2022—2023学年人教版数学九年级上册21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 课件(共20页)

(共20张PPT)
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
1、一元二次方程的一般形式？
2、一元二次方程有实数根的条件是什么？
3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？
4、一元二次方程的求根公式是什么？
复习回顾
A、好奇葩的数字，不好解
B、3秒钟？用计算器都来不及
新课引入
新课引入
合作探究
韦达发现了代数方程中根与系数的关系，称为韦达定理
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝ ，x1x2＝
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的
标准形式为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又
是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
典例分析：
1.已知关于x的方程2x2+kx－4＝0的一个根
是－4，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x2，则：
解得：
答：方程的另一个根为 ，k的值是7.
随堂练习
1.下列各方程中，两根之和与两根之积 各是多少？　　　　　　　　　
(1)x2－3x＋1＝0；
x1+x2=3，x1x2=1；
解：
(2)3x2－2x－2＝0；
x1+x2= ，x1x2= ；
(3)2x2－9x＋5＝0；
x1+x2= ，x1x2= ；
(4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2= ，x1x2= ；
x1+x2=0，x1x2= .
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2= ，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根．
(1)x2＋5x＋4＝0，(1，4)；
(2)x2－6x－7＝0，(－1，7)；
(3)2x2－3x＋1＝0，( ，1)；
不是
是
是
(4)3x2＋5x－2＝0，( ，2)；
(5)x2－8x＋11＝0，(4－ ，4＋ ).
不是
是
3. 已知关于x的方程3x2－19x＋m＝0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
解：设另一个根是x2，则：
解得：
4. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
解：
(1)原式=x1x2+x1+x2+1= －2+1= ；
(2)原式=
(1)(x1＋1)(x2＋1)； (2) ．
x1+x2=－2，x1x2= ；
关于x的方程x2+px+q=0的根为x1=1+ ，x2=1- ，则p= ，q= .
已知方程5x2+kx－6=0的一根是2，则另一根是 ， k＝ .
-2
-1
-7
课后巩固
3. 求下列方程的两根x1，x2的和与积：
（1）x2－3x+2=0； （2）x2+x=5x+6
解：x1+x2=3
x1x2=2
解：化简得 x2-4x-6=0
x1+x2=4
x1x2=-6
4. 已知两个数的和为8，积为9.75，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为(8-x).
根据题意，得x(8-x)=9.75，整理，
得x2-8x+9.75=0.
解得x1=6.5, x2=1.5.
当x=6.5时，8-x=1.5；当x=1.5时，8-x=6.5.
∴这两个数是6.5和1.5.
5. x1，x2是方程x2－5x－7=0的两根，不解方程求下列各式的值：
（1） ；（2） .
解：∵x1，x2是方程x2-5x-7=0的两根.
则x1+x2=5，x1x2=-7.
6. 已知关于x的方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根之和等于
两根之积，求m的值.
解：设方程x2-(2m+3)x+m2=0的两根为x1，x2.
∴x1+x2=2m+3，x1x2=m2.
根据题意得m2=2m+3，解得m1=3，m2=-1.
当m=3时，原方程为x2-9x+9=0，b2-4ac=45>0.方程有实数根.
当m=-1时，原方程为x2-x+1=0，b2-4ac=-3<0.方程无实数根，此m值舍去.
∴m的值为3.
课堂小结
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别为x1，x2，则
若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则
x1+x2=-p, x1x2=q.