第8讲 角的计算（二）
目标层级图
一．角的计数
内容讲解
【观察规律】观察下列图形，当图形中射线条数n=3，n=4时，图中小于180°角的个数及规律如表，请在表中空白处填出射线条数n为5和n的情形。
图形
n 3 4 5 n
个数及规律 3＝1+2＝ 6＝1+2+3＝
例1. 在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（ ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
例2. 观察下列各图，在第1个图中有一个角，第2个图中共有3个角，第3个图中共有6个角，则第4个图中角的个数是 ，第n个图中角的个数为 。
过关检测
1. 如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190 B．380 C．231 D．462
2. 从公共端点O引出10条射线所组成的角的个数有（ ）
A．35个 B．40个 C．45个 D．50个
3．如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B．
C． D．
4. 如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ）
A．10 B．15 C．5 D．20
二．钟面角
内容讲解
钟表问题中时针、分针的速度和格子的度数：
（1）分针每60分钟转一圈，则分针的转速为 °/分；
（2）时针每12小时（即12×60分）转一圈，则时针速度为 °/分；
（3）时钟共12个大格，所以每个大格的度数为 °；
（4）时钟共60个小格，所以每个小格的度数为 °。
例1. 钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
例2. 时钟的时针和分针垂直的时刻是（ ）
A．6：15 B．9点 C．9：30 D．6：45
例3. 某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
例4．在下列说法中：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
④钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
例5．知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度 ；
（2）分针每分钟转过的角度为 ，时针每分钟转过的角度为 ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
过关检测
1. 时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86° B．68° C．67° D．87°
2. 时钟在下午4点到5点之间分针和时针成直角的时刻 。
3. 现在的时刻为，时间再过半小时，在这半小时的时间里，时针转过的角度为
A． B． C． D．
4. 某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？
5. 时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
（1）分针每分钟转了几度？
（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？
（3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
三．方位角
内容讲解
方位角一般以 为基准，描述物体运动方向。即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围 。“北偏东45度”为 方向，“北偏西45度” 方向，“ ”为东南方向，“ ”为西南方向。
例1. 小明同学从A地出发沿北偏东30°的方向到B地，再由B地沿南偏西40°的方向到C地，则∠ABC＝（ ）
A．10° B．20° C．35° D．70°
例2. 岛A和岛B处于东西方向的一条直线上，由岛A、岛B分别测得船C位于北偏东40°和北偏西50°方向上，下列符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
例3. 如果从小刚所在的位置看小明的方向是北偏东32°，那么从小明所在的位置看小刚的方向是（ ）
A．北偏东32° B．南偏西32° C．东偏北32° D．无法判断
例4. 如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿东偏南21°方向行走至C处，则∠ABC的度数为（ ）
A．131° B．129° C．109° D．101°
例5．如图所示，一幅地图上有A，B，C三地，地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°方向，在B地的南偏东45°方向，你能确定C地位置吗？
例6．如图，快艇从处向正北方向航行到处时，向左转航行到处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
例7．如图所示，甲、乙两船同时由港口出发开往海岛，甲船沿东北方向向海岛航行，其速度为15海里小时；乙船速度为20海里小时，先沿正东方向航行1小时后，到达港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往岛，其速度仍为20海里小时．
（1）求甲船由港口到海岛的行驶时间；
（2）求乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间．
过关检测
1. 如图，小数沿正东方向散步行至A处后，沿北偏东40°方向继续前行至B处，接着沿北偏西30°方向继续前行至C处，之后小数决定沿正东方向行走，则方向的调整应该是（ ）
A．右转60° B．左转60° C．右转120° D．左转120°
2. 如图，一张地图上标记A、B、C三个小岛，A岛在C岛的北偏西15°方向，在B岛的东北方向，若∠ACB＝90°，则C岛在B岛的（ ）
A．北偏东75°方向 B．北偏东65°方向
C. 北偏东60°方向 D．北偏东30°方向
3. 学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
4．如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的南偏东的方向上，那么的大小为
B． C． D．
5. 甲看乙的方向是北偏东40°，那么乙看甲的方向是 度．
6. 在一张城市地图上，如图，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水污染，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的东北方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗？
学习任务
1. 如图所示，其中角的个数是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．9
2. 在2时和3时之间，若时针与分针成直角，则此时的时间是 。
3. 甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 。
4．如图，佳佳从处沿正南方向骑行到处，再右转骑行到处，然后左转继续骑行，此时佳佳骑行的方向为
A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东
5. 如图（1）：给出一个角∠AOB，这时图中的角的个数为1，记作P0＝1。
如图（2）如果在∠AOB的内部，从角的顶点O出发任作一条射线，这时共有P1个角，即P1＝1+2＝3
如图（3）如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作两条不同的射线，这时共有P2个角，即P2＝1+2+3＝6
如此类推：P3＝ ＝ ；P4＝ ＝ 。
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作n条不同的射线，这时共有Pn个角，那么Pn等于多少？
6．如图，表示某引水工程的一段设计路线．从点到点的走向是南偏东．在点的南偏东方向上有一点，某测量员在上取一点，测得方向为南偏东，求从点处观测点，两处时的视角的度数．
7. 如图，一只蚂蚁从O出发，沿着北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm，（此时位置记作C），
（1）画出蚂蚁爬行的路线，
（2）求出∠OBC的度数。
8．如图，A，B两处是我国在南海上的两个观测站，从A处发现它的北偏西30°方向有一艘轮船，同时，从B处发现这艘轮船在它的北偏西60°方向．
（1）试在图中确定这艘轮船的位置C处．（保留画图痕迹）
（2）求∠ACB度数．第8节 角的表示方法多，角平分线不忘是射线
目标层级图
课中讲解
一．授课内容1 角的计数
内容讲解
【观察规律】观察下列图形，当图形中射线条数n=3，n=4时，图中小于180°角的个数及规律如表，请在表中空白处填出射线条数n为5和n的情形。
图形
n 3 4 5 n
个数及规律 3＝1+2＝ 6＝1+2+3＝ 10＝1+2+3+4＝ 1+2+3+…+n-1＝
在∠AOB的内部从顶点O引出3条射线，则图中共有角的个数是（ B ）
A．9个 B．10个 C．11个 D．12个
【解答】解：∵以OA为始边的角有∠AOD、∠AOC、∠AOE、∠AOB，
以OD为始边的角有∠BOD、∠EOD、∠COD，
以OC为始边的角有∠COE、∠COB，
以OE为始边的角有∠BOE，
所以共有4+3+2+1＝10个角．
故选：B．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
观察下列各图，在第1个图中有一个角，第2个图中共有3个角，第3个图中共有6个角，则第4个图中角的个数是 10 ，第n个图中角的个数为 ．
【解答】解：其中第1个图中共有＝1个角，
第2个图中共有＝3个角，
第3个图中共有＝6个角，
第3个图中共有＝10个角
…，
由此规律得出第n个图有个角．
故答案为：10；．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布
过关检测（5mins）
（2019秋 金乡县期末）如图，已知∠MON，在∠MON内画一条射线时，则图中共有3个角；在∠MON内画两条射线时，则图中共有6个角；在∠MON内画三条射线时，则图中共有10个角；……．按照此规律，在∠MON内画20条射线时，则图中角的个数是（ ）
A．190 B．380 C．231 D．462
【解答】解：由题可得，画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝（n+1）（n+2），
∴当n＝20时，（n+1）（n+2）＝×21×22＝231．
故选：C．
从公共端点O引出10条射线所组成的角的个数有（ ）
A．35个 B．40个 C．45个 D．50个
【解答】解：9+8+7+6+5+4+3+2+1
＝（9+1）×9÷2
＝45．
故选：C．
如图，已知∠MON，在∠MON内逐一画射线，下面三个图中分别有3个、6个、10个角（不大于平角的角）．当∠MON内有n条射线时，角的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：画n条射线所得的角的个数为：
1+2+3+…+（n+1）＝．
故选：D．
如图所示，在∠AOB的内部有4条射线，则图中角的个数为（ ）
A．10 B．15 C．5 D．20
【解答】解：图中角的个数是：×6×（6﹣1）＝15．
故选：B．声明：试
二．授课内容2 钟面角
内容讲解
钟表问题中时针、分针的速度和格子的度数：
（1）分针每60分钟转一圈，则分针的转速为 6 °/分；
（2）时针每12小时（即12×60分）转一圈，则时针速度为 0.5 °/分；
（3）时钟共12个大格，所以每个大格的度数为 30 °；
（4）时钟共60个小格，所以每个小格的度数为 6 °。
钟表上8点30分时，时针与分针的夹角为（ ）
A．15° B．30° C．75° D．60°
【解答】解：∵8点30分，时针在8和9正中间，分针指向6，中间相差两个半大格，而钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
∴8点30分时，时针与分针的夹角的度数为：30°×2.5＝75°．
故选：C．
时钟的时针和分针垂直的时刻是（ ）
A．6：15 B．9点 C．9：30 D．6：45
【解答】解：时钟的时针与分针互相垂直，即时针与分针的夹角是90°，
9点整时，时针指向9，分针指向12．
钟表12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°，
因此9点整分针与时针的夹角正好是90度，时针和分针正好垂直．
故选：B．
某同学晚上6点多钟开始做作业，他家墙上时钟的时针和分针的夹角是120°，他做完作业后还是6点多钟，且时针和分针的夹角还是120°，此同学做作业大约用了（ ）
A．40分钟 B．42分钟 C．44分钟 D．46分钟
【解答】解：设开始做作业时的时间是6点x分，
∴6x﹣0.5x＝180﹣120，
解得x≈11；
再设做完作业后的时间是6点y分，
∴6y﹣0.5y＝180+120，
解得y≈55，
∴此同学做作业大约用了55﹣11＝44分钟．
故选：C．
例4．在下列说法中：
①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是平角；
②钟表上六点整时，时针和分针形成的角是平角；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是直角；
④钟表上九点整时，时针和分针形成的角是直角．
其中正确的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】利用时钟的特征解答即可．
【解答】解：①钟表上九点一刻时，时针和分针形成的角是，不是平角，原说法错误；
②钟表上六点整时，时针指向6，分针指向12，形成的角是平角，原说法正确；
③钟表上差一刻六点时，时针和分针形成的角是，不是直角，原说法错误；
④钟表上九点整时，时针指向9，分针指向12，形成的角是直角，原说法正确．
正确的个数是2个．
故选：．
例5.知识的迁移与应用
问题一：甲、乙两车分别从相距180km的 A、B两地出发，甲车速度为36km/h，乙车速度为24km/h，两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后）， 5或25 后两车相距120km？
问题二：将线段弯曲后可视作钟表的一部分，如图，在一个圆形时钟的表面上，OA表示时针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）．下午3点时，OA与OB成直角．
（1）3：40时，时针与分针所成的角度 130° ；
（2）分针每分钟转过的角度为 6° ，时针每分钟转过的角度为 0.5° ；
（3）在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过多少分钟，时针与分针成60°角？
【解答】解：问题一：设xh后两车相距120km，
若相遇前，则36x﹣24x＝180﹣120，
解得x＝5，
若相遇后，则36x﹣24x＝180+120，
解得x＝25．
故两车同时出发，同向而行（乙车在前甲车在后），5或25后两车相距120km；
（1）30°×（5﹣）＝130°．
故3：40时，时针与分针所成的角度130°；
（2）分针每分钟转过的角度为6°，时针每分钟转过的角度为0.5°；
（3）设在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过x分钟，时针与分针成60° 角．
①当分针在时针上方时，
由题意得：（3+）×30﹣6x＝60，
解得：x＝；
②当分针在时针下方时，
由题意得：6x﹣（3+）×30＝60
解得：x＝．
答：在下午3点至4点之间，从下午3点开始，经过或分钟，时针与分针成60° 角．
故答案是：5或25；130°；6°；0.5°．
过关检测（10mins）
时钟显示为8：28时，时针与分针所夹的角的大小是（ ）
A．86° B．68° C．67° D．87°
【解答】解：8：28时，时针与分针相距2++＝份，
8：28时，时针与分针所夹的角是30×＝86°，
故选：A．
时钟在下午4点到5点之间分针和时针成直角的时刻 4时5分或4时38分 ．
【解答】解：设从4点再经过x分钟，时针和分针成直角，
列方程得到：|4×30﹣5.5x|＝90°，
解得x＝5或＝38，
故答案为4时5分或4时38分．
3．现在的时刻为，时间再过半小时，在这半小时的时间里，时针转过的角度为
A． B． C． D．
【分析】时针在钟面上每小时转动，依此求出时针转过的角度即可．
【解答】解：．
故时针转过的角度为．
故选：．
4.某校七年级学生李刚在周六下午六点多钟外出买东西时，看手表上的时针和分针的夹角是110°，下午近七点回家时，发现时针和分针的夹角又是110°，你能知道李刚同学外出用了多长时间吗？你是怎么知道的呢？
【解答】解：设时针从李刚外出到回家走了x°，则分针走了（2×110°+x°），
由题意，得，
解得x＝20°，
因时针每小时走30°，
则小时，即李刚外出用了40分钟时间．
方法二：时针每分钟走0.5°，分针每分钟走6°，追及距离为110°+110°，
设追及时间为x，列方程为（6﹣0.5）x＝110+110，
解得x＝40．
即李刚外出用了40分钟时间．
5.时钟上的分针和时针像两个运动员，绕着它们的跑道昼夜不停地运转．以下请你解答有关时钟的问题：
（1）分针每分钟转了几度？
（2）中午12时整后再经过几分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°？
（3）在（2）中所述分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过几分钟两针所成的钝角会第二次等于121°？
【解答】解：（1）分针每分钟转的度数为360÷60＝6（度）；
（2）时针每分钟转的度数为360÷（60×12）＝0.5（度），设经过x分钟后分针和时针所成的钝角第一次为121度，则（6﹣0.5）x＝121，即5.5x＝121，解得x＝22（分），
故中午12时整后再经过22分钟，分针与时针所成的钝角会等于121°；
（3）设经过y分钟后分针和时针所成的钝角第二次为121度，两针第二次成121度，也就是360﹣121＝239（度）时，在第一次成121度基础上那就是再经过239﹣121＝118（度），则（6﹣0.5）y＝118，即5.5y＝118，解得y＝（分）
故分针与时针所成的钝角等于121°后，再经过分钟两针所成的钝角会第二次等于121°．
三．授课内容3 方位角
内容讲解
方位角一般以正北、正南为基准，描述物体运动方向。即“北偏东度”、“北偏西度”、“南偏东度”、“南偏西度”，方位角的取值范围。“北偏东45度”为东北方向，“北偏西45度”西北方向，“南偏东45度”为东南方向，“南偏西45度”为西南方向。
小明同学从A地出发沿北偏东30°的方向到B地，再由B地沿南偏西40°的方向到C地，则∠ABC＝（ ）
A．10° B．20° C．35° D．70°
【解答】解：如图所示，
∵AD∥BE，∠DAB＝30°，
∴∠ABE＝∠DAB＝30°，
∴∠ABC＝40°﹣30°＝10°．
故选：A．
岛A和岛B处于东西方向的一条直线上，由岛A、岛B分别测得船C位于北偏东40°和北偏西50°方向上，下列符合条件的示意图是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：符合题意的示意图为：
．
故选：D．
如果从小刚所在的位置看小明的方向是北偏东32°，那么从小明所在的位置看小刚的方向是（ ）
A．北偏东32° B．南偏西32° C．东偏北32° D．无法判断
【解答】解：从A观测到B处的方向为南偏西32°．
故选：B．
如图，小明从A处沿北偏东40°方向行走至B处，又从B处沿东偏南21°方向行走至C处，则∠ABC的度数为（ ）
A．131° B．129° C．109° D．101°
【解答】解：如图：
∵小明从A处沿北偏东40°方向行走至点B处，又从点B处沿东偏南21方向行走至点C处，
∴∠DAB＝40°，∠CBF＝21°，
∵向北方向线是平行的，即AD∥BE，
∴∠ABE＝∠DAB＝40°，
∵∠EBF＝90°，
∴∠EBC＝90°﹣21°＝69°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝40°+69°＝109°，
故选：C．
如图所示，一幅地图上有A，B，C三地，地图被墨迹污染，C地具体位置看不清楚了，但知道C地在A地的北偏东30°方向，在B地的南偏东45°方向，你能确定C地位置吗？
【解答】解：如图所示，C地在AC，BC两条射线的交点上．
例6．如图，快艇从处向正北方向航行到处时，向左转航行到处，再向右转继续航行，此时快艇航行的方向为
A．北偏东 B．北偏西 C．北偏东 D．北偏西
【分析】根据平行线的性质，可得，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：如图，
，
．
，
此时的航行方向为北偏东，
故选：．
例7．如图所示，甲、乙两船同时由港口出发开往海岛，甲船沿东北方向向海岛航行，其速度为15海里小时；乙船速度为20海里小时，先沿正东方向航行1小时后，到达港口接旅客，停留半小时后再转向北偏东方向开往岛，其速度仍为20海里小时．
（1）求甲船由港口到海岛的行驶时间；
（2）求乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间．
【分析】（1）作于，构造两个直角三角形并用解直角三角形用表示出和，利用和之间的关系列出方程求解；
（2）根据时间即可得到结论．
【解答】解：（1）过点作于
在中，，设，则，
在中，
则，，
由得
解得：
甲船由港口到海岛的行驶时间，
答：甲船由港口到海岛的行驶时间为小时；
（2），，
，
乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间，
答：乙船由港口到经港到达海岛的行驶时间为小时．
【点评】此题考查了方向角，勾股定理，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，利用解直角三角形的相关知识解答．
过关检测（10mins）
如图，小数沿正东方向散步行至A处后，沿北偏东40°方向继续前行至B处，接着沿北偏西30°方向继续前行至C处，之后小数决定沿正东方向行走，则方向的调整应该是（ ）
A．右转60° B．左转60° C．右转120° D．左转120°
【解答】解：由题意得：∠CBD＝30°，
过C作CD⊥BD于D，
∵小数决定沿正东方向行走，
∴∠CDB＝90°，
∴∠DCB＝60°，
∴∠ECD＝120°，
∴方向的调整应该是右转120°，
故选：C．
如图，一张地图上标记A、B、C三个小岛，A岛在C岛的北偏西15°方向，在B岛的东北方向，若∠ACB＝90°，则C岛在B岛的（ ）
A．北偏东75°方向 B．北偏东65°方向
C．北偏东60°方向 D．北偏东30°方向
【解答】解：∵A岛在C岛的北偏西15°方向，
∴∠1＝15°，
∴∠2＝90°﹣15°＝75°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠3＝90°﹣75°＝15°，
∴∠4＝15°．
故C岛在B岛的北偏东90°﹣15°＝75°方向．
故选：A．
学校，电影院，公园在平面图上的标点分别是A，B，C，电影院在学校的正东方向，公园在学校的南偏西25°方向，那么平面图上的∠CAB等于（ ）
A．115° B．155° C．25° D．65°
【解答】解：从图中发现平面图上的∠CAB＝∠1+∠2＝115°．
故选A．
4．如图，点在点的北偏西的方向上，点在点的南偏东的方向上，那么的大小为
A． B． C． D．
【分析】结合图形，然后求出与西方的夹角的度数，再列式计算即可得解．
【解答】解：如图，点在点北偏西的方向上，
与西方的夹角为，
又点在点的南偏东的方向上，
．
故选：．
【点评】本题考查了方向角，熟记概念是解题的关键，结合图形更形象直观．用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．
5.甲看乙的方向是北偏东40°，那么乙看甲的方向是 南偏西40° 度．
【解答】解：甲看乙的方向是北偏东40°，则乙看甲的方向是南偏西40°，
故答案为：南偏西40°．
6.在一张城市地图上，如图，有学校、医院、图书馆三地，图书馆被墨水污染，具体位置看不清，但知道图书馆在学校的东北方向，在医院的南偏东60°方向，你能确定图书馆的位置吗？
【解答】解：在医院A处，以正南方向为始边，逆时针转60°角，得角的终边射线AO，
在学校B处，以正北方向为始边，顺时针旋转45°角，得角的终边射线BO，
则AO与BO的交点为点O，则点O就是图书馆的位置．
学习任务
1.如图所示，其中角的个数是（ ）
A．15 B．10 C．5 D．9
【解答】解：根据分析得共有＝15条个角，
选A．
2.在2时和3时之间，若时针与分针成直角，则此时的时间是 ．
【解答】解：设再次转成直角的时间为x，则
（6﹣）x＝60+90
∴x＝．
所以2时和3时之间时针与分针成直角的时间为2时分．
故答案为：2时分．
3.甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西50° ．
【解答】解：甲看乙在北偏东50度，那么乙看甲的方向为 南偏西50°．
故答案为：南偏西50°．
4．如图，佳佳从处沿正南方向骑行到处，再右转骑行到处，然后左转继续骑行，此时佳佳骑行的方向为
A．南偏西 B．南偏西 C．南偏东 D．南偏东
【分析】根据平行线的性质，可得的度数，根据角的和差，可得答案．
【解答】解：过点作，如图：
，，
．
，
，
此时佳佳骑行的方向为南偏东，
故选：．
【点评】本题考查了方向角，利用平行线的性质得出的度数是解题的关键．
5.如图（1）：给出一个角∠AOB，这时图中的角的个数为1，记作P0＝1．
如图（2）如果在∠AOB的内部，从角的顶点O出发任作一条射线，这时共有P1个角，即P1＝1+2＝3
如图（3）如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作两条不同的射线，这时共有P2个角，即P2＝1+2+3＝6
如此类推：P3＝ 1+2+3+4 ＝ 10 ；P4＝ 1+2+3+4+5 ＝ 15 ．
如果在∠AOB的内部从角的顶点O出发，任作n条不同的射线，这时共有Pn个角，那么Pn等于多少？
【解答】解：观察发现：
P1＝1+2＝3；
P2＝1+2+3＝6；
P3＝1+2+3+4＝10；
P4＝1+2+3+4+5＝15；
…
Pn＝1+2+3+4+…+（n+1）＝（n+1）（n+2）；
故答案为：1+2+3+4，10；1+2+3+4+5，15；
6．如图，表示某引水工程的一段设计路线．从点到点的走向是南偏东．在点的南偏东方向上有一点，某测量员在上取一点，测得方向为南偏东，求从点处观测点，两处时的视角的度数．
【分析】根据方向角得到，再求出，根据两直线平行，同位角相等可得，然后求出，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：如图，从到的走向是南偏东，
，
在的南偏东方向上有一点，
，
方向为南偏东，
，
．
【点评】本题考查了方向角，平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并理解方向角的定义找出图中角度是解题的关键．
7.如图，一只蚂蚁从O出发，沿着北偏东45°的方向爬行2.5cm，碰到障碍物（记作B）后折向北偏西60°的方向爬行3cm，（此时位置记作C），
（1）画出蚂蚁爬行的路线，
（2）求出∠OBC的度数．
【解答】解：（1）如图所示：折线OB，BC即为蚂蚁爬行的路线；
（2）由题意得：
∠EBO＝45°，∠CBE＝30°，
∴∠OBC＝75°．
8.如图，A，B两处是我国在南海上的两个观测站，从A处发现它的北偏西30°方向有一艘轮船，同时，从B处发现这艘轮船在它的北偏西60°方向．
（1）试在图中确定这艘轮船的位置C处．（保留画图痕迹）
（2）求∠ACB度数．
【解答】解：（1）如图，
（2）根据题意，知∠ABC＝30°，∠BAC＝90°+30°＝120°，
则∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣120°﹣30°＝30°．
家长签字：____________
