2022-2023学年人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 课件(共20页)

(共20张PPT)
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
一、复习
a>0 a<0
图象 h>0
h<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
函数的增减性
最值
当xh时,y随x增大而减小.
当xh时,y随x增大而增大.
向上
向下
直线x=h
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
x=h时，y最大值=k
（h,k）
讲授新课
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一
探究归纳
我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 的图象和性质？
问题1 怎样将
化成y=a(x-h)2+k的形式？
根据顶点式确定开口方向,对称轴,顶点坐标.
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… …
列表:利用图像的对称性,选取x适当的值列表计算.
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
∵a= >0,
∴开口向上;
对称轴:直线x=6;
顶点坐标:(6,3).
直接画函数 的图象
直接画函数 的图象
描点、连线，画出函数 图像.
●
●
●
●
●
●
●
（6,3）
O
x
5
5
10
问题：
1.看图像说说抛物线
的增减性。
2.怎样平移抛物线
可以得到抛物线
配方可得
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方
你知道是怎样配方的吗？
(1)“提”：提出二次项系数；
(2)“配”：括号内配成完全平方；
(3)“化”：化成顶点式.
提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式.
探究二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
将一般式y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k
第一步
y=ax +bx+c
所以，抛物线y=ax2+bx+c 的
顶点坐标是：
对称轴是：直线
(1)提：提出二次项系数；
(2)配：括号内配成完全平方式；
(3)化：化成顶点式.
深入探究
二

y= a (x-h)2 + k

公式法
二次函数图象的性质
顶点式 一般式
解析式格式
开口方向 当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下 开口大小 顶点坐标
对称轴
最值




1

方法一：配方法
方法二：公式法





设顶点式为 y= a(x-h) +k




巩固新知
C
2
D
3
C
4
当堂练习
1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .
注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
3
2
1
-1
3
4
5
2.过点（2，4），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式
是 .
顶点坐标是（1，6）
y=-2(x-1)2+6
3.已知二次函数的图象经过点(－1，－5)，(0，－4)和(1，1)．求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c．
依题意得
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a-b＋c＝-5，
解得
b＝3，
c＝－4，
a＝2，
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式．
解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1)．
又因为抛物线过点M(0，1)，
所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1，
所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)，
即y＝－x2＋1.
5.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，请解答下列问题：
(1)求抛物线的表达式；
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积．
(2)∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称．
∵点C在对称轴左侧，且CD＝8，
∴点C的横坐标为－7，
∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
∵点B的坐标为(0，5)，
∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7，
∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28.
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式