC＝4∠AOB，OD平分∠AOB，OM平分∠AOC，则∠MOD的度数是（ ）
A．50° B．20°或50° C．30°或50° D．30°
过关检测
1．已知∠AOB＝60°，，射线OD平分∠BOC，则∠COD的度数为（ ）
A．20° B．40° C．20°或30° D．20°或40°
2．已知OC是∠AOB的平分线，∠BOD＝ ∠COD，OE平分∠COD，设∠AOB＝β，则∠BOE＝ .（用含β的代数式表示）
例4. 如图，已知∠AOB＝108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内．
（1）若，求∠AOC的度数；
（2）若∠BOC﹣∠AOC＝72°，则OB与OC有怎样的位置关系？为什么？
过关检测
1． 如图，已知OB是∠AOC的平分线，OD是∠COE的平分线，如果∠AOE＝140°，∠BOC比∠COD的2倍还多10°，那么∠AOB是多少度？
例5．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ °；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
过关检测
1．如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D为平面内一点，∠AOC+∠BOD＝90°；
（1）若∠AOC：∠BOD＝4：5，则∠BOD等于 度；
（2）若∠AOC＝α（0°＜α≤45°），ON平分∠COD
①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的值（用含α的式子表示）；
②若∠AON+∠COD＝180°，求出α的值．
例6．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数；
（3）如图③，当射线OC在∠AOB外绕O点旋转时，画出图形，判断∠DOE的大小是否发生变化．若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
例7．如图1，∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，若∠AOB＝140°，求∠BOC的度数；
（2）如图2，∠AOC：∠COD：∠BOD＝4：2：1，OP平分∠AOB，若∠AOB＝β，求∠COP的度数（用含β的的代数式表示）；
（3）如图3，∠AOC＝80°，∠BOD＝20°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOC，求∠EOF的度数．
过关检测
1．如图，OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线．
（1）如果∠AOC＝48°，∠BOC＝42°，求∠DOE的度数；
（2）如图∠AOB的大小不变，与（1）相同，而射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠DOE的大小是否发生变化？若不变，请求出其度数；
（3）如果∠AOB的大小仍不变，而射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（∠AOC不大于90°），OD是∠AOC的平分线，OE是∠BOC的平分线，请画出相应的图形，此时∠DOE的大小是否发生变化？并说明理由．
2．已知∠AOB＝110°，∠COD＝40°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD．
（1）如图①，当OB、OC重合时，求∠AOE﹣∠BOF的值；
（2）当∠COD从图①所示位置绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转t秒（0＜t＜10＝；在旋转过程中∠AOE﹣∠BOF的值是否会因t的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由．
3．已知：点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝70°，
（1）如图1，若OD平分∠AOC，求∠DOB的度数；
（2）射线OM从OA出发，绕点O以每秒6°的速度逆时针旋转，同时，射线ON从OC出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，OM与ON同时出发（当ON首次与OB重合时，两条射线都停止运动），设运动的时间为t秒．
（ⅰ）如图2，在整个运动过程中，当∠BON＝2∠COM时，求t的值；
（ⅱ）如图3，OP平分∠AOM，OQ平分∠BON，是否存在合适的t，使OC平分∠POQ，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由．
学习任务
1．如图，点、、在同一条直线上，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
2．将两块直角三角尺的直角顶点重合为如图的位置，若，则 度．
3．如图，已知，，平分，平分，则 的度数为
A． B． C． D．
4．如图，已知，平分，且，则的度数为
A． B． C． D．
5．如图 1 ，已知，，是内部的一条射线， 且平分．
（1） 若，则 ；
（2） 若，则 ；
（3） 若，则 （用 含的式子表示） ．
（4） 当射线绕点逆时针旋转到如图 2 的位置时， 请把图补充完整；此时，与有怎样的数量关系？请说明理由 ．
6．已知将一副三角板（直角三角板和直角板，，，，
（1）如图1摆放，点、、在一条直线上，的度数是 ；
（2）如图2，变化摆放位置将直角三角板绕点逆时针方向转动，若要恰好平分，则的度数是 ；
（3）如图3，当三角板摆放在内部时，作射线平分．射线平分，如果三角板在内绕点任意转动，的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
7．如图1，点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分．问：此时直线是否平分？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分锐角，求的值．
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，试探索：在旋转过程中，与的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
8．如图1，点为直线上一点，射线于点，将一直角三角板的角的顶点放在点处，斜边在射线上，直角顶点在直线的下方．
（1）将图1中的三角板绕点逆时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，问：直线是否平分？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第秒时，直线恰好平分，则的值为 （直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究：与之间的数量关系，并说明理由．
9．如图1，为直线上一点，过点作射线，，将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边与都在直线的上方．
（1）将图1中的三角板绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过秒后，恰好平分．①求的值；②此时是否平分？请说明理由；
（2）在（1）问条件的基础上，若三角板在转动的同时，射线也绕点以每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间平分？请说明理由；
（3）在（2）问条件的基础上，经过多长时间平分？请画图并说明理由．
