2022-2023学年人教版数学九年级上册22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 课件(共20页)

(共20张PPT)
22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
复习引入
一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
二次函数的定义:
1. 二次函数的图像都是抛物线.
2. 抛物线y=ax2的图像性质:
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点;
（3）当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
|a|越大,抛物线的开口越小;
(1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
x
y
o
a>0
a<0
a<0
x
y
o
例题与练习
1、函数y=2x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
向上
向下
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
x ….. -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… 4 1 0 1 4
y=x2+1 …… ……
y=x2
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的位置有什么关系
函数y=x2+1的图象可由y=x2的图象沿y轴向上平移1个单位长度得到.
操作
与
思考
函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗
形状相同
5 2 1 2 5
x ….. -2 -1 0 1 2 ……
y=x2 …… 4 1 0 1 4
y=x2-2 …… ……
y=x2
y=x2-2
2 -1 -2 -1 2
函数y=x2-2的图象可由y=x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的位置有什么关系
操作
与
思考
函数y=x2-2的图象与y=x2的图象的形状相同吗
形状相同
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到.
函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到.
图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图象形状 ，只是位置不同；
当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。
当k〈0时，函数y=ax2+k的图象可由y=ax2的图象
向 平移 个单位得到。
相同
上
上加下减
k
下
|k|
找规律
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，
当x= 时，取得最 值，这个值等于 ；
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧,y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。
y=-x2-2
y=-x2+3
y=-x2
y=x2-2
y=x2+1
y=x2
向上
y轴
(0,k)
减小
增大
0
小
k
向下
y轴
(0,k)
增大
减小
0
大
k
例题
例2.画出函数 的图像.指出它的开口方向、顶点与对称轴、
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
… …
解: 先列表
再描点
后连线.
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
直线x=－1
…
…
…
…
2
1
0
-1
-2
-3
-4
x
解: 先列表
再描点、连线
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
讨论
抛物线
的开口向下,
对称轴是直线x=－1,
顶点是(－1, －1).
抛物线
的开口方向、对称轴、顶点
向左平移1个单位
向下平移1个单位
向左平移1个单位
向下平移1个单位
平移方法1:
平移方法2:
二次函数图像平移
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
1
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
-10
x=－1
(2)抛物线
　　　　　　　　　　　　　　
　　
有什么关系
归纳
一般地,抛物线y=a(x－h)2＋k与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到抛物线y=a(x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h、k的值来决定.
向左(右)平移|h|个单位
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2
y=a(x－h)2
y=a(x－h)2+k
y=ax2
y=a(x－h)2+k
向上(下)平移|k|个单位
y=ax2+k
向左(右)平移|h|个单位
平移方法:
抛物线y=a(x－h)2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上;
当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).
练习
二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标
y=2(x+3)2+5
向上
( 1 , －2 )
向下
向下
( 3 , 7)
( 2 , －6 )
向上
直线x=－3
直线x=1
直线x=3
直线x=2
(－3, 5 )
y=－3(x－1)2－2
y = 4(x－3)2＋7
y=－5(2－x)2－6
1.完成下列表格:
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎样平移得到
3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移得到吗
练习
y= 2（x+3）2-2
画出下列函数图象，并说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？。
y= 2（x-3）2+3
y= 2（x-2）2-1
y= 3（x+1）2+1
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
y = a( x - h )2 + k
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
上下平移
|k|个单位
左右平移
|h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同，位置不同。
各种形式的二次函数的关系
如何平移：
（1）抛物线y=a（x+2）2-3经过点（0，0），
则a=　　　　。
（2）设抛物线的顶点为（1，-2），且经过点（2，3），求它的解析式。
（3）抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个单位得到的抛物线是　　　　　　。
（4）抛物线y=2（x+m）2+n的顶点是　　　　。
谈谈你对本节课有什么收获？
抛物线y=a（x－h）2+k有如下特点：
（1）当a>0时， 开口向上；当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是直线x=h；
（3）顶点是（h，k）。
向左（右）平移|h|个单位
向上（下）平移|k|个单位
y=ax2
y=a（x－h）2
y=a（x－h）2+k
y=ax2
y=a（x－h）2+k
向上（下）平移|k|个单位
y=ax2+k
向左（右）平移|h|个单位
y=ax2、y=a（x－h）2、y=a（x－h）2+k之间的关系：